专题07 三角形的证明单元过关【培优版】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题07 三角形的证明单元过关（培优版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．若a2=b2，则a=b C．等边三角形的内角都等于60° D．三角形三条角平分线交于一点 【答案】B 【知识点】判断命题真假、等边三角形的性质、角平分线的性质定理、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据相关命题进行判断即可． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，是真命题，故不符合题意； B、若a2=b2，则a=±b，原命题是假命题，符合题意； C. 等边三角形的内角都等于60°，是真命题，故不符合题意； D. 三角形三条角平分线交于一点，是真命题，故不符合题意； 故选：B． 2．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A=55°，∠A′DC=90°，则旋转角的度数是（   ） A．35° B．75° C．55° D．65° 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由利用旋转的性质得出∠A′的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠A′CD的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，A′B′交AC于点D， ∴∠A′=∠A=55°， ∵∠A′DC=90°， ∴∠A′CD=180°−∠A′DC−∠A′=180°−90°−55°=35°， ∴旋转角为35°， 故选：A． 3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到△ABC三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】由图形可得，FH垂直平分BC，故排除A、C选项； 点H很明显不在AC的垂直平分线上，故排除选项D； 故选：B． 4．如图，直线l经过线段AB的中点O，点P在直线l上，且PA=PB，则下列结论：①∠PAO=∠PBO；②∠A=30°；③PO平分∠APB；④PO垂直平分线段AB．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据三线合一证明 【分析】本题考查三线合一．根据三线合一进行判断即可． 【详解】解：∵直线l经过线段AB的中点O，点P在直线l上，且PA=PB， ∴∠PAO=∠PBO，PO平分∠APB，PO垂直平分线段AB， 故①③④正确， 条件不足，无法求出∠A的度数，故②错误； 故选C． 5．下列判断： ①因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3； ②因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1+∠3=90°； ③因为∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，所以∠2=∠4； ④因为∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，所以∠2+∠4=180°． 其中，正确的判断有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查“同角的余角相等”、 “等角的补角相等”等知识，由“同角的余角相等”可判断①正确、②错误；由“等角的补角相等”判断③正确、④错误；熟记“同角的余角相等”、 “等角的补角相等”推理是解决问题的关键． 【详解】解：根据“同角的余角相等”， 因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3正确，故①正确； 因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1+∠3=90°错误，故②错误； 根据“等角的补角相等”， 因为∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，所以∠2=∠4正确，故③正确； 因为∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，所以∠2+∠4=180°错误，故④错误； 综上所述，正确的有①③， 故选：B． 6．下列说法： ①顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等； ②等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等； ③等边三角形是轴对称图形，三条高是它的三条对称轴； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． 其中正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用等腰三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等逐一判断即可得解． 【详解】解：在△ABC和△DEF中， ∵AB=AC，DE=DF， ∴∠B=∠C=180°−∠A2，∠E=∠F=180°−∠D2， 又∠A=∠D， ∴∠B=∠C=∠E=∠F 又BC=EF， ∴△ABC≌△DEFASA， 故顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确，故①符合题意； 在△ABC中， ∵D是BC中点， ∴BD=CD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∴△BED≌△CFDAAS， ∴DE=DF， 故等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，说法正确，故②符合题意； 等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线是其对称轴，原说法错误，故③不符合题意； 在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=180°−∠A2， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∴∠DBC=180°−∠C−∠BDC=12∠A， 故等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半， 说法正确，故④符合题意； 正确的为：①②④，共3个； 故选：C． 7．如图，在等边△ABC中，AB=6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（   ） A．2 B．3 C．22 D．23 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形边角的不等关系、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】首先证明∠AFB=120°，过点C作CH⊥AB于点H，连接FH，然后根据三角不等关系得出CF≥CH−FH，即当点C、F、H三点共线时，CF取得最小值，进而可得当点F与N重合时，CF的值最小，最后问题可求解． 【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°， ∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCESAS， ∴∠BAD=∠CBE， 又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE， ∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC， ∴∠AFE=60°， ∴∠AFB=120°， 过点C作CH⊥AB于点H，连接FH，如图所示： ∵AB=BC=AC=6，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°， ∴BH=AH=3， ∴CH=BC2−BH2=33， 由三角形不等关系可知：CF≥CH−FH，即当点C、F、H三点共线时，CF取得最小值， 作AN平分∠BAC交CH于N，连接BN，如图； 要使CF取得最小值，就要使FH取得最小值，当点F与点N重合时，即为最小，如图所示， ∵CH垂直平分AB， ∴AN=BN， ∵∠ANB=∠AFB=120°， ∴∠ABN=∠BAN=30°， ∴BN=2HN， ∴DH=BN2−HN2=3HN=3， ∴HN=3， ∴CFmin=CH−HN=23； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角不等关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌△ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中正确的为（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】由已知条件可直接证得△ACD≌△ACE；由三角形全等的性质可得CD=CE，又因为AD=AE，所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；延长AF，CB相交于点G，证出△ABG≌△CBE，则AG=CE=CD，再证出AG=2BF，即可得出③正确；取CE的中点I连接BI，可得CE=2BI，再证明BF=BI，再利用三角形的外角性质和平行线的性质问题④可得证． 【详解】解：①∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°． ∵AB=BC， ∴∠BCA=∠BAC=45°， ∴∠DAC=45°． 又∵AC=AC,AE=AD， ∴△AEC≌△ADCSAS． 故①正确． ②∵△AEC≌△ADC， ∴DC=CE． 又∵AD=AE， ∴AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；故②正确． ③延长AF，CB相交于点G，    则∠ABG=∠ABC=90°， ∵∠BEC+∠BCE=90°，AF⊥CE， ∴∠AEF+∠BAG=90°， ∵∠BEC=∠AEF， ∴∠BCE=∠BAG， 又∵AB=BC， ∴△ABG≌△CBEASA， ∴AG=CE=CD， 又∵AD∥BC， ∴∠G=∠DCG， ∵BF∥CD， ∴∠DCG=∠FBG， ∴∠G=∠FBG， ∴BF=FG． 又∵∠ABG=90°， ∴AG=2BF．即CE=2BF，故③正确； ④取CE的中点I连接BI，    则BI=CI=EI， ∴∠CBI=∠BCI， ∴∠BIF=2∠BCI． ∵CE=2BF， ∴BF=BI， ∴∠BFI=∠BIF=2∠BCI． ∵BF∥CD， ∴∠BFI=∠DCE， ∴∠BCI=12∠DCE=∠ACE， ∴CE平分∠ACB．故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断和性质；垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形两底角都是45°，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质与判定． 9．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E分别在边AB，BC上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD，垂足为点G.下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等边三角形；④FGAF=12，其中正确结论的个数是（    ）      A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD=∠BAE，求出∠CAF+∠ACD=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，判定②正确；求出∠ADF>60°，∠FAD