专题02 一元一次不等式【知识串讲+八大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题02 一元一次不等式 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）一元一次不等式概念不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。（二）解一元一次不等式的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。（三）解方程与解不等式的区别模块三考点一遍过考点1：一元一次不等式的概念典例1：下列式子：①3>0；②4x+5>0；③xx−1；（2）5x+30是关于x的一元一次不等式，则a= ．考点2：解一元一次不等式典例2：解不等式：2(x−6)+4≤3x−5，并将它的解集在数轴上表示出来．【变式1】数学课上，老师给出如下运算程序：运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止．(1)当输入的数是−3时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果；(2)当输入x后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值．【变式2】已知关于x的方程3x−m=3．(1)若该方程的解满足x>1，求m的取值范围；(2)若该方程的解是不等式3x−2+50，求a的取值范围，并在数轴上表示出来．【变式1】关于x，y的方程组3x+2y=2m+5x−6y=4−3m(1)若方程组的解满足x−y=4，求m的值；(2)若方程组的解满足x+4y2，求m的取值范围．【变式3】已知关于x、y的方程组x+2y=ax−4y=4a．(1)若方程组的解也是方程3x+2y=10的一个解，求a的值；(2)若方程组的解满足x−y>5，请化简a+2−a．考点4：不等式的整数解问题典例4：已知关于x的不等式2x−m2的解集为x3．  参考阅读材料，解答下列问题：(1)x−3=2的解为____________；(2)找出所有符合条件的整数x，使得x+3+x−2=5，这样的整数是____________；(3)不等式x+3+x−2>7的解集为____________．【变式3】阅读与思考任务：(1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________．(2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：2x+1>3．考点8：一元一次不等式的应用——销售问题典例8：甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．(1)求甲乙两件服装的进价各是多少元；(2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；(3)若乙服装每件的进价为242元，商场把乙服装按8折出售．问标价至少为多少时，销售乙服装才不亏本？（结果取整数）【变式1】如表中有两种手机通话计费方式：（月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）(1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟；(2)是否存在某个主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱．【变式2】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所用资金不能超过34万元．(1)按该公司要求，可以有哪几种购买方案？(2)若该公司购进的6台机器的日生产活塞量不能低于380个，且为了节约购买资金，则该公司应选择哪个购买方案？【变式3】锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买A，B两种物品．经过市场调查发现，今年每套A型物品的价格6万元，每套B型物品的价格0.4万元，该市准备购买A型物品50套，B型物品若干套（超过200套）．某供应商给出以下两种优惠方案：方案一：“买一送一”，即购买一套A型物品，赠送一套B型物品；方案二：“打折销售”，即购买B型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，A型物品不打折．(1)设购买B型物品xx>200套，选择方案一所需费用为y1万元，则y1与x的关系式为______．选择方案二所需费用为y2万元，则y2与x的关系式为______．(2)选择哪种方案更划算？请说明理由．考点9：一元一次不等式的应用——分配问题典例9：某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数）(1)用含x的式子表示：(2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？(3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由）【变式1】学科实践驱动任务：日常生活中，我们经常可以看到各种各样的长方体形状的包装盒，如化妆盒、药品盒等．制作这类包装盒时，我们通常先在纸上裁剪出包装盒的侧面、底面，然后折叠、粘贴成长方体．在一次数学活动中，数学研习小组协助老师用白卡纸制作长方体纸盒．操作发现：制作1个长方体纸盒需要1个侧面和2个底面；1张白卡纸可以做2个侧面或3个底面．问题解决：           (1)他们准备用42张白卡纸制作长方体纸盒，计划将这些白卡纸分成两部分，一部分用于做侧面，另一部分用于做底面．如何分配才能使做成的侧面和底面正好配套？（用二元一次方程组的知识解答）(2)用20张白卡纸最多能制作多少个长方体纸盒？【变式2】黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产−−我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元．(1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价．(2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金．【变式3】某校准备利用劳动课开展植树活动，绿化校园.现需要一批铁锹和运土的藤筐，据市场调查，购买10把铁锹和20个藤筐需花费700 元；购买20把铁锹和10个藤筐需花费800 元(1)求铁锹和藤筐的单价.(2)学校准备购买铁锹和藤筐共100件，根据挖土和运土学生的分配，购买铁锹的数量不能超过40，而且要求购买铁锹的数量不少于藤筐数量的 35.则该学校有几种购买方案一元一次方程一元一次不等式解法的依据方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变解法的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向解得情况一元一次方程只有一个解一元一次不等式可以有无数多个解阅读以下例题：解不等式：|2x|>1．解：①当2x>0时，即x>0，原不等式可化为一元一次不等式2x>1，解这个不等式，得x>12．∴x>12．②当2x