专题04 垂直平分线性质与判定【知识串讲+七大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

这是一份专题04 垂直平分线性质与判定【知识串讲+七大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版），文件包含专题04垂直平分线性质与判定知识串讲+七大考点原卷版docx、专题04垂直平分线性质与判定知识串讲+七大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
专题04 垂直平分线的性质与判定 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）垂直平分线（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（二）尺规作图——垂直平分线（1）过一点作已知线段的垂线求作：AB的垂线，使它经过点C作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。 ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。 ③作直线CF，CF即为所求的直线（2）作已知线段的垂直平分线作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点 ②连接CD，即为所求模块三考点一遍过考点1：垂直平分线的性质——求线段典例1：如图，△ABC中，AB=AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为20，AC=8，则DC为（　　）A．6B．8C．9D．10【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD=8，则AC的长为（    ）A．2B．3C．4D．5【变式2】如图，在△ABC中，∠C=90°，ED垂直平分AB，若AC=12，EC=5，则BE的长为 ．【变式3】如图，在△ABC中，AB=BC，S△ABC=3cm2，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，当△PCD的周长取最小值4时，则AC= ．考点2：垂直平分线的性质——求角典例2：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别有一动点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=140°，则∠C的度数为（    ）A．70°B．60°C．50°D．40°【变式1】如图，在△ABC中，∠C=38°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，若∠A=2∠C，则∠ABD的度数为（   ）A．38°B．36°C．28°D．26°【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC=110°，AB的垂直平分线分别交BC和AB于点D和点M，AC的垂直平分线分别交BC和AC于点E和点N，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 ．【变式3】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠PCD的度数是 ．考点3：垂直平分线的性质——实际应用典例3：2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施：如图1，在小区内道路l旁设立“公共晾晒点”O，安装“共享晾衣架”，使得道路l附近的两栋住宅楼A，B到“公共晾晒点”O的距离相等．(1)在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；(2)确定点O位置的依据为______．【变式1】如图，村庄A，B分别在笔直公路l的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置．【变式2】周末，老师带着同学们去北京植物园中的一二·九运动纪念广场游玩，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：如图，点 A，B，C，D在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．已知：求证：【变式3】已知直线l及位于其两侧的两点A，B，如图(1)在图①中的直线l上求一点P，使PA=PB；(2)在图②中的直线l上求一点Q，使直线l平分∠AQB；(3)能否在直线l上找一点，使该点到点A，B的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由．考点4：垂直平分线的性质——综合应用典例4：如图，在△ABC中，∠B=55°，∠BCA=60°．(1)根据要求用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹：①作∠BAC的角平分线交BC于点D；②作AC边上的垂直平分线l交AD于点G；(2)连结GC，求∠AGC的度数．【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数．【变式2】如图，在△ABC中，CF垂直平分AB于点F，DE是边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB．(1)求证：△OBC为等腰三角形；(2)若∠ACF=25°，求∠BOE的度数．【变式3】如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连接CG．(1)若D是AC的中点，求证：AC=2AB；(2)若∠ACB=30°，求证：△BGC为等边三角形．考点5：垂直平分线的判定典例5：如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，求DE．【变式1】如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．(1)求证OB=OD；(2)求证：OE垂直平分BD．【变式2】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE相交于点O，连接BO，CO．(1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；(2)若△ADE的周长为8，求BC的长；(3)若∠BAC=105°，求∠BOC的度数．【变式3】在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点D是AC上一点，AD=AB，点E是AB上一点，AE=CD．(1)如图1，求证：△BDE是等腰三角形．(2)如图2，过点E作EF⊥AC于点F，求证：ED平分∠FEB．(3)如图3，延长ED，BC交于点G，求证：点C在DG的垂直平分线上．考点6：尺规作图——垂直平分线典例6：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．  (1)用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；(2)连接AP，若AP平分∠CAB，求∠B= ________．（直接写出）【变式1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．小强进行了如下的证明，请你帮小强完成相应的填空．证明：（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ，∴ ，在Rt△ADE和Rt△ADF中，______DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴ ，而DE=DF，∴AD垂直平分线段EF，即AD⊥EF．【变式2】阅读下列材料，并完成相应的任务．(1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是______；(2)如图②，已知在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．【变式3】阅读下列材料，并完成相应的任务．尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP，则AP⊥BC．（1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是_______．（2）如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．（3）如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）考点7：垂直平分线的性质与判定综合典例7：【阅读】如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是中线，求AD的取值范围．小明同学的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA．得到BE=AC，在△ABE中．AB−BE