微专题01 等腰三角形的证明与计算通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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微专题01 等腰三角形的证明与计算通关专练 一、单选题1．在△ABC中，AB=AC=BC，则∠A的度数是（    ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【知识点】等腰三角形的性质和判定【分析】由AB=AC=BC，可得△ABC是等边三角形，则∠A=60°．【详解】解：∵AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（　　）  A．BD=CDB．BD=ADC．AD平分∠BACD．∠B=∠C 【答案】B【知识点】根据等边对等角证明、根据三线合一证明【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案．【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：BD=CD，AD平分∠BAC，由等边对等角的性质可得∠B=∠C，由等腰三角形的性质不一定有BD=AD，除非△ABC是等腰直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键．3．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠A的度数是（    ）A．45°B．36°C．72°D．30°【答案】D【知识点】三角形内角和定理的应用、其他问题(一元一次方程的应用)【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，再利用三角形内角和列方程，解方程求得x的值，即可求得∠A的度数．【详解】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：x+2x+3x=180，解得：x=30∴∠A=30°，故选：D.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，设参数、利用方程的思想来解决问题是解决此类问题的关键．4．有下列说法，其中正确的有（    ）①两个等边三角形一定能完全重合；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；③两个等腰三角形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质、图形的全等【分析】根据全等三角形的判定，等边三角形，等腰三角形的性质判定即可．【详解】解：①两个等边三角形不一定能完全重合，故此选项不合题意；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．5．如图，在▱ABCD中，AB=3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（    ）  A．12B．16C．24D．36【答案】D【知识点】等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到AB=AE=3，DE=DC=3，∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案．【详解】∵在▱ABCD中，∴AB=CD=3，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180°，∵AB=3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE，∴∠AEB=∠ABE，∠DEC=∠DCE，∠CBE+∠BCE=90°，∴AB=AE=3，DE=DC=3，∠BEC=90°，∴AD=AE+DE=6，∴BC=AD=6，在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2=62=36．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题．6．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若BD=1，BC=3，则AC的长为（　　）  A．5B．4C．3D．2【答案】A【知识点】等腰三角形的性质和判定、三线合一【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据BD=1，BC=3，即可推出AC的长度．【详解】解：延长BD与AC交于点E，  ∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=90°∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵BD=1，BC=3，∴CE=3，∴AE=BE=2，∴AC=AE+EC=2+3=5．故答案为：5．7．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，△ABD的周长a，BC=b，则△ABC的周长为（    ）  A．a+bB．2a−bC．2a−2bD．2a−3b【答案】D【知识点】等腰三角形的性质和判定【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键．根据题意可得△ABD,△BCD是等腰三角形，可得AD=BD=BC=b，可求出AB=AC的值，由此即可求解．【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=12180°−∠A=12×180°−36°=72°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=12×72°=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴DA=DB，在△BCD中，∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，∴∠BDC=∠BCD，∴BD=BC=b，∴AD=BD=BC=b，∵△ABD的周长a，即AB+AD+DB=AB+b+b=a，∴AB=a−2b，∴AB=AC=a−2b，∴△ABC的周长为AB+AC+BC=a−2b+a−2b+b=2a−3b，故选：D．8．如图，E为△ABC边AC上一点，且CE=CB，CD平分∠ACB，垂足为D，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（    ）A．0.5B．1C．2D．2.5【答案】B【知识点】等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质；由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度．【详解】解：∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=5，BC=3，∴CE=3，∴AE=AC−EC=5−3=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：B．9．如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB=6，AC=4，则△ADF周长为（   ）A．8B．9C．10D．11【答案】C【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明DF∥BC，∠ABE=∠DEB，∠ACE=∠FEC，从而证明BD=DF，CF=EF，从而求出△ADF的周长即可．【详解】解：∵BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∠FEC=∠BCE，∴∠ABE=∠DEB，∠ACE=∠FEC，∴BD=DF，CF=EF，∴△ADF的周长=AD+DE+EF+AF=AD+BD+AF+CF=AB+AC=6+4=10，故选：C．10．如图，在△ABC中，D是BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB//EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=11，则CF=（    ）A．11B．9C．7D．5【答案】D【分析】延长FE交AD的延长线于H，想法证明EA=EH=EF，AB=CH即可解决问题．【详解】延长FE交AD的延长线于H．∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠HAE，∵FH∥AB，∴∠H=∠BAD，∴∠H=∠HAE，∴EA=EH=EF，设CF=x，则EF=EA=EH=x+3，在△HDC和△ADB中，∠H=∠BAD∠HDC=∠ADBDC=DB，∴△HDC≌△ADB（AAS），∴AB=CH，∵AB=11，∴CH=EH+CE=x+3+3=11，∴x=5，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．11．如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，EF∥BC且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　）A．6B．5C．4D．3【答案】C【知识点】根据等角对等边求边长、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，然后即可得到ED和DF的值，然后根据线段的和差即可求得EF的值.【详解】解：∵△ABC的内角∠ABC，∴∠EBD=∠DBC∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴DE=BE=9同理：DF=CF=5，∴EF=DE-DF=9-5=4.故选：C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键.12．表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m、n是常数且mn≠0）的图像，在同一坐标系中只可能是（    ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、正比例函数的图象【分析】本题主要考查了一次函数的图像与正比例函数的图像，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A.由一次函数的图像可知，m>0，n>0，故mn>0；由正比例函数的图像可知mn