专题01 等腰三角形【知识串讲+九大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题01 等腰三角形 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）等腰三角形（1）等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.（二）解题方法（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线： = 1 \* GB3 ①三线合一； = 2 \* GB3 ②过中点做平行线[来源:模块三考点一遍过考点1：等腰三角形的性质——求角典例1：如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC=110°，则∠PAQ的度数是（    ）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式1】如图，将△ABC沿AD所在的直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，∠B=48°且EC=BD，那∠ADE的度数是（   ）A．70°B．75°C．78°D．80°【变式2】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠ADC的度数为 ．【变式3】如图，在△ABC中，∠B=30°，点D、E分别在BC、AC上，且AD=BD，DE=EC．若△ADE为等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．考点2：等腰三角形的性质——求线段典例2：在△ABC中，∠BAC,∠ACB的平分线相交于I，DE过点I且DE∥AC，若AD=3cm,CE=5cm，则DE=（　　）cmA．8B．6C．7D．5【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠EDF，若BE=CD=1，BC=3，则CF的长为（    ）  A．1B．2C．3D．4【变式2】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若BE=3，DF=1，则边BC的长为 ．【变式3】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°,AB=2，点D在CB延长线上，连接AD，以AD为边作等腰直角△ADE,∠DAE=90°，连接CE交AB于点F,DC=4AF，则BD= ．考点3：等腰三角形的性质——三线合一典例3：如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长BC至点F，使CF= CE，连接FE．(1)求∠ABC的度数；(2)求证：BE=FE．【变式1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．(1)求证：AD⊥BC；(2)若∠BAC=75°，求∠B= ．【变式2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于C，且AB=BE，CD=CE．(1)求证：AB=AC；(2)求证：Rt△ABD≌Rt△BEC．【变式3】如图，在△ABC 中，AD平分∠BAC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，(1)求证：∠B=∠C；(2)求证：AD⊥BC．考点4：等腰三角形的性质——规律探究典例4：如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1,B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2,…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（   ）A．α210B．α29C．α20D．α18【变式1】如图，在平面直角坐标系中，三角形A1A2A3，三角形A3A4A5，三角形A5A6A7，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形A1A2A3的顶点坐标分别为A12,0，A21,−1，A30,0，则依图中所示规律，A2027的坐标为（    ）A．−1012,0B．1012,0C．1015,0D．−1015,0【变式2】如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1 B2=B1 A2，连接A2B2⋯⋯，按此规律下去，记∠A2B1 B2=θ1,∠A3B2B3=θ2,⋯⋯，∠An+1BnBn+1=θn，则θn= ．  【变式3】如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若把n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…根据上述规律请你写出∠An+1AnCn= ．（用含n的代数式表示）考点5：等腰三角形的性质——动点问题典例5：如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，BC=10，有一动点P在折线段AB－BC上运动，速度为2个单位，运动时间t．(1)当t= 时，S△ACP=S△BCP；(2)若CP平分∠ACB，求运动时间t；(3)当t为何值时，△ACP为轴对称图形．【变式1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm两点同时开始运动，设运动时间为ts．(1)①Rt△ABC斜边AC上的高为　　cm； ②当t=3时，PQ的长为　　cm．(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形?【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=10cm，AC:BC=3:4，动点P从B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．(1)求BC边的长．(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【变式3】如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是−1，0，B点的坐标是−3，1，C点的坐标是−2，3．(1)作△ABC关于y轴对称的图形△DEF，点A、B、C的对应点分别为D、E、F；则点E的坐标为______，点F的坐标为______．(2)在（1）的条件下，点P为x轴正半轴上的动点，当△PDE为等腰三角形时，请直接写出点P的横坐标______．考点6：等腰三角形的判定——等角对等边典例6：Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的高CD与角平分线BE交于点F．(1)求证∠CAD=∠BCD；(2)求证：△CEF为等腰三角形．【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，高AD，CE交于点H．(1)求证：AH=BC；(2)若AB=17，CE=12，求CH的长度．【变式2】如图，在△ABC中，AB=CB，点D是边AC上一点，点E为△ABC外的任意一点，连接BD,BE,DE，其中BE=BC，∠ABD=∠EBD．(1)求证：△ABD≌△EBD；(2)若∠CAB=∠DBA，BE=6，AC=10，求△BDC的周长．【变式3】如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，过点B作BA的垂线与AD的延长线相交于点E，求证：△BDE是等腰三角形．考点7：等腰三角形的判定的实际应用典例7：为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表(1)第一小组测得AC即AB的距离，证明方法如下：(2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离；(3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离．【变式1】如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离．【变式2】如图，要在河的一侧测量河对岸A，B两点的距离．选择点C，使A，B，C在一条直线上，作射线CF，则得∠ACF=50°，在射线CF上选取点D和点E，使∠BDC=65°，∠AEC=65°．这时测得DE的长就是A，B两点的距离，为什么？【变式3】耩（音同“讲”）子是一种传统衣用播种的工具，大小款式不一，图（1）是改良后有轮子的一种，图（2）是其示意图，现测得BC=40cm，∠C=30°，∠BAC=45°．为了使耩子更牢固，AB处常用钢筋连接，求AB长度？（结果保留根号）  考点8：等腰三角形的判定——坐标系典例8：平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2．(1)在坐标系中描出点A的位置，并写出点A的坐标；(2)作点A关于y轴的对称点B，并写出点B的坐标；(3)在x轴上找一点C使△ABC为等腰三角形，写出符合要求的所有点C的坐标．【变式1】如图，是规格为8×8的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：  (1)请在网格中建立直角坐标系，使A点坐标为4,−2，B点坐标为2,−4；(2)在第四象限中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，△ABC的周长是______，面积是______．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A1,2，B3,0，C5,3．  (1)将△ABC向下平移5个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；(3)点P是x轴上的动点，当△PAB是等腰三角形时，这样的点P有______个．【变式3】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上．  (1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为−2,2，B点坐标为2,−1；(2)在第二象限的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，画出三角形，并写出点C的坐标．(3)画出△ABC关于y轴对称的三角形△A1B1C1．课题测量池塘两端A，B的距离池塘示意图：  工具测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔小组第一小组第二小组第三小组测量方案①从A点出发，向北走到C点；②测得∠ACB=45°，CA=20m①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆；②继续向北走相同的距离到达D点；③再向西走到E点，使B，O，E三点共线；④测得DE=20m①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处；②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B；③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G，此时∠BFA=∠GFA；④测得：数据1：AG=20m；数据2：AF=2m．测量示意图      证明：∵AC⊥AB∴∠CAB=90°∵∠ACB=45°(转右框)∴∠ABC=90°−∠ACB=90°−45°=45° ∴∠ACB=∠ABC∴AB=AC=20m(理由：______)