微专题02 等边三角形手拉手模型通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

这是一份微专题02 等边三角形手拉手模型通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版），文件包含微专题02等边三角形手拉手模型通关专练原卷版docx、微专题02等边三角形手拉手模型通关专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
微专题02 等边三角形的手拉手模型通关专练 一、单选题1．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P在AB上，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到OD，要使点D落在边BC上，则AP=（   ）A．3B．6C．33D．9【答案】B【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，连接DP，由等边三角形的性质可得AB=AC=9，∠A=∠B=60°，由旋转的性质可得：OP=OD，∠DOP=60°，得出△DOP为等边三角形，从而得出OP=DP，∠OPD=60°，证明△APO≌△BDPAAS，得出BP=AO=3，即可得解．【详解】解：如图：连接DP，，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=9，∠A=∠B=60°，由旋转的性质可得：OP=OD，∠DOP=60°，∴△DOP为等边三角形，∴OP=DP，∠OPD=60°，∴∠APO+∠DPB=∠APO+∠AOP=180°−60°=120°，∴∠DPB=∠AOP，∴△APO≌△BDPAAS，∴BP=AO=3，∴AP=AB−BP=6，故选：B．2．如图，C为线段AE上一点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③OP=OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB=60°，其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和判定、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而可根据SAS得到△ACD≌△BCE，再证明△ACP≌△BCQ(ASA)，再证得△PCQ是等边三角形，再分别依次判断即可．【详解】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC=AC=AB，DE=DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE．在△DCA和△ECB中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△DCA≌△ECB(SAS)，∴AD=BE，故①正确，符合题意；∵△DCA≌△ECB，∴∠CAD=∠CBE，又∴∠APC=∠BPO，∴∠AOB=∠ACP=60°，故⑤正确，符合题意；∵△DCA≌△ECB，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP和△BCQ中∠CAP=∠CBQAC=BC∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ(ASA)，∴CP=CQ，∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，∴∠PCQ=60°，∵CP=CQ，∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形，故④正确，符合题意；∵△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE，故②正确，符合题意；从现有条件，无法得出OP=OQ，故③错误，不符合题意；综上所述，正确的结论有①②④⑤，故选：C．3．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，交AC于点D，N为BD上一点，M为BC上一点，且BN=MC，连接AM，AN．当AM+AN的最小值为8时，AB的长（　　）A．4B．6C．8D．10【答案】C【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．作∠BCE=∠ABD=20°，使得CE=AB，连接EM，证明△ABN≌△ECMSAS，即可得到AN=EM，进而得出当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，再根据△ACE是等边三角形，即可得到AB的长．【详解】解：∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=20°，如图所示，作∠BCE=∠ABD=20°，使得CE=AB，连接EM，，在△ABN和△ECM中，AB=EC∠ABN=∠ECMBN=CM，∴ △ABN≌△ECMSAS，∴AN=EM，∴AN+AM=EM+AM，当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，又∵AM+AN的最小值为8，∴AE的长为8，∵CE=AB=AC，∠ACE=40°+20°=60°，∴ △ACE是等边三角形，∴AC=AE=8，∴AB=8，故选：C．4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AC=10，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△A′B′C′，使点B′落在AC边上，连接CC′，则CC′的长度是（   ）A．10B．20C．103D．203【答案】A【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质得出AC'=AC，∠BAC=∠B′AC′，得出△ACC′是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．【详解】解：∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，∴AC′=AC，∠BAC=∠B′AC′，∵∠B=90°，∠ACB=30°，AC=10，∴∠BAC=∠B'AC'=180°−90°−30°=60°．∴△ACC′是等边三角形，∴CC′=AC′=10．故选：A．5．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠EOD=120°；③∠BAE=∠CAD；④OA平分∠BOC；⑤BP=EQ．其中正确的结论个数是（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行判断【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD=∠CAE=∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD=90°，判断出①正确；再求出∠BAE=∠CAD=60°，根据翻折可得∠AEC=∠ABD=∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE=∠BAE，判断出②正确；证明△ABE，△ADC都是等边三角形，即可判断正确，根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出④正确；判断出△ABP和△AEQ不全等，从而得到BP≠EQ，判断出⑤错误．【详解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD=∠CAE=∠BAC，AB=AE，AC=AD，∴∠EAD=3∠BAC−360°=3×150°−360°=90°，故①正确．∴∠BAE=∠CAD=360°−90°−150°=60°，由翻折的性质得，∠AEC=∠ABD=∠ABC，又∵∠EPO=∠BPA，∴∠BOE=∠BAE=60°，∴∠EOD=120°，故②正确．∵△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∴S△ACE=S△ADB，AB=AE，∵∠BAC=∠BAD=150°，∠EAD=90°，∴∠EAB=60°，∴∠BEA=∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形，同法△ADC也是等边三角形，∴∠BAE=∠CAD；故③正确．∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE=S△ADB，BD=CE，∴BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到∠BOC两边的距离相等，∴OA平分∠BOC，故④正确．在△ABP和△AEQ中，∠ABD=∠AEC，AB=AE，∠BAE=60°，∠EAQ=90°，∴BP30°，而没有办法判断∠OBC大于30°，故D不一定正确，符合题意；故选：D．9．如图点C为线段BD上一动点（不与点B、D重合），∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC，BE与AD交于点O，BE与AC交于点M，AD与CE交于点N，连接MN，以下四个结论：①AD=BE，②MN∥BD，③AC⊥BE，④∠AOB＝60°．  正确的有多少个？（     ）  A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．①根据∠ACB=∠ECD=60°,AC=BC,EC=DC，得到△BCE≌△ACD，所以AD=BE，所以①正确；②由①得∠A=∠B，所以△ACN≌△BCM，CM=CN,所以△CMN是等边三角形，∠CMN=60°，∠CMN=∠ACB=60°，所以MN∥BD，②正确；③若AC⊥BE，则∠BMC=∠EMC=90°，可证明△BCM≌△ECMASA,得BC=EC=DC，而点C不一定是线段BD的中点，此说法不一定正确；④∠D=∠E，∠AOB=∠B+∠D=∠B+∠E=60°，④正确．【详解】解：∵∠ACB=∠ECD=60°,AC=BC,EC=DC，∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE，∠A=∠B,∠D=∠E，∴①正确；∵∠ACN=180°−∠ACB−∠ECD=180°−60°−60°=60°，∴∠ACB=∠ACN，∴△ACN≌△BCM，∴CM=CN，∴△MCN是等边三角形，∴∠NMC=60°，∴∠ABC=∠NMC，∴MN∥BD，∴②正确；③若AC⊥BE，则∠BMC=∠EMC=90°，∵∠ACB=∠ACE=60°,CM=CM,∴△BCM≌△ECMASA,∴BC=EC=DC，而点C不一定是线段BD的中点，此说法不一定正确；∠AOB=∠B+∠D=∠B+∠E=180°−∠ACB−∠ACE=180°−60°−60°=60°，∴④正确；综上所述，正确的有3个，故选：C ．10．如图，在等边△ABC中，D，E分别在BC，AB上，BD=AE，AD与CE相交于点G，CF⊥AD于点F，连接BF并延长，与CE交于点O．若O是CG的中点，CG=4，则BF的长度为（   ）A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】C【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、等边三角形判定与性质，熟练掌握各判定定理和性质定理是解题关键．先证△ABD≌△CAE，证出∠AGE=60°，再证△OGF是等边三角形，从而证明△ACG≌△CBO即可求出结论．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAESAS，∴∠ACE=∠BAD，∴∠BCE=∠CAD，∴∠FGO=∠AGE=∠ACE+∠CAD=∠ACE+∠BCE=∠BCA=60°，∴∠AGC=120°．∵CF⊥AD，O是CG的中点，∴OG=OF=OC=12CG=2，∴△OGF是等边三角形，∴∠FOG=60°，∴∠BOC=120°，∴∠BOC=∠AGC=120°．又∵∠BCO=∠CAG，BC=CA，∴△BCO≌△CAGAAS，∴BO=CG=4，∴BF=BO−OF=2．故选∶C．11．如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD=b，点E在BD上，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是(    )A．12a+bB．a+bC．a+12bD．12a+12b【答案】A【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题)【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明∠ACF=30° ，作点A关于直线CF的对称点M，连接DM交CF于N，此时AN+DN的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，∵△ABC，△AEF都是等边三角形，∴AB=AC=a，AE=AF，∠BAC=∠EAF=∠ABC=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴∠ABE=∠ACF，∵AD=CD=12a，BD=b，∴∠ABE=∠CBE=∠ACF=30°，BD⊥AC，作点A关于直线CF的对称点M，连接DM交CF于N，此时AN+DN的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM=AC，∵BD⊥AC，∴DM=BD=b，∴△AFD周长的最小值=AD+DN+AN=AD+DM=12a+b．故选：A．12．如图，边长为12的等边△ABC，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（ ）个．①BF⊥AC；②∠DEC=∠DCE；③△ADE的周长最小值为18；④当△AEF周长最小时，∠AFE=60°；⑤∠ACE的大小随着点D的移动而变化．A．2B．3C．4D．5【答案】B【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质【分析】本题主要考查等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、轴对称的性质，根据三线合一定理即可判断①；证明BF是线段AC的垂直平分线，得到AD=ED，再由等边三角形的性质证明AD=ED，即可判断②；当点D与F重合时，线段AD最小，即此时△ADE周长最小，即可判断③；证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD=∠ACE=30°，即可判断⑤；可得∠BCE=90°，作点A关于直线CE的对称点M，连接MC，EM，MA，MF，设MF交CE的延长线于点E′，当点E，F，M三点共线，即点E与点E′重合时，EF+ME最小，即△AEF的周长最小，证明△ACM是等边三角形，推出MF⊥AC，即可判断④．【详解】∵△ABC是等边三角形，F是边AC的中点，∴BF⊥AC，故①正确．∴BF是线段AC的垂直平分线．∴AD=CD．∵△ADE是等边三角形，∴AD=ED．∴CD=ED．∴∠DEC=∠DCE，故②正确．∵点D在线段BF上，∴当点D与F重合时，线段AD最小，即此时的△ADE周长最小．∵等边三角形△ABC的边长为12，F是边AC的中点，∴AF=6．∴△ADE的周长的最小值为18，故③正确．∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．∴∠BAD=∠CAE．∴△BAD≌△CAE．∴∠ABD=∠ACE=30°，故⑤错误．∴∠ACB+∠ACE=∠BCE=90°，即点E在射线CE上运动．如图所示，作点A关于直线CE的对称点M，连接MC，EM，MA，MF，设MF交CE的延长线于点E′．∴AE=ME．∴△AEF的周长=AF+EF+ME．∴当点E，F，M三点共线，即点E与点E′重合时，EF+ME最小，即△AEF的周长最小．∵点A与点M关于直线CE对称，∴CA=CM，∠ACE=∠MCE=30°．∴∠ACM=60°．∴△ACM是等边三角形．∵F是边AC的中点，∴MF⊥AC．∴∠AFE=90°．故④错误．综上，说法正确的为①②③，共3个．故选B．13．如图，在△ABC，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，求∠DOC的度数为（   ）A．124°B．102°C．92°D．88°【答案】C【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质【分析】本题考查全等三角形判定及性质，内角和定理．根据题意可证明△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE=180°，再证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，继而根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△DAB≌△EACSAS，∴∠B=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°，∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=60°，∵∠BAD=28°，∴∠OAD=60°−28°=32°，∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°，故选C．14．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC．其中错误的序号是(　　)A．①B．②C．③D．④【答案】D【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC>60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AC+BD．【详解】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BD=BE，∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，所以①正确；∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠BAE=∠BCD=60°，∴∠BAE=∠ABC，∴AE∥BC，所以②正确；∴∠BDE=60°，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°，∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；∵△BDE是等边三角形，∴DE=BD=4，而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴AE=CD，∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确．故选：D．15．如图，点P，Q是等边△ABC边AB，BC上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接AQ，CP，PQ，其中AQ交CP于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ）A．BQ=APB．△ABQ≌△CAPC．当点P运动至AB中点时，△BPQ是等边三角形D．∠CMQ的度数随点P，Q的运动而变化【答案】D【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明△ABQ≌△CAP是解题的关键．点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，得到BQ=AP；根据等边三角形的性质，证明△ABQ≌△CAP；根据等边三角形的判定方法证明△BPQ的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出∠CMQ的度数，进行判断即可．【详解】解：∵点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，∴BQ=AP；故选项A正确；∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，又BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP；故选项B正确；当P，Q为AB，BC的中点时，BP=BQ，∵∠B=60°，∴△BPQ是等边三角形；故选项C正确；∵△ABQ≌△CAP，∴∠ACP=∠BAQ，∴∠CQM=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，∴∠CMQ是个定值；故选项D错误；故选：D．二、填空题16．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=6,BD=5．则下列四个结论：①AE∥BC；②△BDE是等边三角形；③∠ADE=∠BDC；④△AED的周长是9．其中正确的结论是 （填序号）．【答案】①②/②①【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、等边三角形的性质【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．先根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠ABC=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC>60°,∠ADE60°，∠ADE+∠BDE=∠DBC+∠C,又∠BDE=∠C=60°,∴∠ADE=∠DBC∠A及∠BDE=60°知，∠ADE