专题02 等边三角形【知识串讲+九大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题02 等边三角形 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）等边三角形（1）等边三角形性质①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半（2）等边三角形判定①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（二）解题方法（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线： = 1 \* GB3 ①三线合一； = 2 \* GB3 ②过中点做平行线[来源:（4）含30°角的直角三角形性质（三）等腰三角形与等边三角形的区别模块三考点一遍过考点1：等边三角形的性质——求角典例1：如图，等边△ABC的顶点A、B分别在直线a，b上，且a ∥b，若∠1=20°，则∠2的度数为（   ）A．80°B．70°C．60°D．100°【答案】A【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质得出∠3=80°，最后再由平行线的性质即可得出答案．【详解】解：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠3=∠C+∠1=60°+20°=80°，∵a∥b，∴∠2=∠3=80°；故选：A【变式1】如图，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD交于O点，连结AO．∠OAB+∠OBA=（   ）A．30°B．60°C．90°D．45°【答案】B【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明两个三角形全等是解题的关键；过点A作AG⊥BE，AH⊥CD，垂足分别为G、H；由等边三角形的性质易证△ABE≌△ADC，则∠ADC=∠ABE，CD=BE；由三角形内角和得∠DOB=∠DAB=60°，则∠DOE=120°；再由全等得S△ABE=S△ADC，则可得AH=AG，由角平分线判定定理得∠AOE=60°，从而∠OAB+∠OBA=60°．【详解】解：如图，过点A作AG⊥BE，AH⊥CD，垂足分别为G、H；∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADC，∴∠ADC=∠ABE，CD=BE；∵180°−∠ADC−∠DAB=180°−∠ABE−∠DOB，∴∠DOB=∠DAB=60°，∴∠DOE=120°；∵△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC，∴12BE⋅AG=12CD⋅AH，∴AH=AG，∴OA是∠DOE的平分线，∴∠AOE=12∠DOE=60°，∵∠AOE=∠OAB+∠OBA，∴∠OAB+∠OBA=60°．故选：B．【变式2】如图，已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在边AC上，且AE=AD，则∠EDC的大小为 度．【答案】15【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质；由等边三角形的性质得 ∠DAE=12∠BAC=30°，由等腰三角形的性质得∠AED=12180°−∠DAE，由三角形的外角性质得∠AED=∠EDC+∠C，即可求解．【详解】解：∵ △ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠DAE=12∠BAC=30°，∵ AE=AD，∴∠AED=12180°−∠DAE =75°，∵∠AED=∠EDC+∠C，∴∠EDC+60°=75°，∴∠EDC=15°，故答案为：15．【变式3】如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE= ．【答案】30°/30度【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的性质【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形得到∠ABC=60°，根据三线合一得到∠DBC的度数，进而根据三角形的外角的性质即可得到答案．【详解】解：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，∵ BD是等边△ABC的边AC上的中线，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=30°，∵BD=ED，∴∠DEC=∠CBD=30°，∴∠CDE=∠ACB−∠DEC=60°−30°=30°故答案为：30°．考点2：等边三角形的性质——求线段典例2：如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP=CQ时，PQ交AC于点D，则DE的长为（   ）A．13B．12C．23D．不能确定【答案】B【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点Q作AD的延长线的垂线于点F，证明△AEP≌△CFQ，△DEP≌△DFQ，根据全等三角形的性质可得AC=2DE，进而可得DE=12AC，即可求解．【详解】解：过点Q作AD的延长线的垂线于点F， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∵∠ACB=∠QCF，∴∠QCF=60°，∵PE⊥AC，QF⊥AC，∴∠AEP=∠CFQ=90°，又∵AP=CQ，∴△AEP≌△CFQ，∴AE=CF，PE=QF.同理可证，△DEP≌△DFQ，∴DE=DF，∴AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，∴DE=12AC=12，故选：B．【变式1】如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE=CD，若DE=43，则AB=（   ）A．43B．6C．8D．83【答案】C【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形【分析】先证明∠E=30°=∠DBE，得到BD=DE=43，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【详解】解：∵在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30°，∠DCB=60°，∴AB=2AD；∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠DCB=60°，∴∠E=30°=∠DBE，∴BD=DE=43，由勾股定理得：AB2−AD2=BD2,∴4AD2−AD2=BD2，∴AD=33BD=4，∴AB=2AD=8．故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．【变式2】如图，点D是等边△ABC中边AB上一点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE，与AC相交于点F，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，若AB=12，则HF的长度为 ．【答案】6【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；过D作DG∥BC交AC于点G，判定△ADG为等边三角形，进而判定△DFG≌△EFC，根据三线合一得到AH=HG=12AG，进而求解即可；【详解】解：过D作DG∥BC交AC于点G，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∠FDG=∠E，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=12，∠B=∠ACB=∠A=60°，∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG，∵AD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∠DFG=∠EFC∠FDG=∠EDG=CE，∴△DFG≌△EFCAAS，∴GF=FC=12GC，∵DH⊥AC，∴AH=HG=12AG，∴HF=HG+GF=12AG+12GC=12AC=6；故答案为：6【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，BD=2，则AD的长度是 ．【答案】6【知识点】含30度角的直角三角形【分析】本题考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记相关性质是解题关键．根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB−BD计算即可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=2，∴BC=2BD=4，AB=2BC=2×4=8，∴AD=AB−BD=8−2=6．故答案为：6．考点3：等边三角形的性质——手拉手全等典例3：如图，△ABC与△ADE是等边三角形．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)延长CE交BD于点F，判断∠BFC的大小并证明．【答案】(1)见解析(2)120°，见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明出全等是解题关键．（1）根据等边三角形的性质，利用“SAS”即可证明全等；（2）由全等的性质得到∠ADB=∠AEC，进而得到∠PFD=∠DAE=60°，即可求出∠BFC的大小．【详解】（1）证明：∵△ABC与△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACESAS；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵∠DPF=∠APE，∵∠PFD=180°−∠ADB−∠DPF，∠DAE=180°−∠AEC−∠APE，∴∠PFD=∠DAE=60°，∴∠BFC=180°−∠PFD=120°．【变式1】如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．(1)求证：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度数；(3)求证：AF平分∠DFE．【答案】(1)见解析；(2)60°；(3)见解析．【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）由△ABD、△ACE 是等边三角形，易证∠DAC=∠BAE，继而可证△ABE≌△ADC；（2）由△ABE≌△ADC，得到∠AEB=∠ACD，进一步得到∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE，由三角形内角和得到答案；（3）作AH⊥DC于点H，AN⊥BE于点N，证明AH=AN，由AH⊥DC，AN⊥BE，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴DA=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌ △ADCSAS；（2）解：∵△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE=120°，∴∠EFC=60°；（3）证明：如图，作AH⊥DC于点H，AN⊥BE于点N，∵△ABE≌△ADC，∴DC=BE，△ABE和△ADC的面积相等，∴AH=AN，∵AH⊥DC，AN⊥BE，∴AF平分∠DFE．【变式2】如图，△ABC是等边三角形．AB=6，AD是边BC上的高，点E在边AD上，连接BE，以BE为边在其下方作等边△BEF，连接DF、CF．(1)当△BDE是等腰三角形时，∠ABF= ；(2)求证：△ABE≌△CBF；(3)当△CDF是等腰三角形时，求∠BDF的大小；(4)直接写出DF的最小值．【答案】(1)75°(2)见解析(3)150°或105°或60°．(4)32【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】（1）根据等边三角形性质得到∠ABC=∠EBF=60°，根据∠BDE=90°，△BDE是等腰三角形，得∠EBD=45°，得∠ABF=∠ABC+∠EBF−∠EBD=75°．（2）根据等边三角形性质得AB=BC，BE=BF，∠ABE=∠CBF，得△ABE≌△CBFSAS．（3）根据△CDF是等腰三角形，其中∠BCF=30°，若FD=FC， 则∠CDF=∠DCF=30°，得∠BDF=150°； 若CD=CF，则∠CDF=75°，得∠BDF=105°；若DC=DF，则∠CFD=∠DCF=30°，得∠BDF=60°；（4）根据等边三角形性质得到BC=6，∠BAC=60°，根据AD⊥BC，得CD=3，∠BAD=30°，根据全等三角形性质得∠BCF=30°，得当DF⊥CF时，DF最小．【详解】（1）解：∵△ABC和△BEF都是等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°．∵AD⊥BC，∴∠BDE=90°．∵△BDE是等腰三角形，∴DB=DE．∴∠EBD=∠BED=12180°−∠BDE=45°．∴∠ABF=∠ABC+∠EBF−∠EBD=75°．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°．∵△BEF是等边三角形，∴BE=BF，∠CBF+∠EBC=60°．∴∠ABE=∠CBF．在△ABE和△CBF，AB=CB∠ABE=∠CBFBE=BF，∴△ABE≌△CBFSAS．（3）解：当△CDF是等腰三角形时，若FD=FC，∵∠BCF=30°，∴∠CDF=∠DCF=30°．∴∠BDF=180°−∠CDF=150°．若CD=CF，则∠CDF=12180°−∠DCF=75°．∴∠BDF=180°−∠CDF=105°．若DC=DF，则∠CFD=∠DCF=30°．∴∠BDF=∠DCF+∠CFD=60°．故∠BDF的大小为150°或105°或60°．（4）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6，∠BAC=60°．∵AD⊥BC，∴CD=12BC=3，∠BAD=12∠BAC=30°．∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF=∠BAE=30°．∴当DF⊥CF时，DF最小．最小值为DF=12CD=32．【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含30度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键．【变式3】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．(1)如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE，与△ADB全等的三角形是________，BD和CE的数量关系是_______；(2)如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图③，在△ABC中，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE、CD交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．【答案】(1)△AEC；BD=CE(2)BD=CE且BD⊥CE，理由见解析(3)BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的性质、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)【分析】（1）先判断出∠DAB=∠EAC，进而证明△DAB≌△EAC，即可得出结论；（2）先证明△DAB≌△EAC，得出BD=CE，∠DBA=∠ECA，进而判断出∠DBC+∠ECB，即可得出结论；（3）先证明△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而求出∠BPD=60°，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．【详解】（1）解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，∴△DAB≌△EACSAS，∴BD=CE，故答案为：△AEC，BD=CE；（2）解：BD=CE且BD⊥CE；理由如下：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．∴∠DAB=∠EAC．在△DAB和△EAC中，AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，∴△DAB≌△EACSAS，∴BD=CE，∠DBA=∠ECA，∵∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，∴∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°，∴∠DBC+∠ECB=90°，∴∠BPC=180°−(∠DBC+∠ECB)=90°，∴BD⊥CE，综上所述：BD=CE且BD⊥CE；（3）解：BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°，理由如下：∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠ADB=∠ABD=∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠CAD=∠EAB，在△ACD和△AEB中，AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，∴△ACD≌△AEBSAS，∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BPD=180°−∠PBD−∠BDP=180°−∠ABE−∠ABD−∠BDP=180°−∠ABD−(∠ABE+∠BDP)=180°−∠ABD−(∠ADC+∠BDP)=180°−∠ABD−∠ADB=60°，∴∠PBC+∠PCB=∠BPD=60°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出△DAB≌△EAC是解本题的关键．考点4：等边三角形的性质——证明典例4：如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．(1)求证：△ADC≌△BEA；(2)若PQ=5，PE=2，求AD的长．【答案】(1)见解析(2)12【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°；可得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=10，则BE=BP+PE=12．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，在△ADC与△BEA中，CA=AB∠C=∠BAECD=AE，∴△ADC≌△BEASAS；（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE=∠CAD，∴∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴PQ=12BP=5，∴BP=10，又∵PE=2，∴BE=BP+PE=12，∵△ADC≌△BEA，∴AD=BE=12．【变式1】已知：在等边三角形ABC中，点D为边AB上一点，E为CB延长线上一点，AD=BE．(1)如图1，求证：DE=DC；(2)如图2，延长ED交AC于点F，若点D为AB中点，且CF+BE=10，求AF的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)2【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质【分析】（1）如图所示，过点D作DM∥BC，可得△ADM是等边三角形，BD=CM，DM=BE，∠DBE=∠DMC，证明△DMC≌△EBDSAS，即可求解；（2）如图所示，过点D作DN∥BC，由（1）的证明可得，△ADN是等边三角形，BD=CN，由等边三角形的性质，外角和的性质，对顶角相等的知识可得∠ADF=∠BDE=30°，AD=2AF=BD=BE，DN=2NF=AD，则有CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，根据CF+BE=10，得到3AF+2AF=10，由此即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，过点D作DM∥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC，∵DM∥BC，∴∠ADM=∠ABC=60°,∠AMD=∠ACB=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=DM=AM，∴AB−AD=AC−AM，即BD=CM，∵AD=BE，∴DM=BE，∵∠ABC=∠AMD=60°，∴∠DBE=∠DMC=180°−60°=120°，在△DMC和△EBD中，DM=EB∠DMC=∠EBDMC=BD∴△DMC≌△EBDSAS，∴DE=DC；（2）解：如图所示，过点D作DN∥BC，由（1）的证明可得，△ADN是等边三角形，∵点D为AB中点，∴AD=BD=12AB，∵AD=BE，∴BE=BD，∴△BDE是等腰三角形，则∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=60°，∴∠E=∠BDE=30°，∴∠ADF=∠BDE=30°，在△ADF中，∠A=60°，∴∠AFD=180°−∠ADF−∠A=180°−30°−60°=90°，∴AD=2AF=BD=BE，∵∠ADN=60°,∠ADF=30°，∴∠FDN=30°，且∠DFN=90°，∴DN=2NF=AD，∴AF=FN，由（1）可得BD=CN，∴CN=2NF=2AF，∴CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，∵CF+BE=10，∴3AF+2AF=10，解得，AF=2．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．【变式2】如图，在等边三角形ABC中，AB=4，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=BA，且∠EBD=∠CBD，连接DE，CE，(1)如图1，求证：①∠DAC=∠DBC；②∠DEB=30°；(2)如图2，若EC∥AD，求出△EBC的面积是多少？【答案】(1)①详见解析；②详见解析(2)4【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键．（1）①根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明△ACD≌△BCD，从而可证明结论成立；②利用“边角边”证明△BED≌△BCD，从而可证明结论正确；（2）利用平行线的性质得出∠DAC=∠ECA，再根据三角形的内角和定理求出∠ECA=∠DBC=∠DBE=15°，求得∠CBE=30°，则可证明BE是AC的中垂线，再根据含30°的直角三角形性质求出△EBC中BE边上的高，即可求得S△EBC=1．【详解】（1）证明：①如图1，连接DC，∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC，∠ACB=60°，∵ DB=DA，DC=DC，∴ △ACD≌△BCDSSS，∴ ∠BCD=∠ACD=12∠ACB=30°，∠DAC=∠DBC；②∵ BE=AB，∴ BE=BC，∵ ∠EBD=∠CBD，BD=BD，∴ △BED≌△BCDSAS，∴ ∠DEB=∠BCD=30°；（2）解：如图2，设BE与AC交于点N，连接DC，∵ AD∥CE，∴ ∠DAC=∠ECA，∵ ∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，∴设∠ECA=x°，则∠CAD=∠DBC=∠DBE=x°，∵ BE=BA，∴ BE=BC，∴ ∠BCE=∠BEC=60°+x，在△BEC中，有∴ 2x+260+x=180，解得：x=15，∴ ∠CBE=30°，∴ ∠ABE=60°−∠CBE=30°，∴ BE是△ABC的角平分线，也是AC的中垂线．∵ BC=BE=4，∠CBE=30°，∴ BE边上的高为CN=12BC=2，∴ S△BEC=12×4×2=4．【变式3】如图，△ABC中AB=AC，△ABD和△ACE分别为等边三角形，BE与CD相交于点F，连AF并延长交BC于点G．(1)求证：BE=CD；(2)求证：G为BC的中点；(3)已知∠BAC=α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)∠BDC=α2【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、线段垂直平分线的判定、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】（1）根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ACE=60°，DB=AB=AC=EC，证明出△ECB≌△DBCSAS，即可得出BE=CD；（2）根据△ECB≌△DBC得∠BCD=∠CBE，再根据线段垂直平分线的判定即可证明；（3）根据AB=AC和AG是BC的垂直平分线得∠BAG=∠CAG=12∠BAC=12α，再借助△ABD和△ACE为等边三角形得出∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD=12×180°−60°−α=60°−α2，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴∠ABD=∠ACE=60°，DB=AB=AC=EC，∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ACB，即∠CBD=∠BCE，在△ECB和△DBC中，EC=DB∠BCE=∠CBDBC=CB∴△ECB≌△DBCSAS，∴BE=CD．（2）证明：由（1）得△ECB≌△DBC，∴∠BCD=∠CBE，∴BF=CF，∵AB=AC，∴AG是BC的垂直平分线，∴G为BC的中点．（3）解：由（2）可知，AG是BC的垂直平分线，∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠BAG=∠CAG=12∠BAC=12α，∵△ABD和△ACE为等边三角形， ∴∠ADB=∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠EAB=60°+α，∵DB=AB=AC=EC，∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD=12×180°−60°−α=60°−α2，∴∠BDC=∠ADB−∠ADC=60°−60°−α2=α2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．考点5：含30°角直角三角形性质典例5：如图，已知∠O=60°，点C在OB上，OC=8，点D、E在OA上，且CD=CE．若DE=4，则OE的长为（   ）A．6B．4C．3D．2【答案】D【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点C作CH⊥OA于点H，结合∠O=60°，可得∠OCH=30°，推出OH=12OC=4，根据等腰三角形的性质可得EH=12DE=2，最后根据线段的和差即可求解．【详解】解：如图，过点C作CH⊥OA于点H，∵ ∠O=60°，∴ ∠OCH=90°−∠O=30°，∴ OH=12OC=4，∵ CD=CE，CH⊥OA，DE=4，∴ EH=12DE=2，∴ OE=OH−EH=4−2=2，故选：D．【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD=8，则AC的长为（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到AD=BD=8，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出∠ADC=30°，则AC=12AD=4．【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD=BD=8，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°，又∵∠C=90°，∴AC=12AD=4，故选C．【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC，AD=CD．连接AC，过点D作DE∥AB分别交BC，AC于点E，F．若AB=8，DE=6，则AF的长为 ．【答案】6【知识点】线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．连接BD交AC于点O，证明△FCE为等边三角形，则设FE=FC=x，则DF=6−x，由∠ODF=30°，则在Rt△ODF中，DF=2OF，得到一元一次方程，解方程即可解答．【详解】解：连接BD交AC于点O，∵AB=BC，AD=CD，∴BD是AC的垂直平分线，∴AO=OC，∠AOD=∠FOD=90°，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=8，∠BAC=∠ACB=60°，∵DE∥AB，∴∠FEC=∠ABC=60°，∠EFC=∠BAC=60°，∴∠FEC=∠EFC=∠FCE=60°，∴△FCE为等边三角形，设FE=FC=x，∵DE=6，∴DF=6−x，∴AO=OC=12AC=4，∴OF=4−x，∵∠OFD=∠EFC=60°，∴∠ODF=30°，在Rt△ODF中，DF=2OF，∴6−x=24−x，解得：x=2，∴AF=AC−CF=8−2=6；故答案为：6．【变式3】如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC，点F在BC的延长线上，且EB=EF，若BD=6，BF=12，则线段DE的长为 ．【答案】3【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键熟练掌握以上性质；过点E作EH⊥BF，垂足为H，设DE=x，由等边三角形的性质可得∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，再证明△ADE是等边三角形，可得CE=BD=6，AB=BC=AC=6+x，再由含30°的直角三角形的性质可得CH=12CE=3，再根据等腰三角形的性质可得BH=FH=12BF=6，再列方程求解即可．【详解】如图，过点E作EH⊥BF，垂足为H，则∠EHC=90°，设DE=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=DE=x，∠ACB=60°，∴AB−AD=AC−AE，∴CE=BD=6，AB=BC=AC=6+x，∵∠ACB=60°，∠EHC=90°，∴∠HEC=90°−∠ACB=90°−60°=30°，∴CH=12CE=3，∴BH=BC−CH=6+x−3=3+x，∵BE=EF，EH⊥BF，∴BH=FH=12BF=6，∴3+x=6，解得x=3，∴DE=3，故答案为：3．考点6：等边三角形的判定典例6：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．(1)求证：△ABE是等边三角形；(2)若∠ACB=26°，求∠FGC的度数．【答案】(1)见解析(2)86°【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定、根据旋转的性质求解【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，外角的定义，充分利用旋转的性质是解答本题的关键．（1）根据旋转的性质，等边三角形的判定定理即可得证；（2）根据旋转的性质，结合三角形的外角定理计算即可解答．【详解】（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴ △ABE是等边三角形；（2）解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠BAE=∠CAF=60°，∠ACB=∠AFE=26°，∵∠FGC是△AGF的外角，∴∠FGC=∠CAF+∠AFE=26°+60°=86°．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC交BC于点G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．(1)求证：△ABD是等边三角形；(2)若GD=3，DE=5，求四边形AEDF的周长．【答案】(1)见解析(2)16【知识点】等边三角形的判定、等边三角形的性质、根据三线合一证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．（1）由等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠DAC=12∠BAC=60°，再结合AD=AB即可证明结论；（2）由等边三角形的性质可得∠ADB=∠ABD=60°，再结合∠EDF=60°可得∠BDE=∠ADF，易证△BDE≌△ADF可得BE=AF,DE=DF=5，再根据等边三角形的性质可得AG=DG=3，即AB=AD=6；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答．【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=60°．又∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形．（2）解：∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB=∠ABD=60°，∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDE=∠ADE+∠ADF=60°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE和△ADF中，∠DBE=DAF=60°BD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADFASA，∴BE=AF,DE=DF=5，∵AD⊥BC交BC于点G，△ABD是等边三角形，∴AG=DG=3，即AB=AD=6∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=AE+DE+DF+BE=AE+BE+DE+DF=AB+DE+DF=6+5+5=16．【变式2】如图1，△ABC和△ADE都是顶角为120°的等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE=120°，点D在BC上．(1)求证： BD=EC；(2)求证：如图2，当点E在BA的延长线上，△EDC为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】等边三角形的判定、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定；（1）证明△BAD≌△CAESAS即可得到BD=EC；（2）由△BAD≌△CAESAS得到∠B=∠ACE=30°，当点E在BA的延长线上时∠DAC=60°=∠EAC，即可证明△CAD≌△CAESAS，得到CD=CE，∠ACE=∠ACD=30°，根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定即可．【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是顶角为120°的等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS，∴BD=EC；（2）证明：当点E在BA的延长线上时∠EAC=180°−∠BAC=60°，∴∠DAC=∠DAE−∠EAC=120°−60°=60°=∠EAC，∵AD=AE，AC=AC，∴△CAD≌△CAESAS，∴CD=CE，∠ACE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∴∠B=∠ACE=30°，∴∠ACE=∠ACD=30°，∴∠ECD=60°，∴△EDC为等边三角形．【变式3】如图，已知△ABC，AB=AC，∠B=50°，点D在线段BC上，点E在线段AC上，设∠BAD=α，∠CDE=β．(1)如果α=20°，β=10°，那么△ADE是等边三角形？请说明理由；(2)若AD=AE，试求α与β之间的关系．【答案】(1)△ADE是等边三角形，理由见解析(2)α=2β【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得∠C=∠B=50°，进而可得∠DAE=60°，然后利用三角形的外角定义可得∠AED=60°，从而利用三角形内角和定理求出∠ADE=60°，即可解答；（2）利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答．【详解】（1）解：△ADE是等边三角形，理由如下：理由：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°，∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=80°−α=80°−20°=60°，∵β=10°，∴∠DEA=∠C+β=60°，∴∠ADE=180°−∠DAE−∠DEA=60°，∴ △ADE是等边三角形；（2）若AD=AE时，则α=2β，证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∴∠ADE+β=∠B+α，∴∠ADE=∠B+α−β，∵∠AED=∠C+∠CDE=∠B+β，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+α−β=∠B+β∴α=2β．考点7：等边三角形综合典例7：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．(1)求证：△ABE是等边三角形；(2)若∠ACB=26°，求∠FGC的度数．【答案】(1)见解析(2)86°【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定、根据旋转的性质求解【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，外角的定义，充分利用旋转的性质是解答本题的关键．（1）根据旋转的性质，等边三角形的判定定理即可得证；（2）根据旋转的性质，结合三角形的外角定理计算即可解答．【详解】（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴ △ABE是等边三角形；（2）解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠BAE=∠CAF=60°，∠ACB=∠AFE=26°，∵∠FGC是△AGF的外角，∴∠FGC=∠CAF+∠AFE=26°+60°=86°．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC交BC于点G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．(1)求证：△ABD是等边三角形；(2)若GD=3，DE=5，求四边形AEDF的周长．【答案】(1)见解析(2)16【知识点】等边三角形的判定、等边三角形的性质、根据三线合一证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．（1）由等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠DAC=12∠BAC=60°，再结合AD=AB即可证明结论；（2）由等边三角形的性质可得∠ADB=∠ABD=60°，再结合∠EDF=60°可得∠BDE=∠ADF，易证△BDE≌△ADF可得BE=AF,DE=DF=5，再根据等边三角形的性质可得AG=DG=3，即AB=AD=6；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答．【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=60°．又∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形．（2）解：∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB=∠ABD=60°，∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDE=∠ADE+∠ADF=60°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE和△ADF中，∠DBE=DAF=60°BD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADFASA，∴BE=AF,DE=DF=5，∵AD⊥BC交BC于点G，△ABD是等边三角形，∴AG=DG=3，即AB=AD=6∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=AE+DE+DF+BE=AE+BE+DE+DF=AB+DE+DF=6+5+5=16．【变式2】如图1，△ABC和△ADE都是顶角为120°的等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE=120°，点D在BC上．(1)求证： BD=EC；(2)求证：如图2，当点E在BA的延长线上，△EDC为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】等边三角形的判定、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定；（1）证明△BAD≌△CAESAS即可得到BD=EC；（2）由△BAD≌△CAESAS得到∠B=∠ACE=30°，当点E在BA的延长线上时∠DAC=60°=∠EAC，即可证明△CAD≌△CAESAS，得到CD=CE，∠ACE=∠ACD=30°，根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定即可．【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是顶角为120°的等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS，∴BD=EC；（2）证明：当点E在BA的延长线上时∠EAC=180°−∠BAC=60°，∴∠DAC=∠DAE−∠EAC=120°−60°=60°=∠EAC，∵AD=AE，AC=AC，∴△CAD≌△CAESAS，∴CD=CE，∠ACE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∴∠B=∠ACE=30°，∴∠ACE=∠ACD=30°，∴∠ECD=60°，∴△EDC为等边三角形．【变式3】如图，已知△ABC，AB=AC，∠B=50°，点D在线段BC上，点E在线段AC上，设∠BAD=α，∠CDE=β．(1)如果α=20°，β=10°，那么△ADE是等边三角形？请说明理由；(2)若AD=AE，试求α与β之间的关系．【答案】(1)△ADE是等边三角形，理由见解析(2)α=2β【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得∠C=∠B=50°，进而可得∠DAE=60°，然后利用三角形的外角定义可得∠AED=60°，从而利用三角形内角和定理求出∠ADE=60°，即可解答；（2）利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答．【详解】（1）解：△ADE是等边三角形，理由如下：理由：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°，∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=80°−α=80°−20°=60°，∵β=10°，∴∠DEA=∠C+β=60°，∴∠ADE=180°−∠DAE−∠DEA=60°，∴ △ADE是等边三角形；（2）若AD=AE时，则α=2β，证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∴∠ADE+β=∠B+α，∴∠ADE=∠B+α−β，∵∠AED=∠C+∠CDE=∠B+β，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+α−β=∠B+β∴α=2β．考点8：等边三角形综合——动点典例8：已知：△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP=30°，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE，CE．(1)当点D在线段BC上运动时，①依题意将图1补全；②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明；(2)如图2，当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明．【答案】(1)①见解析；②AB=CE+CD，证明见解析(2)AB=CE+CD或AB=CE−CD或AB=CD−CE【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，理解题意，进行分类讨论，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．（1）①根据题意，作出图形即可；②根据轴对称的性质可得：DP垂直平分AE，得出AD=DE，∠ADE=60°，确定△ADE是等边三角形，利用等边三角形的性质及各角之间的数量关系可得∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，结合图中线段间的数量关系即可证明；（2）数量关系有三种，可分三种情况讨论：①当点D在线段BC上时，AB=CE+CD，②当点D在点B的左侧时，AB=CD−CE，③当点D在点C右侧时，AB=CE−CD，根据等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质证明即可．【详解】（1）解：①补全图1如 下：②AB=CE+CD，证明如下：∵点A关于射线DP的对称点为E，∴ DP垂直平分AE，∴ AD=DE，又∵ ∠ADP=30°，∴ ∠ADE=60°，∴ △ADE是等边三角形， ∴ AD=AE，∠DAE=∠ADE=60°，又∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC，∠BAC=60°．∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴ △BAD≌△CAESAS，∴ BD=CE，∴ AB=BC=BD+CD=CE+CD，即AB=CE+CD；（2）解：AB=CE+CD或AB=CE−CD或AB=CD−CE；①当点D在线段BC上时，AB=CE+CD，证明过程为（1）；②当点D在点B的左侧时，AB=CD−CE，如下图所示，证明如下：由（1）得，△ADE是等边三角形，∴ AD=AE，∠DAE=∠ADE=60°，又∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC，∠BAC=60°，∴ ∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴ △BAD≌△CAESAS，∴ BD=CE，∴ AB=BC=CD−BD=CD−CE，即AB=CD−CE；③当点D在点C右侧时，AB=CE−CD，如图所示，证明如下：由（1）得，△ADE是等边三角形，∴ AD=AE，∠DAE=∠ADE=60°，又∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC，∠BAC=60°，∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴ △BAD≌△CAESAS，∴ BD=CE，∴ AB=BC=BD−CD=CE−CD．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠A=60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．(1)判断△DEF的形状，并说明理由；(2)若AD=13，CE=9，则CF的长为 ．【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)5【知识点】线段垂直平分线的判定、三线合一、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：（1）先证明△ABD为等边三角形，进而得到∠ADB=60°，结合平行线的性质，推出△DEF是等边三角形即可；（2）连接AC交BD于点O，易得AC垂直平分BD，三线合一，结合平行线的性质，推出CE=AE，进而求出DE的长，根据等边三角形的性质，得到EF的长，利用CE−EF求出CF的长即可．【详解】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB=60°，∠ABD=60°，∵CE∥AB，∴∠DEF=∠A=60°,∠EFD=∠ABD=60°，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB=AD，CB=CD，∴AC垂直平分BD，∴AO⊥BD，∴∠BAO=∠DAO=12∠BAD=30°，∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAO=∠DAO，∴AE=CE=9，∴DE=AD−AE=13−9=4，∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE=4，∴CF=CE−EF=9−4=5；故答案为：5．【变式1】如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，CF平分∠ACB，交AD于E，交AB于F．(1)如图1，求证：△AEF是等边三角形；(2)如图1，若BC=8，则CD的长为________．(3)取AE的中点为G，连接FG，如图2，求证：△EFG≌△ECD．【答案】(1)见解析(2)2(3)见解析【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识．熟练掌握以上知识点是关键．（1）根据直角三角形两个锐角互余可得∠ACB=60°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出∠ACF=30°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠AFE=60°，即可证明；（2）根据Rt△ABC中∠B=30°，可得AC=12BC=4，同理CD=12AC=2，即可求解；（3）由（1）△AEF是等边三角形，得到AE=EF=AF，再由∠ACF=∠CAD=30°证明EF=AE=CE，进而利用AAS证明△EFG≌△ECD．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°,∠B=30°，∴∠ACB=60°，∵CF平分∠ABC，∴∠ACF=∠BCF=30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴∠DAB=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−30°=60°，∴∠AFE=180°−∠BAC−∠ACF=180°−90°−30°=60°，∴∠AEF=180°−∠AFE−∠DAB=180°−60°−60°=60°，∴∠DAB=∠AFE=∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形．（2）解：Rt△ABC中，∵∠BAC=90°,∠B=30°,BC=8，∴AC=12BC=4，由（1）可得∠ACB=60°,∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠ACD=30°，∴CD=12AC=2．（3）由（1）得△AEF是等边三角形，且G为AE的中点，∴GF⊥AE ，∠DAB=60°，AE=EF=AF ，∴∠EGF=90°=∠EDC，∵CF平分∠ABC，∴∠ACF=∠BCF=30° ，∴∠CAD=90°−∠ACB=30°，∴∠ACF=∠CAD=30°，∴AE=CE，则EF=CE在△EFG和△ECD中，∠EGF=∠EDC∠FEG=∠CEDEF=CE，△EFG≌△ECD（AAS）．【变式2】如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是射线BA，CB，AC上的点，且AD=BE=CF，连结DE，EF，DF．(1)求证：DE=EF；(2)试判断△DEF的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)△DEF是等边三角形，理由见解析【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，（1）根据等边三角形性质得AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，则∠DAF=∠EBD=∠FCE=120°，再根据AD=BE=CF，得BD=CE=AF，证明△DEB≌△EFCSAS全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论；（2）证明△ADF≌△CFESAS，则DF=EF，再由（1）的结论得DE=EF=EF，由此可判定△DEF的形状；理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DAF=∠EBD=∠FCE=120°，∵AD=BE=CF，∴BD=CE=AF，在△DEB与△EFC中，BD=CE∠EBD=∠FCEBE=CF，∴△DEB≌△EFCSAS，∴DE=EF；（2）△DEF是等边三角形．理由：在△ADF与△CFE中，AF=CE∠DAF=∠FCEAD=CF，∴△ADF≌△CFESAS，∴FD=EF，∵DE=EF，∴DE=EF=EF，∴△DEF是等边三角形．【变式3】如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点．由点A向点C运动（P与点A、C不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．(1)若设AP的长为x，则PC= ，QC= ．(2)当∠BQD=30°时，求BD的长．(3)点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．【答案】(1)6−x，6+x(2)2(3)线段ED的长不发生变化，DE=3【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质【分析】（1）设AP的长为x，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案；（2）易得∠QPC=90°，由含30°角的直角三角形的性质可得6−x=126+x，解答即可求得AP的长，进而得到BD的长；（3）过点P作BC的平行线交AB于M，证得△PDM≌△QDBAAS，得到BD=DM，进而求得DE=DM+ME=12AB=3．【详解】（1）解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴AB=BC=AC=6，由点A向点C运动（P与点A、C不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），设AP的长为x，∴PC=6−x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，故答案为：6−x，6+x；（2）解：根据题意可知：BQ=AP=x，∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠BQD=30°，∴∠CPQ=180°−∠C−∠BQD=90°，∠QDB=∠B−∠BQD=30°，∴△QCP是直角三角形，∠BQD=∠BDQ，∴QB=BD，∴PC=12QC，∴6−x=126+x，解得x=2，∴BQ=AP=BD=2；（3）解：点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE=3，理由如下：过点P作BC的平行线交AB于M，如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°，∵PM∥BC，∴∠AMP=∠A=∠ABC=60°，∠PMD=∠QBD，∴△AMP是等边三角形，∴MP=AP=x，∵PE⊥AB，∴AE=ME，∵QB=AP=x，∴QB=MP，∵∠PDM=∠QDB，∴△PDM≌△QDBAAS，∴BD=DM，∴DE=DM+ME=12BM+12AM=12BM+AM=12AB=3，∴点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE=3．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．考点9：等边三角形综合——规律典例9：如图所示，菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，连接AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，∠FAC=60°，连接AE，以AE为边作第三个菱形AEGH，∠HAE=60°，…，按这个规律所作的第2024个菱形的边长是 ．【答案】32023【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质【分析】连接BD，根据菱形的性质，推出△ABD是等边三角形，得到BD=AD=1，∠BAM=30°，利用勾股定理得到AM=32，从而得到AC=3，同理可得，AE=32，AG=33，以此类推，第n个菱形的边长为3n−1，据此即可得到答案．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，边长为1，∴AB=AD=1，AC⊥BD，AC=2AM，∴∠AMB=90°，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AD=1，∠ABM=60°，∴∠BAM=180°−∠AMB−∠ABD=180°−90°−60°=30°，∴BM=12AB=12，∴AM=AB2−BM2=12−122=32，∴AC=3，同理可得，AE=3AC=3×3=32，AG=3AE=3×32=33，以此类推，第n个菱形的边长为3n−1，∴第2024个菱形的边长是32023，故答案为： 32023．【点睛】本题考查了图形类规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用菱形的性质归纳出正确的规律是解题关键．【变式1】如图，等边三角形ABC的边长为4，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1，过点A1作A1B1//OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2//OA，交OC于点B2，则点A1的坐标是 ，按此规律进行下去，点A2021的坐标是 【答案】 （3，3） （4-122020,322020）【知识点】等边三角形的判定和性质、点坐标规律探索【分析】根据图形算出A点、A1点、A2点的坐标，进而总结出坐标规律，即可完成本题．【详解】如图，分别连接AB1、A1B2、A2B3、A3B4、… ∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠A=∠ACB=60°∵BA1⊥AC ∴A1是AC的中点∵A1B1//OA∴B1是BC的中点∴AB1⊥BC ∴BB1=B1C=12BC=2由勾股定理得AB1=23∴A(2,23) ∵A1B1//OA∴∠A1B1C=∠ABC=60° ∴△A1B1C是等边三角形，且边长为2同理可得：A2点是A1C中点，B2是B1C的中点∴B1B2=B2C=1，A1B2=3 ∴BB2=BB1+B1B2=2+1=3 ∴A1(3,3) 同理，△A2B2C是等边三角形，且边长为1∴BB3=BB1+B1B2+B2B3=2+1+12=72，A2B3=32∴A272,32同理，A3154,34，A4318,38，…一般地，An4−12n−1,32n−1根据上述规律得：A20214−122020,322020故答案为：（3，3），4−122020,322020【点睛】本题主要考查点的坐标的规律以及等边三角形的判定与性质，总结出点An的规律是解题的关键，体现了由特殊到一般的数学思想，属于填空题中的压轴题．【变式2】在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P，（n为正整数），则点P2020的坐标是 【答案】（1010，0）【知识点】等边三角形的判定和性质、点坐标规律探索【分析】通过观察可得，An每6个点的纵坐标规律：3，0，3，0，﹣3，0，点An的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，2秒钟走一段，P运动每12秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律： 12，1，32，2，52，3，…，n2，点P的纵坐标规律：32，3，32，0，32，3，32，0，−32，−3，−32，0，…，确定P2020循环余下的点即可．【详解】解：∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形，∴A1(1,3)   A2（2，0）A3(3,3)A4（4，0）A5(5,−3)A6（6，0）A7(7,3)…∴An中每6个点的纵坐标规律：3，0，3，0，﹣3，0， 点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，2秒钟走一段，P运动每12秒循环一次点P的纵坐标规律：32，3，32，0，32，3，32，0，−32，−3，−32，0，…，点P的横坐标规律： 12，1，32，2，52，3，…，n2，∵2020÷12＝168…4，∴点P2020的纵坐标为0，∴点P2020的横坐标为1010，∴点P2020的坐标（1010，0），故答案为：（1010，0）．【点睛】本题考查点的规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，确定点的坐标规律是解题的关键．【变式3】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED//AB，EF//AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1；作E1D1//FB，E1F1//EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，S2012= ．  【答案】324025【知识点】三角形中位线与三角形面积问题、等边三角形的判定和性质【分析】先利用中位线定理、等边三角形的判定与性质求出S1，S2，S3，再归纳总结出一般规律，由此即可得．【详解】∵ △ABC是边长为1的等边三角形∴BC=AB=AC=1,∠ABC=60°∵点E为BC的中点，ED//AB,EF//AC∴DE,EF都是△ABC的中位线，CD=CE=BE=BF=12AB=12∴△CDE,△BEF都是等边三角形，且S△CDE=S△BEF=14S△ABC∴S1=S△ABC−S△CDE−S△BEF=S△ABC−14S△ABC−−14S△ABC=12S△ABC同理可得：S2=12S△BEF=12×14S△ABCS3=12S△BE1F1=12×14S△BEF=12×14×14S△ABC=12×142S△ABC归纳类推得：Sn=12⋅14n−1S△ABC（其中，n为正整数）如图，连接CF则CF⊥AB（等腰三角形的三线合一）∴BF=12BC=12,CF=BC2−BF2=32∴S△ABC=12AB⋅CF=12×1×32=34∴Sn=12⋅14n−1⋅34=32⋅4n=32⋅22n=322n+1则S2012=322×2012+1=324025故答案为：324025．  【点睛】本题考查了中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，正确求出S1，S2，S3，并归纳总结出一般规律是解题关键．