专题03 直角三角形【知识串讲+八大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题03 直角三角形 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）直角三角形性质——角的关系①直角三角形的两个锐角互余。（二）直角三角形性质——等积法如图：△ABC为直角三角形，AD⊥BCS△ABC=AB×AC=AD×BC；则AB×AC=AD×BC（三）勾股定理逆定理表示方法：如图：三角形的三边分别为，，，若则三角形为直角三角形（四）直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等①斜边和一条直角边对应相等（HL）②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.模块三考点一遍过考点1：直角三角形的性质——角的关系典例1：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．若∠BAD=34°，则∠AEB的度数为（  ）A．56°B．60°C．62°D．65°【答案】C【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．先根据直角三角形的性质求出∠ABD，再根据角平分线的定义求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=34°，∴∠ABD=90°−∠BAD=90°−34°=56°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABD=12×56°=28°，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABE=28°，∴∠AEB=90°−28°=62°，故选：C．【变式1】如图，等腰△ABC中，腰AC上的高线为BD，∠ABC的平分线为BE，∠CBD=25°，则∠DBE为（   ）A．12.5°B．7.5°C．6.5°D．6.25°【答案】B【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线的计算，熟练掌握知识点是解题的关键．根据直角三角形两锐角互以及等边对等角得到∠ABC=∠C=65°，由角平分线得到∠CBE=12∠ABC=32.5°，再根据角度和差计算即可．【详解】解：∵腰AC上的高线为BD，∠CBD=25°，∴∠C=90°−∠CBD=65°，∵等腰△ABC，AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∵∠ABC的平分线为BE，∴∠CBE=12∠ABC=32.5°，∴∠DBE=∠CBE−∠CBD=32.5°−25°=7.5°，故选：B．【变式2】如图，在△ABC中， ∠C=90°,DE⊥AB于点E，CD=DE，若∠CBD=31°，则∠A= ．【答案】28°【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等．由题意证△CDB≌△EDB得∠EBD=∠CBD=31°即可求解．【详解】解：∵DE⊥AB，∠C=90°,∴ ∠C=∠DEB=90°，在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DEDB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDBHL，∴∠EBD=∠CBD∵∠CBD=31°∴∠EBD=31°∴∠ABC=∠EBD+∠CBD=62°，∴∠A=90°−∠ABC=90°−62°=28°，故答案为：28°．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，M，N分别是边AC，AB上的动点，沿着直线MN将△AMN对折，点A、的对称点是点A′．若A′N∥BC，则∠CMN的度数为 °．【答案】150或60【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、折叠问题【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．分两种情况：当A′在AB下方时，当A′在AB下方时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：当A′在AB下方时，如图所示：∵A′N∥BC，∴∠A′NB=∠B=60°，根据折叠可知，∠ANG=∠A′NG=12×(180°−60°)=60°，∴∠ANM=180°−60°=120°，∴∠CMN=∠ANM+∠A=120°+30°=150°；当A′在AB下方时，如图所示：∵A′N∥BC，∴∠A′NA=∠B=60°，根据折叠可知，∠ANM=∠A′NM=12×60°=30°，∴∠CMN=∠ANM+∠A=30°+30°=60°；综上分析可知，此时∠CMN=150°或60°；故答案为：150或60．考点2：直角三角形的性质——求线段典例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若∠A=30°，BC=2，则AD的长是（   ）A．3B．3C．33D．4【答案】A【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、高的定义、含30°的直角三角形性质等知识，先由直角三角形两锐角互余得到∠BCD=∠A=30°，在Rt△BCD和Rt△ABC中，由、含30°的直角三角形性质求出AB、BD，数形结合表示出AD即可得到答案，熟练掌握直角三角形两锐角互余、含30°的直角三角形性质等知识是解决问题的关键．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则∠ACD+∠BCD=90°，∵ CD是AB边上的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴ ∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A=30°，在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠BCD=30°，BC=2，则BD=12BC=1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，则AB=2BC=4，∴AD=AB−BD=4−1=3，故选：A．【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D，E，连接BD．若CD=4，则AD的长为（   ）A．4B．8C．12D．16【答案】B【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余【分析】根据直角三角形的性质，可得∠ABC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，在Rt△CBD中，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BD的值，由此即可求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠AED=∠CED=90°，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=60°−30°=30°，在Rt△CBD中，CD=4，∴BD=2CD=2×4=8，∴AD=BD=8，故选：B．【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．【变式2】如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若BE=5，则AD的长为 ．【答案】52【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，由△ADE和△BCE间角的关系可得∠DAE=∠EBC,延长AD,BC交于点F,由ASA证得△ACF≌△BCE,求出AF=BE=5,再由ASA证得△ABD≌△FBD,得到AD=FD=12AF,从而即可求出AD的长，熟练掌握其性质并能正确延长AD,BC构造全等三角形是解决此题的关键．【详解】解：如图，延长AD,BC交于点F,∵∠ACB=90°,AD⊥BD,∴∠ADE=∠BDF=∠BCE=90°,∵∠AED=∠BEC,∴90°−∠AED=90°−∠BEC,即∠DAE=∠EBC,在△ACF和△BCE中∠ACF=∠BCEAC=BC∠FAC=∠EBC，∴△ACF≌△BCEASA,∴AF=BE=5∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD,在△ABD和△FBD中,∠ABD=∠FBDBD=BD∠BDA=∠BDF,∴△ABD≌△FBDASA,∴AD=FD=12AF=52,故答案为：52．【变式3】如图，在Rt△ABC中，直角边AC=7cm，BC=3cm，CD为斜边AB上的高，点E从点B出发，沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，则点E的运动时间t= s时，CF=AB．【答案】2或5/5或2【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，先证明 △CEF≌△ACBAAS得出CE=AC=7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE=CE+BC=10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′=AC−BC=4cm即可求出E移动了2s，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠CBD=90°，∵CD为AB边上的高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠BCD=∠ECF，∴∠ECF=∠A，∵EF⊥BC，∴∠CEF=90°=∠ACB，在△CEF和△ACB中，∠ECF=∠A∠CEF=∠ACBCF=AB，∴△CEF≌△ACBAAS，∴CE=AC=7cm，①如图，当点E在射线BC上移动时，BE=CE+BC=7+3=10cm，∵点E从点B出发，直线BC以2cm/s的速度移动，∴E移动了：102=5s；②如图，当点E在射线CB上移动时，CE′=AC−BC=7−3=4cm，∵点E从点B出发，直线BC以2cm/s的速度移动，∴E移动了：42=2s；综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF=AB；故答案为：2或5．考点3：直角三角形性质——等积法典例3：如图（1），已知在△ABC中，AB=AC，且∠B=60°，过点A作AP⊥BC于点P，点M是直线BC上一动点，设点M到△ABC两边AB、AC的距离分别为m，n，△ABC的高为ℎ．(1)当点M运动到点P位置时，m与n有什么关系；(2)如图（2），试判断m、n、ℎ之间的关系，并证明你的结论；(3)如图（3），当点M运动到BC的延长线上时，求证：m2+n22024=ℎ22024+mn1012．【答案】(1)当点P与点M重合时，m=n，理由见解析(2)m+n=ℎ，证明见解析(3)证明见解析【知识点】运用完全平方公式进行运算、与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的判定和性质【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键．（1）当点P与点M重合时，过点M作MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，由等边三角形的性质得出BM=CM，则S△ABM=S△ACM，根据三角形面积公式可得出结论；（2）连接AM，根据S△ABC=S△ABP+S△APC可得出结论；（3）连接AM，根据S△AMC+S△ABC=S△ABM可得出n+ℎ=m，进行变形后可得出结论．【详解】（1）解：当点P与点M重合时，m=n，理由：过点M作MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，如图，∵AB=AC且∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵AP⊥BC即AM⊥BC，∴BM=CM， ∴S△ABM=S△ACM，∴12AB⋅MD=12AC⋅ME，∴MD=ME，∴m=n；（2）解：m+n=ℎ，理由如下：如图，连接AM，则S△ABC=S△ABM+S△AMC， ∴12AB⋅MD+12ME⋅AC=12BC⋅AP，即12AB⋅m+12AC⋅n=12BC⋅ℎ，又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC，∴m+n=ℎ；（3）证明：如图，连接AM，则S△AMC+S△ABC=S△ABM ，∴12AC⋅ME+12BC⋅AP=12AB⋅MD，即12AC⋅n+12BC⋅ℎ=12AB⋅m，又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC，∴n+ℎ=m；∴m−n2=ℎ2，∴m2+n2−2mn=ℎ2，两边同时除以2024得m2+n22024−2mn2024=ℎ22024，∴m2+n22024−mn1012=ℎ22024，∴m2+n22024=ℎ22024+mn1012．【变式1】如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)请你判断AD与EF关系，并说明理由；(2)若AB=12，AC=8，S△ABC=60，求DE的长．【答案】(1)AD垂直平分EF，理由见解析(2)DE=6【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定【分析】（1）根据角平分线的性质得出DE=DF，根据三角形全等的判定得出Rt△AED≌Rt△AFDHL，求出AE=AF，根据垂直平分线的判定即可得出答案；（2）根据三角形面积公式得出12DE(AB+AC)=60，求出结果即可．【详解】（1）解：AD垂直平分EF，理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，AD=ADDE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFDHL，∴AE=AF，∵DE=DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE=DF，∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅DE+12AC⋅DF=12DE(AB+AC)=60，∵AB=12，AC=8，∴DE=6．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形面积公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明Rt△AED≌Rt△AFD．【变式2】学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究．他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：(1)用无刻度的直尺和圆规，过点C作AB的垂线CD，垂足为点D，连接AP．（只保留作图痕迹，不写作法）(2)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．求证：PE+PF=CD．证明：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，∴S△APB=12AB⋅PE，S△APC=12AC⋅PF，S△ABC=12AB⋅CD．∵S△APB+S△APC=S△ABC，∴12AB⋅PE+12AC⋅PF=① ，即AB⋅PE+AC⋅PF=AB⋅CD．∵② ，∴AB⋅(PE+PF)=AB⋅CD，∴③ ．由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ ．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】与三角形的高有关的计算问题、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的定义【分析】本题主要考查了做已知线段的垂线，以及利用等面积法证明过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段这两条垂线段长度的和等于一腰上的高．（1）根据作垂线的方法先做出AB的垂线CD；（2）按照所给的证明方法一步步证明即可．【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，∴S△APB=12AB⋅PE，S△APC=12AC⋅PF，S△ABC=12AB⋅CD．∵S△APB+S△APC=S△ABC，∴ 12AB⋅PE+12AC⋅PF=12AB⋅CD，即AB⋅PE+AC⋅PF=AB⋅CD．∵ AB=AC，∴AB⋅PE+PF=AB⋅CD，∴ PE+PF=CD．由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则这两条垂线段长度的和等于一腰上的高．【变式3】如图，△ABC中，AD为中线，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC=40，CM⊥AD于M．(1)S△ABD= ；(2)若AE=5，求CM的长；(3)若BN⊥AD交AD的延长线于N，求证：CM=BN．【答案】(1)20(2)CM=4(3)见解析【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积【分析】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答．（1）根据三角形中线的性质得出面积即可；（2）根据三角形面积公式得出CM即可；（3）根据三角形面积公式进行证明解答．【详解】（1）解：∵AD为中线，且S△ABC=40，∴S△ABD=12S△ABC=12×40=20，故答案为：20；（2）解：∵AD为中线，D，E分别为BC，AD的中点，S△ABC=40，∴ S△AEC=12S△ACD=14S△ABC=10，∵ S△AEC=12AE⋅CM，∴ 12×5×CM=10，∴CM=4；（3）证明：∵AD为中线，D，E分别为BC，AD的中点，∴ S△ABD=S△ACD=12S△ABC，∵ S△ABD=12AD⋅BN，S△ACD=12AD⋅CM，∴ 12AD⋅BN=12AD⋅CM，∴CM=BN．考点4：直角三角形性质——动点典例4：在等边△ABC中，AC=9cm，点D在边AC上，且CD=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1 cm的速度运动，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转120°得到线段DQ，当点Q落在BA延长线上时，点P停止运动．设点P运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示P、C两点间的距离；(2)当DQ与△ABC的一边平行时，求t的值；(3)当DQ与△ABC的一边垂直时，求t的值；(4)在整个运动过程中，DQ扫过的面积为 cm2．【答案】(1)9−tcm(2)3或9(3)6秒或15秒(4)183【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形【分析】（1）根据线段的和差可得结论；（2）分DQ∥BC和DQ∥AB两种情况讨论求解即可；（3）分DQ⊥AC和DQ⊥BC两种情况讨论求解即可；（4）根据边界点正确画出DQ扫过的图形为△QDQ′，根据三角形的面积即可解答．【详解】（1）解：根据题意得：BP=tcm，BC=9cm，则PC=BC−BP=9−tcm；（2）解：当DQ∥BC时，如图1，∵△ABC是等边三角形，AC=9cm，∴∠A=∠B=∠C=60°,BC=AC=9cm,∵DQ∥BC，∴∠QDC=∠C=60°,∵∠PDQ=120°,∴∠PDC=∠PDQ−∠QDC=120°−60°=60°,∵∠A=60°,∴∠PDQ=∠A=60°，∴PD∥AB,∴∠DPC=∠B=60°，∴∠DPC=∠PDC=∠PCD=60°，∴△PCD是等边三角形，∵PC=CD=6cm，∴BP=BC−PC=9−6=3cm,∴t=3÷1=3（秒）；当DQ∥AB时，如图2，则∠QDA=∠A=60°,而∠PDQ=120°,∴∠PDQ+∠QDA=120°+60°=180°,∴P、D、A三点在一条直线上，又点P在BC上运动，∴点P与点C重合，∴BP=BC=9cm,∴t=9÷1=9（秒）；综上，当t=3秒或9秒时，DQ与△ABC的一边平行；（3）解：当QD⊥AC时，如图3，∵∠PDQ=120°,∠QDC=90°,∴∠PDC=30°,∵∠C=60°,∴∠DPC=90°,∴PC=12CD=12×6=3cm,∴BP=BC−PC=9−3=6cm，∴t=6÷1=6（秒）；当DQ⊥BC时，如图4， ∵∠PDQ=120°,∴∠PDE=60°,∵∠C=60°,∠DEC=90°,∴∠EDC=180°−90°−60°=30°,∴∠CDP=∠EDP−∠EDC=60°−30°=30°,∵∠C=30°,∠C=∠CDP+∠CPD，∴∠CPD=60°−30°=30°,∴∠CPD=∠CDP,∴CP=CD=6cm,∴BP=BC+CP=9+6=15cm,∴t=15÷1=15（秒），综上，当t=6秒或15秒时，DQ与△ABC的一边垂直；（4）解：如图4，当点P与B重合时，点Q在Q′的位置，当点Q在射线BA上时，点P在射线BC上，此时DQ扫过的图形为△QDQ′，∴∠BDQ′=∠PDQ=120°，∴∠BDP=∠QDQ′，∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠DAQ=∠DCP=120°，∵∠CDQ=∠DAQ+∠AQD=∠PDQ+∠CDP，∠PDQ=∠DAQ=120°，∴∠CDP=∠AQD，由旋转得：PD=DQ，∴△QAD≌△DCPAAS，∴AD=CP=3cm，由（3）知：CE=3cm，DE=33cm，∴PD =DE2+EP2=(33)2+(3+3)2=63= 37cm，BD =DE2+BE2=(33)2+(9−3)2= 37cm，∵BD=DQ′，∠BDP=∠QDQ′，PD=DQ，∴△BDP≌△Q′DQSAS，∴S△QDQ′=S△BDP=12BP•DE=129+3×33=183cm2．即在整个运动过程中，DQ扫过的面积为183cm2．故答案为：183．【点睛】本题几何变换的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是掌握旋转的性质，根据已知条件正确作图．【变式1】如图，△ABC是等边三角形，边长为6cm，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，分别沿边AB、BC运动，设运动时间为ts，且它们的速度都为1cm/s．(1)连接AQ、CP交于点M，则在点P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠CMQ的度数；(2)连接PQ，当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】(1)∠CMQ=60°，理由见解析(2)43秒或83秒【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含30°角的直角三角形性质，（1）根据等边三角形的性质得AB=CA和∠ABQ=∠CAP，根据运动得AP=BQ，即可得△ABQ≌△CAPSAS，得到∠BAQ=∠ACP，根据三角形的外角的性质解答即可；（2）设点P，Q运动x秒时，则AP=BQ=x，PB=4−x，分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况，根据含30°角的直角三角形性质计算即可．【详解】（1）∠CMQ的大小不发生变化，∠CMQ=60°理由如下，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CA，∠ABQ=∠CAP=∠ACB=60°，∵点P、Q的速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ和△CAP中AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ∴△ABQ≌△CAPSAS．∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠MAC+∠ACP=∠MAC+∠BAQ=∠BAC=60°则∠CMQ=60°（2）设点P，Q运动x秒时，△PBQ是直角三角形，则AP=BQ=x，PB=4−x，①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴BP=2BQ，即4−x=2x，解得，x=43；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，即24−x=x，解得x=83；故当t为43秒或83秒时，△PBQ是直角三角形．【变式2】已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，解答下列问题：(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？(3)设四边形APQC的面积为ycm2，求y与t的关系式．【答案】(1)当t的值为1秒或2秒时，△PBQ是直角三角形(2)当t的值为32秒时，△PBQ是等腰三角形．(3)y=34t2−334t+934【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义【分析】（1）分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形PBQ中根据BP,BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．（2）根据BP=BQ构建方程即可解决问题．（3）先用△ABC的面积−△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可．【详解】（1）解：根据题意得AP=tcm,BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=3−tcm，△PBQ中，BP=3−t,BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ=90°或∠BQP=90°，当∠BQP=90°时，BQ=12BP，即t=123−t，解得：t=1（秒），当∠BPQ=90°时，BP=12BQ，即3−t=12t，解得：t=2（秒），答：当t的值为1秒或2秒时，△PBQ是直角三角形；（2）解：∵∠B=60°，△PBQ是等腰三角形，∴△PBQ是等边三角形，∴PB=BQ，∴3−t=t，∴t=32，则t=32秒时，△PBQ是等腰三角形．（3）解：如图，过P作PM⊥BC于M，过A作AN⊥BC于N，在△BPM中，∠B=60°,∠BMP=90°，∴∠BPM=30°∴BM=12PB=123−t∴PM=PB2−BM2=323−t，∴S△PBQ=12BQ⋅PM=12×t×323−t，∵△PBQ是等边三角形，AB=BC=3cm， ∴BN=12BC=32，∴AN=AB2−BN2=332，∴S四边形APQC=S△ABC−S△PBQ=12×3×332−12×t×323−t=934−33t43−t=34t2−334t+934，∴ y=34t2−334t+934．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的面积公式，图形面积的求法、勾股定理等知识点，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．【变式3】阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=16cm，动点P从点A出发，沿射线AB运动，动点Q从点B出发，沿射线BC运动，如果动点P以4cm/s，Q以2cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)当t为多少时，△PBQ是等腰三角形？请说明理由．(2)当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．【答案】(1)t=163或t=16时，△PBQ是等腰三角形，见解析(2)t=325或t=4时，△PBQ是直角三角形，见解析【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定【分析】（1）由题知，AP=4tcm，BQ=2tcm，再分两种情况：①当点P，点Q在线段AB，BC上运动时，即0