27.2.3 相似三角形应用举例 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面标题：27.2.2 相似三角形的性质副标题：人教版九年级数学下册配图：两个相似三角形（△ABC∽△A'B'C'，标注相似比 k），用彩色线条标注对应边、对应角，旁注 “对应角相等”“对应边成比例”“周长比 = k”“面积比 = k²”落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识与技能：掌握相似三角形的基本性质（对应角相等、对应边成比例），理解相似比的意义推导并掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系（周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方）能运用相似三角形的性质解决角度计算、线段长度求解、周长与面积计算等问题过程与方法：通过测量、计算、推理等探究活动，经历相似三角形性质的推导过程，提升逻辑推理与归纳总结能力对比相似三角形与全等三角形的性质，体会 “特殊到一般” 的数学思想情感态度：感受相似三角形性质的系统性与实用性，增强几何解题的信心在小组合作探究中，培养团队协作意识与严谨的数学思维第 3 页：复习回顾与情境引入复习旧知：相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似相似三角形的判定方法：SSS、SAS、AA相似比：相似三角形对应边的比（记为 k），全等三角形的相似比 k=1情境引入：实例：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比 k=1:2，已知 AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm，∠A=60°。思考 1：△A'B'C' 的对应角是多少？对应边长度是多少？思考 2：△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比是多少？引入课题：今天我们将深入探究相似三角形的性质，重点分析周长比、面积比与相似比的关系。第 4 页：探究一：相似三角形的基本性质（对应角、对应边）性质推导：由相似三角形的定义直接可得：性质 1：相似三角形的对应角相等（如△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'）性质 2：相似三角形的对应边成比例（如△ABC∽△A'B'C'，则\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，k 为相似比）动手验证：画△ABC（∠A=50°，∠B=60°，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm）画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比 k=2测量△A'B'C' 的对应角与对应边，验证 “对应角相等、对应边成比例”小练习：已知△ABC∽△DEF，∠A=70°，∠B=50°，AB=5cm，DE=10cm，求∠D、∠E 的度数及相似比 k。（答案：∠D=70°，∠E=50°，k=1:2）第 5 页：探究二：相似三角形的周长比与相似比的关系推导过程：设△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)则 AB=k・A'B'，BC=k・B'C'，AC=k・A'C'△ABC 的周长\(C_{ABC}=AB+BC+AC=k·A'B'+k·B'C'+k·A'C'=k(A'B'+B'C'+A'C')=k·C_{A'B'C'}\)故\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)性质总结：性质 3：相似三角形的周长比等于相似比实例验证：若△ABC 的周长为 12cm，△A'B'C' 与△ABC 的相似比 k=3，则△A'B'C' 的周长 = 12×3=36cm小练习：已知△ABC∽△DEF，周长比为 2:3，若△ABC 的周长为 18cm，求△DEF 的周长。（答案：27cm）第 6 页：探究三：相似三角形的面积比与相似比的关系推导过程：设△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，分别作△ABC、△A'B'C' 的高 AD、A'D'（D 在 BC 上，D' 在 B'C' 上）由 AA 判定，△ABD∽△A'B'D'（∠B=∠B'，∠ADB=∠A'D'B'=90°），故\(\frac{AD}{A'D'}=k\)△ABC 的面积\(S_{ABC}=\frac{1}{2}·BC·AD\)，△A'B'C' 的面积\(S_{A'B'C'}=\frac{1}{2}·B'C'·A'D'\)则\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}·BC·AD}{\frac{1}{2}·B'C'·A'D'}=\frac{BC}{B'C'}·\frac{AD}{A'D'}=k·k=k²\)性质总结：性质 4：相似三角形的面积比等于相似比的平方实例验证：若△ABC 的面积为 8cm²，△A'B'C' 与△ABC 的相似比 k=2，则△A'B'C' 的面积 = 8×2²=32cm²易错提醒：面积比是相似比的 “平方”，而非相似比本身（如相似比为 1:3，面积比为 1:9，而非 1:3）第 7 页：相似三角形性质的综合梳理性质列表（以△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k 为例）：性质类型具体内容数学表达式对应角对应角相等∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'对应边对应边成比例\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)周长周长比 = 相似比\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)面积面积比 = 相似比的平方\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=k²\)与全等三角形的对比（全等三角形是相似比 k=1 的特殊情况）：全等三角形：对应角相等、对应边相等、周长相等、面积相等相似三角形：对应角相等、对应边成比例、周长比 = k、面积比 = k²第 8 页：性质应用（基础例题）例 1：角度与边长计算已知△ABC∽△DEF，∠A=60°，∠B=70°，AB=4cm，DE=8cm，BC=5cm，求∠D、∠E 的度数及 EF 的长度。解析：对应角相等：∠D=∠A=60°，∠E=∠B=70°相似比 k=\(\frac{AB}{DE}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)对应边成比例：\(\frac{BC}{EF}=k=\frac{1}{2}\)，故 EF=BC×2=5×2=10cm例 2：周长与面积计算已知△ABC∽△A'B'C'，相似比 k=2:3，△ABC 的周长为 20cm，面积为 16cm²，求△A'B'C' 的周长与面积。解析：周长比 = k，故△A'B'C' 的周长 = 20×\(\frac{3}{2}\)=30cm面积比 = k²，故△A'B'C' 的面积 = 16×(\(\frac{3}{2}\))²=16×\(\frac{9}{4}\)=36cm²第 9 页：性质应用（综合例题）例 3：复杂图形中的面积计算如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，且\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，△ADE 的面积为 4cm²，求△ABC 的面积。解析：由 DE∥BC，得△ADE∽△ABC（AA）相似比 k=\(\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\)面积比 = k²=\(\frac{1}{9}\)，设△ABC 的面积为 S，则\(\frac{4}{S}=\frac{1}{9}\)，解得 S=36cm²例 4：实际应用 —— 相似三角形模型如图，小明用自制的相似三角形模型测量树高，已知模型的高为 10cm，底边长为 15cm，测得模型与树的水平距离为 20m，树的影子顶端与模型影子顶端的水平距离为 5m，求树的高度。解析：模型与树相似（AA，太阳光为平行光线，夹角相等）相似比 k=\(\frac{模型底边长}{树的影长}=\frac{0.15}{5}=0.03\)（单位统一：15cm=0.15m）树高 = 模型高 ÷k=0.1÷0.03≈3.33m（或用对应边成比例：\(\frac{模型高}{树高}=\frac{模型影长}{树影长}\)，解得树高 = \(\frac{0.1×5}{0.15}\)≈3.33m）第 10 页：巩固练习选择题：（1）已知△ABC∽△DEF，相似比为 1:2，若△ABC 的面积为 3，则△DEF 的面积为（ ）A. 3 B. 6 C. 12 D. 24（2）两个相似三角形的周长比为 3:4，则它们的面积比为（ ）A. 3:4 B. 9:16 C. \(\sqrt{3}:\sqrt{4}\) D. 6:8填空题：（1）△ABC∽△A'B'C'，∠A=50°，∠B=60°，则∠C'=____；（2）若△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，BC=4，则 EF=，相似比 k=。解答题：如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是两三角形的高，若 AB=4，A'B'=6，AD=3，求 A'D' 的长度及两三角形的面积比。第 11 页：课堂小结知识梳理：相似三角形的核心性质：对应角相等、对应边成比例、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方关键关系：相似比是连接边、周长、面积的桥梁，面积比需注意 “平方” 关系思想方法：转化思想：将复杂图形中的面积、周长问题转化为相似比的计算类比思想：对比全等三角形与相似三角形的性质，理解 “特殊与一般” 的关系易错点回顾：混淆 “周长比” 与 “面积比”，忘记面积比是相似比的平方在复杂图形中，未明确相似三角形的对应关系，导致比例计算错误第 12 页：布置作业基础作业：教材对应习题，完成 3 道角度 / 边长计算题和 2 道周长 / 面积计算题提升作业：（1）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，AD=6，E 是 AD 上一点，AE=2，连接 BE 并延长交 AC 于 F，若△AEF 的面积为 1，求△ABC 的面积；（2）已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE=2:3，△ABC 的周长与△DEF 的周长之差为 10cm，求两个三角形的周长。实践作业：用硬纸板制作两个相似三角形（相似比 k=1:2），测量并计算它们的周长比与面积比，验证相似三角形的性质2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 乐山大佛图片引入世界上最高的树 —— 红杉台湾最高的楼 ——台北101大楼世界上最宽的河 ——亚马逊河怎样测量河宽？利用相似三角形测量高度 传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.怎样测出OA 的长？解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF.又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.因此金字塔的高度为134 m.表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳：1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上 竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面 能用来求 AB 长的等式是 ( ) A． B． C． D． C练一练2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的小 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米． 8AFEBO┐┐还有其他的测量方法吗？=△ABO∽△AEFOB =平面镜想一想：测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用“镜子的反射原理”去解决. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( )B试一试：A. 6 米 B. 8 米C. 18 米 D. 24 米例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.利用相似三角形测量宽度 解得 PQ = 90.因此，河宽大约为 90 m.解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P，∴△PQR∽△PST.例 3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD = 80 m，DC = 30 m，EC = 24 m，求两岸间的大致距离 AB．解：∵∠ADB =∠EDC，  ∠ABC =∠ECD = 90°，  ∴△ABD∽△ECD.   解得 AB = 64. 因此，两岸间的大致距离为 64 m. 测量河宽等不易直接测量的距离，常构造相似三角形求解. 归纳：例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了? 利用相似解决有遮挡物问题分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域 Ⅰ 和 Ⅱ 都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就看不到 C 点了.故当她与左边较低的树的距离小于 8 m 时，就看不到右边较高的树的顶端 C. 解：如图，假设观察者向右走到点 E 时，她的眼睛的 解得 EH = 8.位置点 E 与两树的顶端点 A，C 恰在一条直线上.∵ AB⊥l，CD⊥l，∴ AB∥CD.C 返回1．[2024周口模拟]如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为15 cm，到屏幕的距离为150 cm，且幻灯片上图形的高度为10 cm，则屏幕上图形的高度为(　　)A．100 cm B．105 cm C．110 cm D．115 cm 返回C2．[2024鹤壁期末]如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为(　　)A．32 m B．36 m C．48 m D．56 m3．【点拨】 返回4．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4 m的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57 m，D，E之间有一个花圃，距离无法测量，然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像， 返回EG＝2.4 m，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6 m，已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B，D，E，G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．(平面镜的大小厚度忽略不计) 返回5．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC，光屏上显示的缩小的实像高CG为8 cm.若物体AH到焦点F1的距离HF1与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5：4，则物体的高AH为(　　)A．10 cm B．8 cm C．12 cm D．9 cm【点拨】【答案】A易得四边形OBCG是矩形，∴OB＝CG＝8 cm.∵AH∥OB，∴△AHF1∽△BOF1.∴AH：BO＝HF1：OF1＝5：4，即AH：8＝5：4.∴AH＝10 cm. 返回6．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架宽为40 cm，则FI的长为________cm.相似三角形的应用举例利用相似三角形测量高度利用相似三角形测量宽度利用相似解决有遮挡物问题必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！