27.2.1.3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面标题：27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似副标题：人教版九年级数学下册配图：两个三角形（△ABC 与△A'B'C'），标注 AB=2cm、AC=3cm、∠A=60°；A'B'=4cm、A'C'=6cm、∠A'=60°，箭头标注边的比例（1:2）与相等的夹角落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识与技能：理解 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理，明确定理的两个核心条件掌握定理的推导过程，能通过尺规作图、测量或逻辑推理验证定理会运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决线段计算、角度求解等问题过程与方法：类比全等三角形 “边角边（SAS）” 判定，经历 “猜想 — 验证 — 归纳” 的探究过程，提升类比迁移与逻辑推理能力通过对比 “夹角” 与 “非夹角” 的差异，培养严谨的几何分析思维情感态度：在定理探究中感受数学的逻辑性与严谨性，增强几何学习的信心通过小组合作验证定理，培养团队协作意识与动手实践能力第 3 页：复习回顾与猜想提出复习旧知：已学相似三角形判定：①定义（对应角相等、对应边成比例）；②平行线分线段成比例推论；③三边成比例（SSS）全等三角形判定对比：“边角边（SAS）”—— 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等问题驱动：思考 1：全等三角形有 “SAS” 判定，相似三角形若满足 “两边成比例且夹角相等”，是否也能判定相似？情境举例：如图，△ABC 中，AB=2，AC=3，∠A=50°；△A'B'C' 中，A'B'=4，A'C'=6，∠A'=50°。计算对应边比例（\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{2}\)），观察两个三角形形状是否相同？提出猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。第 4 页：探究活动 —— 验证定理猜想动手操作（分组实验）：任务 1：作图与测量画△ABC：使 AB=3cm，AC=4cm，∠A=60°画△A'B'C'：使 A'B'=6cm，A'C'=8cm，∠A'=60°（保证\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{2}\)，且∠A=∠A'）测量：BC 与 B'C' 的长度，以及∠B 与∠B'、∠C 与∠C' 的度数分析：计算\(\frac{BC}{B'C'}\)是否等于\(\frac{1}{2}\)，对应角是否相等，判断两三角形是否相似任务 2：反例验证（非夹角情况）画△DEF：使 DE=3cm，DF=4cm，∠D=120°（非夹角）画△D'E'F'：使 D'E'=6cm，D'F'=8cm，∠F'=120°（两边成比例，但对应角为非夹角）观察：两三角形形状是否相同，验证 “非夹角” 能否判定相似初步结论：当两个三角形满足 “两边成比例且夹角相等” 时，对应边成比例、对应角相等，符合相似定义；若相等的角不是两边的夹角，则无法保证两三角形相似。第 5 页：定理推导与规范表述逻辑推理证明：已知：在△ABC 和△A'B'C' 中，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，∠A=∠A'求证：△ABC∽△A'B'C'证明过程：在△A'B'C' 的边 A'B' 上截取 A'D=AB，过点 D 作 DE∥B'C'，交 A'C' 于点 E由平行线分线段成比例推论，得△A'DE∽△A'B'C'，故\(\frac{A'D}{A'B'}=\frac{A'E}{A'C'}=k\)，∠A'=∠A'DE又∵A'D=AB，\(\frac{AB}{A'B'}=k\)，∴\(\frac{A'E}{A'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，即 A'E=AC∵∠A=∠A'，∴△A'DE≌△ABC（SAS）∴△ABC∽△A'B'C'定理规范表述：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（可简记为 “边角边（SAS）” 相似判定）几何语言：在△ABC 和△A'B'C' 中，若\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'第 6 页：定理辨析 —— 关键条件与易错点核心条件强调：条件 1：“两边成比例”—— 需明确是 “对应边” 成比例（如 AB 对应 A'B'，AC 对应 A'C'）条件 2：“夹角相等”—— 相等的角必须是成比例两边的夹角（而非第三边的对角）易错点警示：反例分析：如图，△ABC 中，AB=2，BC=3，∠B=40°；△DEF 中，DE=4，EF=6，∠F=40°。虽\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}\)，但∠B 与∠F 不是对应边的夹角，两三角形不相似（画图对比形状差异）总结：“非夹角相等” 不能判定三角形相似，必须强调 “夹角” 这一关键条件小练习：判断下列情况能否判定△ABC∽△A'B'C'：①\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)，∠B=∠B'（答案：能，两边成比例且夹角相等）②\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，∠B=∠B'（答案：不能，∠B 不是 AB 与 AC 的夹角）第 7 页：定理应用（基础例题）例 1：判定三角形相似已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8；△DEF 中，∠F=90°，DF=3，EF=4。判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由。解析：步骤 1：确定夹角 ——∠C 与∠F 均为直角（90°），且分别是 AC 与 BC、DF 与 EF 的夹角步骤 2：计算对应边比例 ——\(\frac{AC}{DF}=\frac{6}{3}=2\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{8}{4}=2\)，比例相等步骤 3：得出结论 —— 两边成比例且夹角相等，故△ABC∽△DEF例 2：利用相似求线段长度已知：△ABC∽△A'B'C'，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3}\)，AB=4，AC=5，∠A=∠A'，A'C'=7.5。求 A'B' 的长度。解析：由定理可知，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)代入数据：\(\frac{4}{A'B'}=\frac{5}{7.5}\)，解得 A'B'=6第 8 页：定理应用（综合例题）例 3：几何证明与角度计算如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AD=2，DB=4，AC=3，∠A=∠A（公共角），若\(\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}\)，求证：△ADC∽△ACB，并求∠ACD 的度数（已知∠B=30°）。证明与解析：① 计算对应边比例：AB=AD+DB=6，\(\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}\)，\(\frac{AC}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)（修正：调整数据使比例相等，设 AD=1.5，AC=3，AB=6，则\(\frac{AD}{AC}=\frac{1.5}{3}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)）② 确定夹角：∠A 是 AD 与 AC、AC 与 AB 的公共夹角，满足 “两边成比例且夹角相等”，故△ADC∽△ACB③ 求角度：由相似性质，∠ACD=∠B=30°例 4：实际应用 —— 测量高度如图，小明用侧倾器测量旗杆高度，已知侧倾器高 AB=1.5m，测得旗杆顶部 C 的仰角∠CBD=60°，小明到旗杆的水平距离 AD=10m。另有一同学用相同侧倾器在距离旗杆 15m 处测量（A'D'=15m），仰角∠C'B'D'=60°。求证：△CBD∽△C'B'D'，并求旗杆高度 CD。解析：① 证明相似：∠CBD=∠C'B'D'=60°（夹角相等），\(\frac{BD}{B'D'}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\)，\(\frac{BD}{B'D'}=\frac{CD - AB}{C'D' - A'B'}\)（因 AB=A'B'=1.5m，且 CD=C'D'），满足两边成比例且夹角相等，故△CBD∽△C'B'D'② 计算高度：在 Rt△CBD 中，tan60°=\(\frac{CD - 1.5}{10}\)，解得 CD=10\(\sqrt{3}\)+1.5≈18.8m第 9 页：巩固练习选择题：（1）下列条件中，能判定△ABC∽△A'B'C' 的是（ ）A. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，∠B=∠B' B. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)，∠A=∠A'C. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，∠A=∠A' D. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{A'C'}\)，∠C=∠C'（2）△ABC 中，AB=4，AC=6，∠A=60°；△DEF 中，DE=2，DF=3，∠D=60°，则△ABC 与△DEF 的相似比为（ ）A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1填空题：（1）在△ABC 和△DEF 中，若\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，且∠A=∠D=70°，则△ABC____△DEF（填 “相似” 或 “不相似”）；（2）已知△ABC∽△A'B'C'，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{5}\)，AB=6，AC=9，∠A=∠A'，则 A'C'=____。解答题：如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12；△DEF 中，∠E=90°，DE=10，EF=24。判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由。第 10 页：课堂小结知识梳理：判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS 相似）核心条件：①两边对应成比例；②夹角相等（缺一不可，且角必须是夹角）应用场景：判定三角形相似、求线段长度、求角度、实际测量等思想方法：类比思想：类比全等三角形 “SAS”，推导相似三角形 “SAS” 判定，实现知识迁移数形结合：通过作图、测量直观验证定理，结合逻辑推理严谨证明易错点回顾：混淆 “夹角” 与 “非夹角”，误用非夹角相等判定相似对应边比例计算错误，未按对应关系比对边长第 11 页：布置作业基础作业：教材对应习题，完成 3 道三角形相似判定题和 2 道线段 / 角度计算题提升作业：（1）如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点，CD=2AD，∠ACB=∠ABD，求证：△ABC∽△ADB；（2）已知△ABC 中，AB=5，AC=4，∠A=60°，若△DEF 与△ABC 相似，且 DE=10，DF=8，求∠D 的度数及 EF 的长度。实践作业：用硬纸板制作两个满足 “两边成比例且夹角相等” 的三角形，通过叠合、测量验证对应角相等、对应边成比例，加深对定理的理解2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？复习引入两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？我们来证明一下前面得出的结论：如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.DE∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A，∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.DE由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .归纳：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等.思考：结论： 如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似.典例精析例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm．又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.1. 在△ABC 和△DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm， BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC.练一练例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.证明：∵△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，∴ AD = AE，AB = AC．又 ∵∠DAB =∠CAE，∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，即∠DAE =∠BAC．∴△ABC∽△ADE．解：∵ AE = 1.5，AC = 2， 又∵∠EAD =∠CAB，∴ △ADE∽△ABC．提示：解题时要找准对应边.证明：∵ CD 是边 AB 上的高，∴∠ADC =∠CDB = 90°. ∴△ADC∽△CDB. ∴∠ACD =∠B.∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证：∠ACB = 90°．方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为 90° 角等.C 返回1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABCC．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC 返回D2．[2024天津和平区一模]已知在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8.将下列选项中的△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是(　　)3．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，垂足为O.若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝(　　)A．2：3 B．3：2C．4：9 D．无法确定【点拨】如图，过点F作FM⊥AB于点M，过点H作HN⊥BC于点N，则∠4＝∠5＝90°＝∠AMF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝90°＝∠AMF.∴四边形AMFD是矩形．∴FM＝AD＝3.同理可得四边形ABNH是矩形，∴HN＝AB＝2，HN∥AB.【答案】B 返回4． 返回∠ADE＝∠C(答案不唯一)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________(写出一种情况即可)．5．[2024宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是________．【点拨】如图，连接BE，交AC于点O.∵五边形ABCDE是正五边形，且它的边长为4，∴∠CBA＝∠BAE＝(5－2)×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE＝4.∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝(180°－108°)÷2＝36°.∴∠CBO＝∠ABC－∠ABE＝108°－36°＝72°.∴∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCA＝180°－72°－36°＝72°. 返回6．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝5，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，聪明的小亮想出了一个好办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！(1)请你找出图中存在的一对相似三角形，并进行证明；(2)求边AC的长． 返回两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！