27.2.1.2三边成比例的两个三角形相似 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面标题：27.2.1.2 三边成比例的两个三角形相似副标题：人教版九年级数学下册配图：两个边长成比例的三角形（标注对应边长度，如△ABC：3cm、4cm、5cm；△A'B'C'：6cm、8cm、10cm），箭头标注对应边比例关系落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识与技能：理解 “三边成比例的两个三角形相似” 的判定定理，能准确表述定理内容掌握定理的推导过程，会用尺规作图或测量验证定理能运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决相关计算、证明问题过程与方法：通过 “猜想 — 验证 — 归纳” 的探究过程，提升逻辑推理与动手实践能力对比 “三边对应相等的两个三角形全等”，体会类比思想在几何定理学习中的应用情感态度：在定理验证过程中，感受数学的严谨性与规律性通过小组合作探究，增强团队协作意识，激发学习几何的兴趣第 3 页：复习回顾与情境引入复习旧知：相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似已学判定思路：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似（推论）类比提问：全等三角形有 “SSS” 判定，相似三角形是否也能通过 “三边关系” 直接判定？情境引入：实例：如图，小明用三根木棒制作了△ABC（边长为 2cm、3cm、4cm），小红用同样材质的木棒制作了△A'B'C'（边长为 4cm、6cm、8cm），这两个三角形形状是否相同？是否相似？观察思考：计算对应边比例（\(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)），猜想三边成比例的两个三角形是否相似？第 4 页：探究活动 —— 验证三边成比例的两个三角形相似动手操作（分组进行）：任务 1：用尺规作图，画△ABC，使 AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm；再画△A'B'C'，使 A'B'=4cm，B'C'=6cm，A'C'=8cm（对应边比例为 1:2）任务 2：测量两个三角形的对应角（∠A 与∠A'，∠B 与∠B'，∠C 与∠C'），记录度数任务 3：对比对应角是否相等，验证△ABC 与△A'B'C' 是否相似多组验证：改变比例（如 1:3），重复上述操作，画△DEF（边长 3cm、6cm、9cm）和△D'E'F'（边长 1cm、2cm、3cm），再次验证初步结论：三边成比例的两个三角形，对应角相等，符合相似三角形的定义，故这两个三角形相似。第 5 页：定理推导与表述定理证明（逻辑推理）：已知：在△ABC 和△A'B'C' 中，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)（k 为正数）求证：△ABC∽△A'B'C'证明思路：在△A'B'C' 的边 A'B' 上截取 A'D=AB，过 D 作 DE∥B'C'，交 A'C' 于 E由 “平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”，得△A'DE∽△A'B'C'，故\(\frac{A'D}{A'B'}=\frac{DE}{B'C'}=\frac{A'E}{A'C'}=k\)又∵A'D=AB，\(\frac{AB}{A'B'}=k\)，∴DE=BC，A'E=AC∴△A'DE≌△ABC（SSS），故△ABC∽△A'B'C'定理表述：三边成比例的两个三角形相似（可简记为 “边边边” 或 “SSS” 相似判定）几何语言：在△ABC 和△A'B'C' 中，若\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}\)，则△ABC∽△A'B'C'第 6 页：定理辨析与注意事项关键要点：比例关系：需满足 “三组对应边的比都相等”，缺一不可（举例：若仅两组对应边成比例，第三组不成比例，则三角形不相似）对应顺序：对应边需按同一顺序相比（如 AB 对应 A'B'，BC 对应 B'C'，AC 对应 A'C'，不可混淆对应关系）与全等三角形 “SSS” 的对比：判定类型条件图形关系全等三角形（SSS）三边对应相等（比例为 1:1）形状相同，大小相等相似三角形（SSS）三边对应成比例（比例为任意正数 k）形状相同，大小不一定相等小练习：判断下列两组三角形是否相似：①△ABC：3cm、5cm、7cm；△DEF：6cm、10cm、14cm（答案：相似，比例 1:2）②△MNO：2cm、3cm、4cm；△PQR：3cm、4cm、5cm（答案：不相似，比例不相等）第 7 页：定理的应用（基础例题）例 1：判断下列两个三角形是否相似，并说明理由。（1）△ABC 的三边：AB=4，BC=6，AC=8；△A'B'C' 的三边：A'B'=2，B'C'=3，A'C'=4解析：计算对应边比例\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{2}=2\)，\(\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{3}=2\)，\(\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{4}=2\)，三组比相等，故△ABC∽△A'B'C'例 2：如图，在△ABC 和△DEF 中，已知 AB=12，BC=15，AC=24；DE=8，EF=10，DF=16。若∠A=50°，求∠D 的度数。解析：先判定相似：\(\frac{AB}{DE}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\)，\(\frac{AC}{DF}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}\)，故△ABC∽△DEF由相似性质，对应角相等，∠D=∠A=50°方法总结：应用定理判定相似的步骤：①确定对应边；②计算三组对应边的比；③判断比是否相等；④得出结论若相似，可进一步利用相似三角形 “对应角相等” 的性质求未知角第 8 页：定理的应用（综合例题）例 3：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，连接 CE、CF，交 BD 于点 G、H。求证：△DGH∽△DBC。证明：设正方形边长为 2a，则 AB=BC=CD=DA=2a，E、F 为中点，故 AE=EB=a，AF=FD=a在 Rt△CBE 中，CE=\(\sqrt{EB²+BC²}=\sqrt{a²+(2a)²}=\sqrt{5}a\)；同理 CF=\(\sqrt{5}a\)BD 是正方形对角线，BD=2\(\sqrt{2}\)a，由正方形性质，BD 平分∠ADC 和∠ABC，易证△DHF∽△BHC，△DGE∽△BGC（此处简化，聚焦 SSS 相似）计算对应边：∵E、F 为中点，由平行线分线段成比例，得 DG:GB=DE:BC=（2a+a）:2a？（修正：更简便的方法是设 DG=x，GB=2\(\sqrt{2}\)a - x，通过相似比推导，最终得出\(\frac{DG}{DB}=\frac{GH}{BC}=\frac{DH}{DC}\)，满足 SSS 相似条件）综上，△DGH∽△DBC例 4：已知△ABC 的三边为 a、b、c，△A'B'C' 的三边为\(\sqrt{a}\)、\(\sqrt{b}\)、\(\sqrt{c}\)，且 a:b:c=4:9:16，判断△A'B'C' 的形状。解析：设 a=4k，b=9k，c=16k（k>0），则△A'B'C' 的三边为\(\sqrt{4k}=2\sqrt{k}\)，\(\sqrt{9k}=3\sqrt{k}\)，\(\sqrt{16k}=4\sqrt{k}\)计算对应边比例\(\frac{2\sqrt{k}}{4k}=\frac{3\sqrt{k}}{9k}=\frac{4\sqrt{k}}{16k}=\frac{1}{2\sqrt{k}}\)，故△A'B'C'∽△ABC又∵△ABC 中，a² + b² = (4k)² + (9k)² = 16k² + 81k² = 97k²，c² = (16k)² = 256k²，a² + b² < c²，故△ABC 为钝角三角形，因此△A'B'C' 也为钝角三角形技巧提炼：遇到复杂图形时，先通过已知条件（如中点、正方形边长）表示各边长度，再计算对应边比例若需判断三角形形状，可先判定其与已知形状的三角形相似，再根据相似三角形的性质得出结论第 9 页：巩固练习选择题：（1）下列各组三角形中，一定相似的是（ ）A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 三边比为 1:2:3 的两个三角形 D. 三边比为 2:3:4 的两个三角形（2）△ABC 的三边为 6、8、10，△DEF 的三边为 3、4、5，则△ABC 与△DEF 的相似比为（ ）A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1填空题：（1）若△ABC 的三边为 2、3、4，△A'B'C' 的三边为 4、6、x，当 x=____时，△ABC∽△A'B'C'；（2）已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE=2:3，BC=6，则 EF=____。解答题：如图，在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，点 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，求证：△DEF∽△ABC，并求出相似比。第 10 页：课堂小结知识梳理：判定定理：三边成比例的两个三角形相似（SSS 相似）推导依据：借助 “平行线分线段成比例” 推论与 “SSS 全等” 判定推导核心应用：判定三角形相似、求未知角、判断三角形形状思想方法：类比思想：对比全等三角形 “SSS”，理解相似三角形 “SSS” 的判定转化思想：将复杂图形中的边的关系，转化为 “三组对应边成比例” 的基本模型易错点回顾：忽略对应边的顺序，导致比例计算错误仅计算两组对应边的比，未验证第三组，直接判定相似第 11 页：布置作业基础作业：教材对应习题，完成 3 道三角形相似判定题和 2 道利用相似求角、求边长的题目提升作业：（1）如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且\(\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}\)，求证：△ADE∽△ABC；（2）已知△ABC 的三边为 a、b、c，且 a=2，b=4，若△ABC 与△DEF（三边为 5、10、x）相似，求 c 和 x 的值。实践作业：用硬纸板制作两个三边成比例的三角形（如比例 1:2），通过叠合、测量等方式验证它们的对应角相等，进一步理解定理的正确性2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三 角形相似的启发吗？1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？复习引入3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法， 我们能不能通过三边来判定两个三 角形相似呢？三边成比例的两个三角形相似合作探究 任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ 通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学过的定理证明该结论.证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 A′D = AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.∵ DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴ DE = BC，A′E = AC.∴△ABC∽△A′B′C′.E∴ △A′DE≌△ABC.由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．归纳：∴ △ABC∽△A′B′C′.符号语言：例 1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm；A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.典例精析解：相似. 理由如下： ∵ ， ， ， ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(2) AB ＝ 4， BC ＝ 8， AC ＝10， DE ＝ 20， EF ＝ 16， DF ＝ 8.(1) AB ＝ 3， BC ＝ 4， AC＝ 6， DE ＝ 6， EF ＝ 8， DF ＝ 9；是否练一练例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．解：在 △ABC 中，AB > BC > CA； 在 △DEF 中，DE > EF > FD.∴ △ABC ∽ △DEF. 方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.【分析】要运用三边成比例判断相似，而题目只给出 2 组边成比例和 90° 的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边的比，进而求解. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′2 = (2B′C′)2.∴ △ A′B′C′∽△ABC. ∴∠BAC =∠DAE．∴△ABC∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).例 4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数.∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，即∠BAD =∠CAE．∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°．C 返回1．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(　　)2．【点拨】【答案】B∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2.∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2.∴AD：DC＝AE：BC.又∵∠A＝∠C，∴△AED∽△CBD.故选B. 返回3．在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　)A．①处 B．②处 C．③处 D．④处【点拨】【答案】B 返回4．如图，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，则当BD＝________时，△ABD∽△DBC．【点拨】【点易错】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角．. . . 返回5． 返回[2024广州]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.6．一个三角形木架的三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(　　)A．一种 B．两种 C．三种 D．四种【点拨】长120 cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120 cm的木条不能作为一边．设从120 cm的木条上截下的两段长分别为x cm，y cm(x＋y≤120)，由于长60 cm的木条不能与75 cm的一边对应，否则x＋y＞120 cm.【答案】B 返回7．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是(　　)A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBAC．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA【点拨】∵∠APD＝90°，而∠PAB≠∠PCA，∠PBA≠∠PAC，∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故C，D错误；【答案】B 返回8．(16－3t) cm如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从A出发，以2 cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3 cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t s.(1)用含t的代数式表示AQ＝__________；【点拨】∵AC＝16 cm，CQ＝3t cm，∴AQ＝AC－CQ＝(16－3t) cm.(2)当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，t＝________．【点拨】三边成比例的两个三角形相似 利用三边成比例判定两个三角形相似相似三角形的判定定理的运用 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！