27.2.2 相似三角形的性质 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面标题：27.2.2 相似三角形的性质副标题：人教版九年级数学下册配图：两个相似三角形（△ABC∽△A'B'C'，标注相似比 k），用彩色线条标注对应边、对应角，旁注 “对应角相等”“对应边成比例”“周长比 = k”“面积比 = k²”落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识与技能：掌握相似三角形的基本性质（对应角相等、对应边成比例），理解相似比的意义推导并掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系（周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方）能运用相似三角形的性质解决角度计算、线段长度求解、周长与面积计算等问题过程与方法：通过测量、计算、推理等探究活动，经历相似三角形性质的推导过程，提升逻辑推理与归纳总结能力对比相似三角形与全等三角形的性质，体会 “特殊到一般” 的数学思想情感态度：感受相似三角形性质的系统性与实用性，增强几何解题的信心在小组合作探究中，培养团队协作意识与严谨的数学思维第 3 页：复习回顾与情境引入复习旧知：相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似相似三角形的判定方法：SSS、SAS、AA相似比：相似三角形对应边的比（记为 k），全等三角形的相似比 k=1情境引入：实例：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比 k=1:2，已知 AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm，∠A=60°。思考 1：△A'B'C' 的对应角是多少？对应边长度是多少？思考 2：△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比是多少？引入课题：今天我们将深入探究相似三角形的性质，重点分析周长比、面积比与相似比的关系。第 4 页：探究一：相似三角形的基本性质（对应角、对应边）性质推导：由相似三角形的定义直接可得：性质 1：相似三角形的对应角相等（如△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'）性质 2：相似三角形的对应边成比例（如△ABC∽△A'B'C'，则\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，k 为相似比）动手验证：画△ABC（∠A=50°，∠B=60°，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm）画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比 k=2测量△A'B'C' 的对应角与对应边，验证 “对应角相等、对应边成比例”小练习：已知△ABC∽△DEF，∠A=70°，∠B=50°，AB=5cm，DE=10cm，求∠D、∠E 的度数及相似比 k。（答案：∠D=70°，∠E=50°，k=1:2）第 5 页：探究二：相似三角形的周长比与相似比的关系推导过程：设△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)则 AB=k・A'B'，BC=k・B'C'，AC=k・A'C'△ABC 的周长\(C_{ABC}=AB+BC+AC=k·A'B'+k·B'C'+k·A'C'=k(A'B'+B'C'+A'C')=k·C_{A'B'C'}\)故\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)性质总结：性质 3：相似三角形的周长比等于相似比实例验证：若△ABC 的周长为 12cm，△A'B'C' 与△ABC 的相似比 k=3，则△A'B'C' 的周长 = 12×3=36cm小练习：已知△ABC∽△DEF，周长比为 2:3，若△ABC 的周长为 18cm，求△DEF 的周长。（答案：27cm）第 6 页：探究三：相似三角形的面积比与相似比的关系推导过程：设△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，分别作△ABC、△A'B'C' 的高 AD、A'D'（D 在 BC 上，D' 在 B'C' 上）由 AA 判定，△ABD∽△A'B'D'（∠B=∠B'，∠ADB=∠A'D'B'=90°），故\(\frac{AD}{A'D'}=k\)△ABC 的面积\(S_{ABC}=\frac{1}{2}·BC·AD\)，△A'B'C' 的面积\(S_{A'B'C'}=\frac{1}{2}·B'C'·A'D'\)则\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}·BC·AD}{\frac{1}{2}·B'C'·A'D'}=\frac{BC}{B'C'}·\frac{AD}{A'D'}=k·k=k²\)性质总结：性质 4：相似三角形的面积比等于相似比的平方实例验证：若△ABC 的面积为 8cm²，△A'B'C' 与△ABC 的相似比 k=2，则△A'B'C' 的面积 = 8×2²=32cm²易错提醒：面积比是相似比的 “平方”，而非相似比本身（如相似比为 1:3，面积比为 1:9，而非 1:3）第 7 页：相似三角形性质的综合梳理性质列表（以△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k 为例）：性质类型具体内容数学表达式对应角对应角相等∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'对应边对应边成比例\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)周长周长比 = 相似比\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)面积面积比 = 相似比的平方\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=k²\)与全等三角形的对比（全等三角形是相似比 k=1 的特殊情况）：全等三角形：对应角相等、对应边相等、周长相等、面积相等相似三角形：对应角相等、对应边成比例、周长比 = k、面积比 = k²第 8 页：性质应用（基础例题）例 1：角度与边长计算已知△ABC∽△DEF，∠A=60°，∠B=70°，AB=4cm，DE=8cm，BC=5cm，求∠D、∠E 的度数及 EF 的长度。解析：对应角相等：∠D=∠A=60°，∠E=∠B=70°相似比 k=\(\frac{AB}{DE}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)对应边成比例：\(\frac{BC}{EF}=k=\frac{1}{2}\)，故 EF=BC×2=5×2=10cm例 2：周长与面积计算已知△ABC∽△A'B'C'，相似比 k=2:3，△ABC 的周长为 20cm，面积为 16cm²，求△A'B'C' 的周长与面积。解析：周长比 = k，故△A'B'C' 的周长 = 20×\(\frac{3}{2}\)=30cm面积比 = k²，故△A'B'C' 的面积 = 16×(\(\frac{3}{2}\))²=16×\(\frac{9}{4}\)=36cm²第 9 页：性质应用（综合例题）例 3：复杂图形中的面积计算如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，且\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，△ADE 的面积为 4cm²，求△ABC 的面积。解析：由 DE∥BC，得△ADE∽△ABC（AA）相似比 k=\(\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\)面积比 = k²=\(\frac{1}{9}\)，设△ABC 的面积为 S，则\(\frac{4}{S}=\frac{1}{9}\)，解得 S=36cm²例 4：实际应用 —— 相似三角形模型如图，小明用自制的相似三角形模型测量树高，已知模型的高为 10cm，底边长为 15cm，测得模型与树的水平距离为 20m，树的影子顶端与模型影子顶端的水平距离为 5m，求树的高度。解析：模型与树相似（AA，太阳光为平行光线，夹角相等）相似比 k=\(\frac{模型底边长}{树的影长}=\frac{0.15}{5}=0.03\)（单位统一：15cm=0.15m）树高 = 模型高 ÷k=0.1÷0.03≈3.33m（或用对应边成比例：\(\frac{模型高}{树高}=\frac{模型影长}{树影长}\)，解得树高 = \(\frac{0.1×5}{0.15}\)≈3.33m）第 10 页：巩固练习选择题：（1）已知△ABC∽△DEF，相似比为 1:2，若△ABC 的面积为 3，则△DEF 的面积为（ ）A. 3 B. 6 C. 12 D. 24（2）两个相似三角形的周长比为 3:4，则它们的面积比为（ ）A. 3:4 B. 9:16 C. \(\sqrt{3}:\sqrt{4}\) D. 6:8填空题：（1）△ABC∽△A'B'C'，∠A=50°，∠B=60°，则∠C'=____；（2）若△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，BC=4，则 EF=，相似比 k=。解答题：如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是两三角形的高，若 AB=4，A'B'=6，AD=3，求 A'D' 的长度及两三角形的面积比。第 11 页：课堂小结知识梳理：相似三角形的核心性质：对应角相等、对应边成比例、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方关键关系：相似比是连接边、周长、面积的桥梁，面积比需注意 “平方” 关系思想方法：转化思想：将复杂图形中的面积、周长问题转化为相似比的计算类比思想：对比全等三角形与相似三角形的性质，理解 “特殊与一般” 的关系易错点回顾：混淆 “周长比” 与 “面积比”，忘记面积比是相似比的平方在复杂图形中，未明确相似三角形的对应关系，导致比例计算错误第 12 页：布置作业基础作业：教材对应习题，完成 3 道角度 / 边长计算题和 2 道周长 / 面积计算题提升作业：（1）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，AD=6，E 是 AD 上一点，AE=2，连接 BE 并延长交 AC 于 F，若△AEF 的面积为 1，求△ABC 的面积；（2）已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE=2:3，△ABC 的周长与△DEF 的周长之差为 10cm，求两个三角形的周长。实践作业：用硬纸板制作两个相似三角形（相似比 k=1:2），测量并计算它们的周长比与面积比，验证相似三角形的性质2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 复习引入1. 相似三角形的判定方法有哪些？◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.◑平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似.◑三边成比例的两个三角形相似.◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.◑两角分别相等的两个三角形相似.◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?高中线角平分线周长面积 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？相似三角形对应线段的比合作探究∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B =∠B'．解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°． ∴△ABD∽△A'B'D'． 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 B′C′ 上的高之比． 仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.试一试：类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比.相似三角形对应高的比等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.归纳：解：∵ △ABC ∽△DEF， 　例 1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 4，BG = 4.8. 求 EH.典例精析1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ . 2. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3 : 4，若 BC 边上 的高 AD = 12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______.2 : 32 : 316 cm练一练 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 想一想：如果 △ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么因此 AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'.从而归纳：相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，那么它们的面积比是多少？合作探究分别作 BC，B′C′ 边上的高 AD 和 A′D′.相似三角形的面积的比等于相似比的平方．归纳：1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：试一试：24100100kk22. 把一个三角形变成和它相似的三角形： (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的______倍.25103. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm. (1) 若它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长 分别是______________； (2) 若它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是______________.100 cm、40 cm50 cm2、8 cm2解：在△ABC 和△DEF 中，∵ AB = 2DE，AC = 2DF，又 ∵∠D =∠A，∴ △DEF∽△ABC，相似比为 1∶2. 如果两个相似三角形的面积之比为 2∶7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_____. 练一练∴△ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，∴ △ADE 的面积为 36 cm2.∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.练一练解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE∽△ABC． 即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4.又∵ EF∥AB，∴ 面积比为 1 : 4.设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，1. 判断对错： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍． ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍． ( )√×D 返回1． 返回A2．已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为2：3，则它们的周长比为(　　)B 返回3．如果两个相似三角形的对应高线的长度之比为a：b，对应的角平分线的长度之比为b：a，那么(　　)A．a>b B．a＝bC．a