第二十七章 相似【章末复习】 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：复习导航 —— 目标与框架一、复习核心目标知识层面：精准掌握反比例函数的定义、表达式及图像特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题。能力层面：能根据已知条件确定反比例函数解析式，结合图像分析函数的增减性、对称性，解决与反比例函数相关的几何综合题和实际应用题。素养层面：体会 “数形结合”“分类讨论” 等数学思想，理解反比例函数在实际生活中的应用价值，提升分析问题与建模能力。二、知识框架总览 第 2 页：核心知识梳理 —— 反比例函数的概念一、反比例函数的定义与表达式定义：一般地，形如 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k\) 为常数，\(k \neq 0\)） 的函数，叫做反比例函数。本质特征：两个变量 \(x\)、\(y\) 的乘积为定值（\(xy = k\)），且 \(x\) 不能为 0，\(y\) 也不能为 0。三种等价表达式：标准式：\(y = \frac{k}{x}\)（最常用，直观体现 “反比例” 关系）；乘积式：\(xy = k\)（用于计算 \(k\) 值或判断是否为反比例函数）；负指数式：\(y = kx^{-1}\)（体现与正比例函数 \(y = kx\) 的形式差异，\(x^{-1} = \frac{1}{x}\)）。自变量与函数值的取值范围：自变量 \(x\)：\(x \neq 0\)（分母不能为 0）；函数值 \(y\)：\(y \neq 0\)（由 \(xy = k \neq 0\) 推导）。二、概念辨析与易错点判断是否为反比例函数：需满足 “变量乘积为定值且不含其他项”，如 \(y = \frac{2}{x+1}\) 不是反比例函数（分母是 \(x+1\)，非单独 \(x\)），\(y = \frac{3}{x} + 2\) 也不是（含常数项 2）。\(k\) 的取值意义：\(k\) 是反比例函数的 “核心参数”，\(k \neq 0\) 是前提，\(k\) 的符号决定图像位置，\(k\) 的绝对值决定图像 “偏离原点的程度”（\(|k|\) 越大，双曲线离原点越远）。第 3 页：核心知识梳理 —— 图像与性质一、反比例函数的图像特征图像形状：双曲线，由两支分别位于两个象限的曲线组成，且永不与坐标轴相交（因 \(x \neq 0\)、\(y \neq 0\)）。图像位置与 \(k\) 的关系：\(k\) 的符号图像所在象限示例（\(k=2\) 与 \(k=-2\)）\(k > 0\)第一、三象限\(y = \frac{2}{x}\)：第一象限分支从左上到右下，第三象限分支从左下到右上\(k < 0\)第二、四象限\(y = \frac{-2}{x}\)：第二象限分支从右上到左下，第四象限分支从右下到左上二、反比例函数的核心性质增减性（重点）：当 \(k > 0\) 时：在每个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而 减小（注意：“每个象限内” 是前提，不能说 “\(y\) 随 \(x\) 整体减小”，因跨象限无增减性）；当 \(k < 0\) 时：在每个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而 增大。示例：对于 \(y = \frac{3}{x}\)，若 \(x_1 = -2\)、\(x_2 = 1\)，虽 \(x_1 < x_2\)，但 \(y_1 = -1.5\)、\(y_2 = 3\)，\(y_1 < y_2\)，因两点在不同象限，不适用 “\(y\) 随 \(x\) 增大而减小”。对称性：关于 原点中心对称：若 \((a, b)\) 在双曲线上，则 \((-a, -b)\) 也在双曲线上；关于 直线 \(y = x\) 和 \(y = -x\) 轴对称：若 \((a, b)\) 在双曲线上，则 \((b, a)\)、\((-b, -a)\) 也在双曲线上。三、\(k\) 的几何意义（高频考点）基本结论：过反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图像上任意一点 \(P(x, y)\)，作 \(PA \perp x\) 轴于 \(A\)，\(PB \perp y\) 轴于 \(B\)，则矩形 \(OAPB\) 的面积 \(S = |x| \cdot |y| = |xy| = |k|\)，三角形 \(OAP\) 或 \(OBP\) 的面积 \(S = \frac{1}{2}|k|\)。拓展结论：过双曲线上两点作坐标轴的垂线，形成的梯形或三角形面积，可通过 “面积和差” 结合 \(|k|\) 计算。第 4 页：核心工具 —— 反比例函数解析式的确定一、待定系数法（核心方法）适用场景：已知双曲线上一个点的坐标，求解析式。步骤：设：设反比例函数解析式为 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)）；代：将已知点 \((x_0, y_0)\) 代入解析式，得 \(y_0 = \frac{k}{x_0}\)；求：解得 \(k = x_0 y_0\)；写：将 \(k\) 值代入，写出最终解析式。示例：已知反比例函数图像过点 \((2, 3)\)，求解析式 —— 代入得 \(3 = \frac{k}{2}→k = 6\)，故解析式为 \(y = \frac{6}{x}\)。二、多条件确定解析式场景 1：已知图像所在象限与一个条件示例：反比例函数 \(y = \frac{k-1}{x}\) 的图像在第二、四象限，且过点 \((m, 2)\)，求 \(k\) 的取值范围与解析式（部分）—— 由象限知 \(k-1 < 0→k < 1\)，若补充 \(m = -1\)，则 \(2 = \frac{k-1}{-1}→k = -1\)，解析式为 \(y = \frac{-2}{x}\)。场景 2：与一次函数交点求 \(k\)示例：已知反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 1\) 交于点 \((1, n)\)，求 \(k\)—— 先求 \(n = 1 + 1 = 2\)，再代入反比例函数得 \(2 = \frac{k}{1}→k = 2\)。第 5 页：综合应用 —— 三大高频题型一、与一次函数的综合题常见考法：求交点坐标、判断函数值大小关系、计算围成图形的面积。解题步骤：联立解析式：将 \(y = \frac{k}{x}\) 与一次函数 \(y = ax + b\) 联立，消去 \(y\) 得方程 \(ax + b = \frac{k}{x}\)，整理为一元二次方程求解交点横坐标；分析函数值：根据图像，在不同区间内比较两个函数的函数值大小（“上大下小”）；计算面积：利用交点坐标与坐标轴垂线，结合三角形或梯形面积公式计算。示例：已知反比例函数 \(y = \frac{4}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 3\) 交于 \(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，求 \(AB\) 两点坐标及 \(\triangle AOB\) 的面积 —— 联立得 \(x + 3 = \frac{4}{x}→x² + 3x - 4 = 0→x = 1\) 或 \(x = -4\)，故 \(A(1, 4)\)、\(B(-4, -1)\)；面积可通过 “一次函数与坐标轴交点” 计算，一次函数交 \(x\) 轴于 \((-3, 0)\)，则 \(S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×3×1 = 7.5\)。二、几何图形面积问题（\(k\) 的几何意义应用）基本模型：利用 “双曲线上点到坐标轴的垂线形成的矩形 / 三角形面积为 \(|k|\) 或 \(\frac{1}{2}|k|\)” 求解。示例：如图，反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图像上一点 \(P\) 作 \(PE \perp x\) 轴于 \(E\)，若 \(S_{\triangle POE} = 2\)，求 \(k\) 的值 —— 由面积公式得 \(\frac{1}{2}|k| = 2→|k| = 4\)，若图像在第一象限，则 \(k = 4\)；若在第二象限，则 \(k = -4\)。三、实际应用题常见场景：工程问题（工作总量固定，效率与时间成反比）、行程问题（路程固定，速度与时间成反比）、压强问题（压力固定，压强与受力面积成反比）。解题步骤：建模：确定两个反比例关系的变量，设解析式 \(y = \frac{k}{x}\)；求 \(k\)：根据题干中的一组对应值求 \(k\)；应用：代入已知变量值，求另一个变量；或根据变量范围，求函数值范围。示例：某工厂加工一批零件，工作效率 \(v\)（个 / 天）与工作时间 \(t\)（天）成反比例，若效率为 50 个 / 天，需 20 天完成，求：① 解析式；② 若效率提高到 100 个 / 天，需多少天？——① 设 \(v = \frac{k}{t}\)，代入 \(50 = \frac{k}{20}→k = 1000\)，解析式 \(v = \frac{1000}{t}\)；② 当 \(v = 100\) 时，\(100 = \frac{1000}{t}→t = 10\) 天。第 6 页：题型突破 —— 易错点与解题技巧一、高频易错点剖析增减性忽略 “象限限制”：误说 “\(k > 0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小”，忽略 “在每个象限内”；避错：分析增减性时，先明确点所在象限，跨象限不适用增减性。\(k\) 的几何意义漏绝对值：计算面积时直接用 \(k\) 代替 \(|k|\)，忽略 \(k\) 为负的情况；避错：牢记面积是正数，无论 \(k\) 正负，面积均为 \(|k|\) 或 \(\frac{1}{2}|k|\)。解析式确定漏检验：已知点坐标求 \(k\) 时，代入后未验证是否符合函数定义（如 \(k = 0\)）；避错：求得 \(k\) 后，务必确认 \(k \neq 0\)，且点坐标满足 \(xy = k\)。实际应用忽略变量范围：如时间、速度等变量不能为负数，求解后未舍去不合理的解；避错：结合实际场景，对解进行取舍，确保变量符合实际意义。二、解题技巧总结图像分析法：遇到函数值比较、交点问题时，优先画出函数图像，利用 “数形结合” 直观判断；特殊点法：求 \(k\) 值或解析式时，优先选择坐标轴上的点、对称点等特殊点，简化计算；方程思想：与一次函数综合时，通过联立方程求交点，将函数问题转化为方程问题；分类讨论法：当 \(k\) 的符号不确定（如仅知面积求 \(k\)）时，需分 \(k > 0\) 和 \(k < 0\) 两种情况讨论。第 7 页：实战演练 —— 分层例题与解析一、基础巩固题（概念与性质）题目 1：下列函数中，属于反比例函数的是（ ）A. \(y = 3x\) B. \(y = \frac{3}{x+2}\) C. \(y = \frac{3}{x}\) D. \(y = 3x²\)解析：根据反比例函数定义，只有 \(y = \frac{3}{x}\) 符合 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k=3≠0\)），选 C。题目 2：已知反比例函数 \(y = \frac{m-2}{x}\) 的图像在第一、三象限，求 \(m\) 的取值范围，并判断当 \(x > 0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的变化情况。解析：① 由象限知 \(m-2 > 0→m > 2\)；② 当 \(x > 0\) 时，在第一象限，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。二、中档提升题（\(k\) 的几何意义与综合）题目 1：如图，点 \(A\) 在反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k < 0\)）的图像上，过 \(A\) 作 \(AB \perp y\) 轴于 \(B\)，若 \(S_{\triangle AOB} = 3\)，求 \(k\) 的值。解析：由 \(k\) 的几何意义，\(S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|k| = 3→|k| = 6\)，又 \(k < 0\)，故 \(k = -6\)。题目 2：已知反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 与一次函数 \(y = -x + 7\) 交于 \(A\)、\(B\) 两点，求：① 交点坐标；② 当 \(x\) 为何值时，反比例函数值大于一次函数值？解析：① 联立得 \(\frac{6}{x} = -x + 7→x² - 7x + 6 = 0→x = 1\) 或 \(x = 6\)，故 \(A(1, 6)\)、\(B(6, 1)\)；② 结合图像，当 \(0 < x < 1\) 或 \(x > 6\) 时，反比例函数值大于一次函数值。三、压轴应用题（实际场景与建模）题目：某运输公司运输一批货物，运输速度 \(v\)（km/h）与运输时间 \(t\)（h）成反比例，若运输速度为 40 km/h，需 10 小时到达目的地，求：① 运输时间 \(t\) 与速度 \(v\) 的函数解析式；② 若要在 8 小时内到达，运输速度至少为多少？解析：① 设 \(t = \frac{k}{v}\)，代入 \(10 = \frac{k}{40}→k = 400\)，解析式 $t =2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . (1) 形状相同的图形(2) 相似多边形(3) 相似比：相似多边形对应边的比1. 图形的相似◑通过定义◑平行于三角形一边的直线截三角形◑三边成比例◑两边成比例且夹角相等◑两角分别相等◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例(三个角分别相等，三条边成比例)2. 相似三角形的判定◑对应角相等、对应边成比例◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比◑周长比等于相似比◑面积比等于相似比的平方3. 相似三角形的性质(1) 测高测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接测量的两点间的距离)测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.(2) 测距4. 相似三角形的应用(1) 如果两个图形不仅相似，而且所有对应点的 连线都相交于同一点，那么这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时 的相似比也称为位似比)5. 位似(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比(4) 平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k.例 1 如图，当满足下列条件之一时，都可判定 △ADC∽△ACB：(1) ； (2) ；(3) .∠ACD =∠B∠ADC =∠ACB例 2 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF =　　　　.【分析】从题干分析△AEF 与△ABC 相似，此时对应关系不明确，需分类讨论．2 或 4.5解析：当△AEF∽△ABC 时，AE∶AB = AF∶AC，即 3∶9 = AF∶6，解得 AF = 2；当△AFE∽△ABC时，AF∶AB = AE∶AC，即 AF∶9 = 3∶6，解得 AF = 4.5．综上所述，AF = 2 或 4.5.例 3 如图，在 □ ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE∶EC = 1∶2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为 .　　　　　　1∶9【变式题】如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，EF : AF =1 : 3，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △EFB的面积与 △ABD 的面积之比为 .　　　　　　1∶12【注意】求面积比时，要注意相似三角形、等高三角形的区别．解析：∵AD∥BC，∴△EFB∽△AFD，相似比为1∶3.∴ S△EFB∶S△AFD = 1∶9．∵ △EFB 与△ABF 同高，∴ S△EFB∶S△ABF = 1:3．∴ S△EFB∶S△ABD = 1:12.证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE 是外角平分线，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．例 4 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.(1) 求证：△ABD ∽△CED；(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6， ∴ AM＝CM＝3. ∵ AD＝2CD， ∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.M由(1) △ABD ∽△CED，得M例 5 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC2 ＝ PA · PB.B证明：连接 AC，BC．∵ AB 是直径，∴∠ACB = 90°．∴ ∠A +∠B = 90°．∵ CD⊥AB，∴∠APC =∠CPB = 90°．∴∠PCB +∠B = 90°．∴∠A =∠PCB．∴ PC2 = AP · PB．C已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( )A.B.C.D.B例7 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点．ABC(1) 在图中△ABC 内部作 △A′B′C′，使△A′B′C′ 和△ABC 位似，且位 似中心为点 O，位似 比为 2 : 3.OA′B′C′解：如图所示.(2) 线段 AA′ 的长度是 . 如图，△ABC 在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中. (1) 请在方格纸上建 立平面直角坐标 系，使 A (2，3)， C (6，2)，并求 出 B 点坐标；解：如图所示， B (2，1).xyOxyO(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；A′B′C′解：如图所示. (3) 计算△A′B′C′ 的 面积 S.例 8 如图，某一时刻小树 AB 的影子顶端与大树 CD 的刚好重合．已知小树 AB 高 2.4 米，大树 CD 高 5 米，而大树的影长为 2.5 米，求小树与大树之间的距离 BD.解：由题知 △ABE∽△CDE， ∴ AB∶CD = BE∶DE， 即 2.4∶5 = BE∶2.5， 解得 BE = 1.2． ∴ BD = 2.5 - 1.2 = 1.3（米）.如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30° 角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．【注意】太阳光线是平行的．解：如图，由题意知 CD = 3.6 m，∠C =∠E = 90°，BD∥FG．∴∠BDC =∠FGE．∴△BDC∽△FGE．解得 BC = 6 m.在 Rt△ABC 中，∵∠A = 30°，∴ AB = 2BC = 12 m，即树长 AB 是 12 m.例 9 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，结合光的反射原理，设计一种方案测量纪念碑的高度 (画出示意图)，并说明理由．解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶端 A. 若人眼到地面的距离为 CD，测量出 CD、 DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED = ∠AEB，∠D =∠B = 90°，易得△ABE∽△CDE. 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离起跳点 2 m 远的地上，然后反弹撞到墙上．如果他跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？解：∵∠ABO =∠CDO = 90°，∠AOB =∠COD， ∴△AOB∽△COD.解得 CD = 5.4.故球能碰到墙面离地 5.4 m 高的地方．例 10 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ABCDEFGH解：如图，设正方形 EFHG 为加工成 的正方形零件，边 GH 在 BC 上， 顶点 E、F 分别在AB、AC上， △ABC 的高 AD 与边EF 相交于 点 M，设正方形的边长为 x mm.M∵ EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．又∵ AM = AD－MD = 80－x，解得 x = 48．即这个正方形零件的边长是 48 mm．ABCDEFGHMD 返回1．下列命题错误的是(　　)A．两个全等的三角形一定相似B．相似的两个三角形不一定全等C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D．已知△ABC∽△DEF，DE＝4，AB＝9，则△ABC与△DEF的相似比是4:9 返回B2．[2024焦作期末]下列结论不正确的是(　　)A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正五边形都相似B 返回3．已知线段a，b，c，作线段x，使a：b＝c：x，则正确的作法是(　　)4． 返回65． 返回C如图，若AB∥CD∥EF，AC与BD交于点O，则图中相似三角形有(　　)A．1对 B．2对C．3对 D．4对6． 返回A[2024安徽]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为(　　)7． 返回8．(2)△AEF∽△ACD． 返回9．[2024盐城]如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC．(1)求证：△ABC∽△ACD；【证明】连接OC.∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴OC∥AD.∴∠CAD＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO.∴∠CAD＝∠CAB.∵AD⊥l，AB为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.∴△ABC∽△ACD.(2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 返回10．如图①，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文学和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图②，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8 m，AB＝1.6 m．若“矩”的边EF＝a＝30 cm，边AF＝b＝60 cm，求树高CD． 返回11． 返回12．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点B的坐标为(－1，－1)．(1)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并求出△ABC在旋转过程中扫过的面积；(2)以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．【解】如图所示，△A2B2C2即为所求．由图可知，点B2的坐标为(－5，－4)． 返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！