28.1.1正弦函数 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面标题：28.1.1 正弦函数副标题：人教版九年级数学下册配图：含 30°、45°、60° 的直角三角形示意图（标注直角、锐角及对应边，如 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，AB=2）落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识与技能：理解直角三角形中锐角的正弦函数定义（\(\sin A=\frac{对边}{斜边}\)），明确 “对边”“斜边” 的对应关系掌握 0°、30°、45°、60°、90° 等特殊角的正弦值，能准确记忆并直接运用会根据正弦函数定义计算直角三角形中未知的边或角，解决简单的实际问题过程与方法：通过观察、测量、计算等活动，经历正弦函数概念的形成过程，提升数形结合能力借助特殊直角三角形（如含 30°、45° 的三角形）推导特殊角正弦值，培养逻辑推理能力情感态度：感受三角函数在解决几何问题和实际问题中的工具性价值，增强学习兴趣在探究特殊角正弦值的过程中，体会数学的规律性与严谨性第 3 页：情境引入 —— 直角三角形的边角关系实例展示（配图呈现）：实例 1：小明要测量一棵大树的高度，他站在离树底 10 米处，测得视线与水平线的夹角为 30°，已知小明身高 1.6 米，如何计算树高？实例 2：斜拉桥的钢索与桥塔成 60° 角，钢索长度为 20 米，如何求桥塔的高度？思考提问：问题 1：这些实例都涉及直角三角形，已知一个锐角和一条边，如何求另一条边？问题 2：在直角三角形中，一个锐角确定后，它的对边与斜边的比值是否固定？引入课题：今天我们将学习直角三角形中锐角的正弦函数，用它来解决这类边角计算问题。第 4 页：正弦函数的定义定义推导：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 是一个锐角：定义：∠A 的对边（BC）与斜边（AB）的比叫做∠A 的正弦，记作\(\sin A\)数学表达式：\(\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}\)关键强调：“对边” 是相对于指定锐角而言（如∠B 的对边是 AC，而非 BC）斜边是直角三角形中最长的边，始终与直角相对（即 AB 边）概念辨析（互动环节）：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，DE=5，DF=3，EF=4，求\(\sin D\)和\(\sin E\)解析：\(\sin D = \frac{EF}{DE} = \frac{4}{5}\)，\(\sin E = \frac{DF}{DE} = \frac{3}{5}\)取值范围：因直角三角形中，对边长度 < 斜边长度，且边长为正数，故 0 < \(\sin A\) < 1（A 为锐角）特殊情况：∠A=0° 时，\(\sin 0°=0\)；∠A=90° 时，\(\sin 90°=1\)第 5 页：特殊角的正弦值推导特殊角正弦值：（1）30° 角的正弦值：如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，设 BC=1，则 AB=2（30° 角所对直角边是斜边的一半）\(\sin 30° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)（2）45° 角的正弦值：如图，Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，设 DF=EF=1，则 DE=\(\sqrt{2}\)（勾股定理）\(\sin 45° = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)（分母有理化）（3）60° 角的正弦值：沿用 30° 角的 Rt△ABC，∠B=60°，对边是 AC，设 BC=1，AB=2，则 AC=\(\sqrt{3}\)\(\sin 60° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)特殊角正弦值总结表：锐角 α0°30°45°60°90°\(\sin α\)0\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)1记忆技巧：结合特殊三角形的边长关系（如 1:2:\(\sqrt{3}\)、1:1:\(\sqrt{2}\)）辅助记忆第 6 页：正弦函数的基础应用（求边长）例 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，求 BC 的长。解析：由正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB}\)代入已知：\(\sin 30° = \frac{BC}{8}\)因\(\sin 30° = \frac{1}{2}\)，故\(BC = 8×\frac{1}{2} = 4\)例 2：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠E=60°，DE=10，求 EF 的长（提示：先求∠D 的度数，再用正弦定义）。解析：∠D=90°-60°=30°，∠D 的对边是 EF\(\sin D = \frac{EF}{DE}\)，即\(\sin 30° = \frac{EF}{10}\)解得\(EF = 10×\frac{1}{2} = 5\)方法总结：已知直角三角形的一个锐角和斜边，求锐角的对边，用 “对边 = 斜边 ×\(\sin\)锐角” 计算。第 7 页：正弦函数的基础应用（求角度）例 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AB=10，求∠A 的度数。解析：由正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)查表或结合特殊角正弦值，得∠A=30°例 4：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，EF=7，DE=7\(\sqrt{2}\)，求∠D 的度数。解析：\(\sin D = \frac{EF}{DE} = \frac{7}{7\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)故∠D=45°注意事项：若\(\sin α\)的值不是特殊角的正弦值，需用计算器计算角度（后续学习），现阶段重点掌握特殊角的应用。第 8 页：正弦函数的实际应用例 5：（测量高度问题）小明用测角仪测量旗杆高度，测角仪高 1.5 米，测得旗杆顶端的仰角为 45°，测角仪到旗杆的水平距离为 12 米，求旗杆的高度。解析：如图，设旗杆顶端为 A，底部为 B，测角仪顶端为 C，底部为 D，則 CD=1.5 米，BD=12 米，∠ACD=45°，四边形 CDB E 为矩形（E 为 A 在 CD 延长线上的垂足），故 CE=BD=12 米，AE 为旗杆超出测角仪的高度在 Rt△ACE 中，\(\sin 45° = \frac{AE}{AC}\)，但此处已知邻边 CE，可先求 AE：因∠ACE=45°，故△ACE 为等腰直角三角形，AE=CE=12 米旗杆高度 AB=AE+EB=12+1.5=13.5 米例 6：（斜面问题）一个斜坡的坡角为 30°，斜坡长度为 20 米，求斜坡的垂直高度。解析：坡角为斜坡与水平面的夹角，垂直高度为坡角的对边设垂直高度为 h，由\(\sin 30° = \frac{h}{20}\)，得\(h = 20×\frac{1}{2} = 10\)米第 9 页：巩固练习选择题：（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若\(\sin A = \frac{1}{2}\)，则∠A 的度数为（ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°（2）已知 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=60°，DF=2，则 DE 的长为（ ）A. 4 B. 2\(\sqrt{3}\) C. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) D. \(\sqrt{3}\)填空题：（1）\(\sin 45° = \)，\(\sin 60° = \)；（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则\(\sin A = \)______。解答题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，AC=6，求 AB 和 BC 的长。第 10 页：课堂小结知识梳理：正弦定义：Rt△中，锐角的对边与斜边的比（\(\sin A = \frac{对边}{斜边}\)）特殊角正弦值：30°（1/2）、45°（\(\sqrt{2}/2\)）、60°（\(\sqrt{3}/2\)）应用场景：求直角三角形的对边、斜边或锐角，解决测量、斜面等实际问题思想方法：数形结合：通过图形明确边角对应关系，辅助计算转化思想：将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题易错点回顾：混淆 “对边” 与 “邻边”，导致正弦定义应用错误特殊角正弦值记忆不准确（如将\(\sin 45°\)记为\(\sqrt{3}/2\)）第 11 页：布置作业基础作业：教材对应习题，完成 3 道定义应用题、2 道特殊角计算题提升作业：（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，BC=6\(\sqrt{3}\)，求 AB 和 AC 的长；（2）探究：在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，这个锐角还可以是多少度？为什么？实践作业：用测角仪（或自制简易测角工具）测量家中阳台护栏的高度，记录测量数据（仰角、水平距离），用正弦函数计算护栏高度并验证2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 情景引入 比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角 α 是多少吗？ABC“斜而未倒”BC = 5.2 mAB = 54.5 mα 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度达到 35 m，需要准备多 长的水管？情境引入已知直角三角形的边长求正弦值 从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ABC35 m?合作探究 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB.根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”，可知∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .归纳： 在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？解：因为∠A = 45°，∠C = 90°，所以 AC = BC， 由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2，思考1： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .归纳： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ABCA'B'C'思考2：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．归纳： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即例如，当∠A＝30° 时，我们有归纳：例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和sinB 的值.典例精析解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得因此如图②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得因此1. 如图，判断对错：√×练一练×sinA = 0.6 ( ) sinB = 0.8 ( ) √√2. 在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 7，BC = 3，则 sinA 的值为 ( ) A. B. C. D. C例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．A (3，0)在 Rt△APO 中，由勾股定理得α方法总结：在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )A. B.C. D.练一练D已知锐角的正弦值求直角三角形的边长提示：已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( )DA. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sinA = ，AB = 6， 那么 BC =_____.2练一练例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．解：由 sinA = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.即 24x = 24，解得 x = 1.故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.∴ △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm).在 Rt△ABC 中，由勾股定理得方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.C 返回1．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，则下列比值中不等于sin A的是(　　) 返回A2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠BAC的值是(　　)asinθ km 返回3．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为________．4． 返回5．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求sin∠ECM的值． 返回6．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，与各边分别相切于点E，F，G，H，则∠1的正弦值等于(　　)【点拨】【答案】A 返回7． 返回【点拨】【答案】D8．【点拨】【答案】A 返回正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！