28.1.2余弦函数和正切函数 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面标题：28.1.2 余弦函数和正切函数副标题：人教版九年级数学下册配图：Rt△ABC（∠C=90°），标注∠A 的对边（BC）、邻边（AC）、斜边（AB），旁注余弦、正切的定义表达式落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识与技能：理解直角三角形中锐角的余弦函数（\(\cos A=\frac{邻边}{斜边}\)）和正切函数（\(\tan A=\frac{对边}{邻边}\)）定义，明确 “邻边” 的对应关系掌握 0°、30°、45°、60°、90° 的余弦值与正切值，能准确记忆并对比正弦值会运用余弦、正切函数解决直角三角形的边角计算及简单实际问题过程与方法：类比正弦函数的学习思路，通过观察、推导、计算，构建三角函数的知识体系结合特殊直角三角形，推导特殊角的余弦、正切值，提升逻辑推理与归纳能力情感态度：体会三角函数的系统性，感受数学知识间的内在联系在实际应用中，增强用数学解决问题的信心，激发学习兴趣第 3 页：复习回顾与情境引入复习旧知：正弦函数定义：在 Rt△ABC 中，\(\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边}\)特殊角正弦值：\(\sin 30°=\frac{1}{2}\)，\(\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\)情境延伸：实例：小明测量大树高度时，若测得仰角 30°，测角仪到树的水平距离（邻边）为 10 米，如何求斜边（视线长度）？若已知对边和邻边，如何求锐角大小？引入课题：要解决这类问题，需要学习另外两种三角函数 —— 余弦函数和正切函数。第 4 页：余弦函数的定义定义推导：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 为锐角：定义：∠A 的邻边（与∠A 相邻的直角边 AC）与斜边（AB）的比叫做∠A 的余弦，记作\(\cos A\)数学表达式：\(\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}\)关键强调：“邻边” 是相对于指定锐角，且不包含对边（如∠B 的邻边是 BC）斜边始终是直角三角形中最长的边（AB）概念辨析：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，DE=5，DF=3，EF=4，求\(\cos D\)和\(\cos E\)解析：\(\cos D = \frac{DF}{DE} = \frac{3}{5}\)（∠D 的邻边是 DF），\(\cos E = \frac{EF}{DE} = \frac{4}{5}\)（∠E 的邻边是 EF）取值范围：邻边长度 < 斜边长度，且边长为正，故 0 < \(\cos A\) < 1（A 为锐角）特殊情况：\(\cos 0°=1\)，\(\cos 90°=0\)第 5 页：正切函数的定义定义推导：仍以 Rt△ABC（∠C=90°）为例：定义：∠A 的对边（BC）与邻边（AC）的比叫做∠A 的正切，记作\(\tan A\)数学表达式：\(\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC}\)关键强调：正切是 “对边与邻边” 的比，无斜边参与，与正弦、余弦区分邻边不能为 0（故∠A≠90°）概念辨析：沿用 Rt△DEF（∠F=90°，DF=3，EF=4），求\(\tan D\)和\(\tan E\)解析：\(\tan D = \frac{EF}{DF} = \frac{4}{3}\)（∠D 的对边 EF，邻边 DF），\(\tan E = \frac{DF}{EF} = \frac{3}{4}\)（∠E 的对边 DF，邻边 EF）取值范围：对边、邻边均为正数，故\(\tan A > 0\)（A 为锐角）特殊情况：\(\tan 0°=0\)，\(\tan 90°\)无意义（邻边为 0）第 6 页：特殊角的余弦值与正切值推导过程（结合特殊直角三角形）：（1）30° 角：Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=1，AB=2，AC=\(\sqrt{3}\)\(\cos 30° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan 30° = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)（2）45° 角：Rt△DEF 中，∠D=45°，DF=EF=1，DE=\(\sqrt{2}\)\(\cos 45° = \frac{DF}{DE} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan 45° = \frac{EF}{DF} = 1\)（3）60° 角：沿用 30° 角的 Rt△ABC，∠B=60°，邻边 BC=1，对边 AC=\(\sqrt{3}\)\(\cos 60° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)，\(\tan 60° = \frac{AC}{BC} = \sqrt{3}\)特殊角三角函数值汇总表：锐角 α0°30°45°60°90°\(\sin α\)0\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)1\(\cos α\)1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)0\(\tan α\)0\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)1\(\sqrt{3}\)无意义记忆技巧：余弦值与正弦值 “互补”：\(\cos α = \sin (90°-α)\)（如\(\cos 30°=\sin 60°\)）正切值：30°→\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，45°→1，60°→\(\sqrt{3}\)，按 “小→中→大” 递增第 7 页：余弦与正切函数的基础应用（求边长）例 1（余弦应用）：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=10，求 AC 的长。解析：\(\cos A = \frac{AC}{AB}\)，即\(\cos 60° = \frac{AC}{10}\)，故\(AC = 10×\frac{1}{2} = 5\)例 2（正切应用）：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=30°，DF=6\(\sqrt{3}\)，求 EF 的长。解析：\(\tan D = \frac{EF}{DF}\)，即\(\tan 30° = \frac{EF}{6\sqrt{3}}\)，故\(EF = 6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3} = 6\)方法总结：已知锐角和斜边，求邻边→用余弦（邻边 = 斜边 ×\(\cos\)锐角）已知锐角和邻边，求对边→用正切（对边 = 邻边 ×\(\tan\)锐角）第 8 页：余弦与正切函数的基础应用（求角度）例 3（余弦应用）：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=6，求∠A 的度数。解析：\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，故∠A=60°例 4（正切应用）：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，EF=5，DF=5，求∠D 的度数。解析：\(\tan D = \frac{EF}{DF} = 1\)，故∠D=45°综合对比：求角度时，优先选择已知边能直接对应三角函数定义的（如已知对边和邻边→用正切）第 9 页：三角函数的实际应用（综合）例 5（测量距离问题）：一艘船从港口 A 出发，向东北方向（45°）航行，2 小时后到达 B 点，已知船速为 15 海里 / 时。此时测得港口 A 在船的西南方向，求港口 A 到航线 AB 的垂直距离（即 AC，C 为垂足）。解析：AB=15×2=30 海里，∠BAC=45°（东北方向）在 Rt△ABC 中，\(\cos 45° = \frac{AC}{AB}\)，故\(AC = 30×\frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}\)≈21.2 海里例 6（斜面坡度问题）：某山坡的坡度（坡面的垂直高度与水平宽度的比，即\(\tan α\)）为 1:2，若坡面长度为 10 米，求山坡的垂直高度。解析：设垂直高度为 h，水平宽度为 2h（坡度 1:2）由勾股定理，坡面长度 =\(\sqrt{h²+(2h)²}=\sqrt{5}h=10\)，解得 h=2\(\sqrt{5}\)≈4.5 米（或用正弦：\(\sin α = \frac{h}{10}\)，\(\tan α=\frac{1}{2}\)，得\(\sin α=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，故 h=10×\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)=2\(\sqrt{5}\)）第 10 页：巩固练习选择题：（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若\(\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，则∠A 的度数为（ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°（2）已知 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，EF=3，则 DF 的长为（ ）A. 3 B. 3\(\sqrt{2}\) C. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) D. \(\sqrt{3}\)填空题：（1）\(\cos 60° = \)，\(\tan 30° = \)；（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则\(\cos B = \)，\(\tan A = \)。解答题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6\(\sqrt{3}\)，求 AB 和 BC 的长及\(\tan B\)的值。第 11 页：课堂小结知识梳理：三大三角函数定义（Rt△中，∠C=90°）：函数定义表达式正弦（\(\sin A\)）对边 / 斜边\(\frac{BC}{AB}\)余弦（\(\cos A\)）邻边 / 斜边\(\frac{AC}{AB}\)正切（\(\tan A\)）对边 / 邻边\(\frac{BC}{AC}\)特殊角值：牢记 30°、45°、60° 的三者函数值，掌握互补关系（\(\cos α=\sin(90°-α)\)）思想方法：类比思想：通过正弦函数类比学习余弦、正切，构建统一的三角函数认知数形结合：借助直角三角形图形，明确边角对应关系，避免定义混淆易错点回顾：混淆 “邻边” 的对应角（如将∠A 的邻边错记为 BC）特殊角正切值记忆错误（如\(\tan 30°\)记为\(\sqrt{3}\)）第 12 页：布置作业基础作业：教材对应习题，完成 3 道余弦 / 正切定义应用题、2 道特殊角计算题提升作业：（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，AB=8，求 AC 和 BC 的长；（2）探究：在 Rt△中，\(\sin²A + \cos²A = 1\)是否成立？用 30°、45° 角验证，并说明理由。实践作业：用测角仪测量小区内倾斜的树干与地面的夹角（坡角），记录树干底部到测量点的水平距离，用正切函数计算树干的垂直高度（忽略树干弯曲）2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 问题引入 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？余弦合作探究我们来试着证明前面的问题：从而 sinB = sinE， 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即归纳：斜边邻边从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有 cosα = sin(90°－α)．从而有 sinα = cos(90°－α)．练一练1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， 则 cosA＝ .2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5，α 为 其最小的锐角，求 α 的正弦值和余弦值． 合作探究正切∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF. 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．归纳：　　如下图，在直角三角形 ABC 中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA， 即　 锐角 A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？想一想：互为倒数.3. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为_____.练一练α4. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O 相切与点 C，若 BC = 4，AB = 5，则 tanA =___.·AOBC例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6，求 sinA，cosA，tanA 的值.典例精析锐角三角函数5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA =______，cosA =______，tanA =____， sinB =______，cosB =______，tanB =____.练一练ABC12132. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3. sinA =_______，cosA =_______，tanA =_____， sinB =_______，cosB =_______，tanB =_____.BC23A练一练2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，且 sinA = ，则下列 结论正确的是 （ ）A. cosA = B. tanA =C. cosA = D. tanA =D1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， ∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( )A2. sin70°，cos70°，tan70° 的大小关系是 ( ) A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着锐角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°. 故选 D.DB 返回1．如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱OA垂直于BC，垂足为点D，OB＝1.6 m．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，∠OBD＝20°，则此时伞内半径BD的长度为(　　) 返回D2．A 返回3．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tan D等于(　　)4．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”. 若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝(　　)【点拨】【答案】B 返回5．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则tan C 等于________．【点拨】 返回6．7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，则tan∠BOD的值是(　　)A．2 B．3 C．4 D．5【点拨】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，连接OD，此时点D到弦OB的距离最大．∵A(8，0)，B(0，6)，∴AO＝8，BO＝6.∵∠BOA＝90°，【答案】B 返回8．[2024眉山]如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　)【点拨】【答案】A 返回余弦函数和正切函数在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦锐角∠A 的大小确定的情况下，cosA，tanA 为定值，与直角三角形的大小无关在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切余弦正切性质必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！