27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面标题：27.2.1.4 两角分别相等的两个三角形相似副标题：人教版九年级数学下册配图：两个三角形（△ABC 与△A'B'C'），标注∠A=∠A'=70°、∠B=∠B'=50°，用彩色线条标注相等的角，下方标注 “三角形内角和 180°→∠C=∠C'=60°”落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识与技能：理解 “两角分别相等的两个三角形相似” 的判定定理，明确 “两角对应相等” 即可判定相似的核心逻辑掌握定理的推导过程（结合三角形内角和与相似定义），能通过测量、推理验证定理会运用该定理快速判定三角形相似，并解决角度计算、线段比例求解等问题过程与方法：类比全等三角形 “角角角（AAA）”“角边角（ASA）” 判定，经历 “猜想 — 验证 — 归纳” 的探究过程，提升逻辑推理与类比迁移能力通过多场景例题练习，培养从复杂图形中识别 “两角相等” 条件的能力情感态度：感受该定理的简洁性与实用性，增强几何解题的效率与信心在小组合作验证与讨论中，培养团队协作意识与严谨的数学思维第 3 页：复习回顾与猜想提出复习旧知：已学相似三角形判定：①定义；②平行线推论；③三边成比例（SSS）；④两边成比例且夹角相等（SAS）全等三角形判定对比：“ASA”“AAS”—— 两角及一边对应相等即可判定全等；三角形内角和为 180°，“两角相等” 则第三角必相等问题驱动：思考 1：全等三角形中 “两角相等” 可结合边判定全等，相似三角形若仅满足 “两角分别相等”，是否能判定相似？情境举例：如图，△ABC 中，∠A=60°，∠B=70°；△A'B'C' 中，∠A'=60°，∠B'=70°。计算第三角（∠C=50°，∠C'=50°），观察两三角形形状是否相同？提出猜想：两角分别相等的两个三角形相似。第 4 页：探究活动 —— 验证定理猜想动手操作（分组实验）：任务 1：作图与测量验证画△ABC：使∠A=50°，∠B=60°（则∠C=70°）画△A'B'C'：使∠A'=50°，∠B'=60°（则∠C'=70°）测量：分别测量两三角形的三边长度，计算对应边比例（如\(\frac{AB}{A'B'}\)、\(\frac{BC}{B'C'}\)、\(\frac{AC}{A'C'}\)）分析：观察三组比例是否相等，验证两三角形是否相似任务 2：几何画板动态验证教师用几何画板演示：固定△ABC 的两个角，拖动△A'B'C' 的顶点，保持∠A'=∠A、∠B'=∠B，观察两三角形形状变化及对应边比例关系初步结论：当两个三角形满足 “两角分别相等” 时，第三角必相等（三角形内角和 180°），且对应边成比例，符合相似三角形定义，故两三角形相似。第 5 页：定理推导与规范表述逻辑推理证明：已知：在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A=∠A'，∠B=∠B'求证：△ABC∽△A'B'C'证明过程：由三角形内角和定理，∠C=180°-∠A-∠B，∠C'=180°-∠A'-∠B'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴∠C=∠C'（第三角相等）在△ABC 中取一点 D，作 DE∥BC 交 AB 于 D、交 AC 于 E，由平行线推论得△ADE∽△ABC，且∠ADE=∠B=∠B'，∠AED=∠C=∠C'∴△ADE≌△A'B'C'（ASA，∠A=∠A'，AD=A'B'，∠ADE=∠B'）∴△ABC∽△A'B'C'定理规范表述：两角分别相等的两个三角形相似（可简记为 “角角（AA）” 相似判定）几何语言：在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A=∠A' 且∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'第 6 页：定理辨析与优势分析核心逻辑强调：本质：“两角分别相等”→第三角必相等→三角对应相等，结合相似定义（或平行线推论）可证相似关键：无需计算边长比例，仅通过角度关系即可快速判定，是最简洁的相似判定方法与其他判定的对比优势：判定方法条件要求适用场景优势SSS 相似三边对应成比例已知三边长度严谨，但需计算比例SAS 相似两边成比例 + 夹角相等已知两边及夹角需确定对应边与夹角AA 相似两角分别相等已知两角（如直角、等腰三角形底角）无需边长，快速判定小练习：判断下列情况能否判定△ABC∽△A'B'C'：①∠A=∠A'=90°，∠B=∠B'=30°（答案：能，两角分别相等）②∠A=∠B，∠A'=∠B'（答案：不能，未明确对应角相等）第 7 页：定理应用（基础例题）例 1：直角三角形相似判定已知：如图，△ABC 和△DEF 均为直角三角形，∠C=∠F=90°，∠A=∠D=45°。判断两三角形是否相似，并说明理由。解析：步骤 1：找相等角 ——∠C=∠F=90°（直角相等），∠A=∠D=45°（已知）步骤 2：应用定理 —— 两角分别相等，故△ABC∽△DEF例 2：利用相似求角度已知：△ABC∽△A'B'C'，∠A=55°，∠B=75°，求△A'B'C' 各内角的度数。解析：由 AA 相似判定，对应角相等∠A'=∠A=55°，∠B'=∠B=75°，∠C'=180°-55°-75°=50°第 8 页：定理应用（综合例题）例 3：复杂图形中相似判定与比例计算如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 交于点 F。求证：△AEF∽△ADC，并若 AE=2，AC=5，求\(\frac{AF}{AD}\)的值。证明与解析：① 证明相似：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠ADC=90°（直角相等）；又∠EAF=∠DAC（公共角），由 AA 相似得△AEF∽△ADC② 求比例：由相似性质，\(\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}\)例 4：实际应用 —— 测量河宽如图，小明想测量河宽 AB，在河对岸取点 C，在岸边取点 D、E，使∠ADC=∠BDE，∠ACD=∠BED=90°，测得 DE=10m，DC=30m，BE=15m。求河宽 AB。解析：① 判定相似：∠ADC=∠BDE（已知），∠ACD=∠BED=90°（直角），故△ACD∽△BED（AA）② 列比例式：\(\frac{AC}{BE}=\frac{DC}{DE}\)，设 AB=x，则 AC=AB+BC=x+BC（修正：调整图形，使 A、B、E 共线，D 在岸边，得\(\frac{AB}{BE}=\frac{DC}{DE}\)）③ 代入计算：\(\frac{AB}{15}=\frac{30}{10}\)，解得 AB=45m第 9 页：巩固练习选择题：（1）下列条件中，能判定△ABC∽△A'B'C' 的是（ ）A. ∠A=∠A'，∠C=∠B' B. ∠A=∠B，∠A'=∠B' C. ∠A=∠A'，∠B=∠C' D. ∠A=∠A'，∠B=∠B'（2）两个等腰三角形相似的条件是（ ）A. 顶角相等 B. 底角相等 C. 顶角或底角相等 D. 腰长相等填空题：（1）若△ABC 中∠A=60°，∠B=80°，△DEF 中∠D=60°，当∠E=____时，△ABC∽△DEF；（2）已知△ABC∽△A'B'C'，∠A=40°，∠B'=60°，则△A'B'C' 中∠C'=____。解答题：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D。求证：△ABC∽△BDC，并求∠BDC 的度数。第 10 页：课堂小结知识梳理：判定定理：两角分别相等的两个三角形相似（AA 相似）推导依据：三角形内角和定理（两角相等→第三角相等）+ 相似三角形定义核心优势：无需边长计算，仅通过角度关系即可快速判定，适用场景广泛思想方法：转化思想：将 “两角相等” 转化为 “三角对应相等”，进而结合已有知识证明相似建模思想：从复杂图形中提炼 “两角相等” 的基本模型（如公共角、对顶角、直角）易错点回顾：忽略 “对应角” 相等，误将非对应角相等当作判定条件在等腰三角形等特殊图形中，未明确顶角与底角的对应关系第 11 页：布置作业基础作业：教材对应习题，完成 4 道三角形相似判定题（重点用 AA 判定）和 2 道角度 / 比例计算题提升作业：（1）如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠BDC，求证：△ABD∽△DCB；（2）已知△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，求证：①△ACD∽△ABC；②△BCD∽△BAC，并写出对应边的比例关系。实践作业：观察生活中的相似三角形（如斜拉桥的支架、屋顶的三角形桁架），用手机拍照记录，分析其中 “两角相等” 的条件，验证相似关系2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，30° 的形状相同、大小不同的三角纸板若干．小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？情境引入问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？两角分别相等的两个三角形相似合作探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列问题：证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′．∵∠B =∠B′，∴∠A′DE =∠B．又∵ A′D = AB，∠A =∠A′，∴△A′DE ≌△ABC（ASA）．∴△ABC∽△A′B′C′．CAA'BB'C'DE问题二 试证明 △ABC∽△A′B′C′.由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A =∠A'，∠B =∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：归纳：在△ABC 和△A'B'C' 中，证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°，∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°．在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°，∴∠B =∠E，∠C =∠F．∴△ABC∽△DEF．例 1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF．典例精析 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A = 50°，∠B = 75°，∠A' = 50°，则当∠C' = ° 时，△ABC∽△A'B'C'.练一练55例 2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB = PC · PD．证明：连接 AC，DB．∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，∴ ∠A = _______．同理 ∠C = _______，∴ △PAC ∽ △PDB.∴__________， 即 PA · PB = PC · PD.∠D∠B如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA = 3，PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6练一练【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边可知，它们属于△BCP 和△ADP，因此连接 AD、BC，根据圆周角的性质得到相似三角形，进而根据对应边成比例求解．解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°.判定两个直角三角形相似例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．又∠C = 90°，∠A =∠A，∴△AED ∽△ABC.由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．归纳： 对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？思考：证明：设 = k，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′.由 ，得 ， ∴ .∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.勾股定理__________________________由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.归纳：【分析】观察得到 AB 和 AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论．2解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时， AC : AD = AB : AC，即 : 2 =AB : ，解得 AB = 3；(2) 当 Rt△ABC ∽ Rt△CAD 时， AC : CD ＝ AB : AC，即 : = AB : ，解得 AB = ．∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．2 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ；(2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ；(3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： .练一练是是是7．如图，一束光线从y轴上的点A(0，1)发出，经过x轴上的点C反射后，经过点B(6，2)，则光线从点A到点B经过的路线长为(　　)【点拨】如图，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠BDC＝90°.∵A(0，1)，B(6，2)，∴OA＝1，OD＝6，BD＝2.由入射角等于反射角，易得∠ACO＝∠BCD.∵∠AOC＝∠BDC＝90°，【答案】C 返回8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为半圆AB的中点，连接CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为(　　)【点拨】【答案】B 返回9．【点拨】 返回10．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点O，E分别是AC，AB的中点，连接OE.在直线AD上是否存在一点F，使得△OCF与△EOA相似，如果存在，请你画出点F，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．【解】存在，如图，当OF⊥AC时，△CFO∽△OAE.证明：由题易知OA＝OC，AE＝BE，∴OE是△ABC的中位线．∴OE∥BC. ∵OA＝OC，OF⊥AC，∴FA＝FC.∴∠AFO＝∠CFO.∵∠BAD＝∠AOF＝90°，∴∠EAO＋∠FAO＝90°，∠FAO＋∠AFO＝90°.∴∠EAO＝∠AFO＝∠CFO.∵OE∥BC，∠B＝90°，∴∠AEO＝∠B＝90°.又∵∠FOC＝90°，∴∠AEO＝∠FOC.∴△CFO∽△OAE. 返回11．[2024内江节选]如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E.(1)求证：△ACE∽△ABC；︵︵︵︵(2)求证：CE是⊙O的切线．【证明】如图，连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.由(1)知∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA.∴OC∥AE. ∵CE⊥AE，∴OC⊥CE.又∵OC为⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． 返回两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似直角三角形相似的判定必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！