第二十六章 反比例函数【章末复习】 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：复习导航 —— 目标与框架一、复习核心目标知识层面：精准掌握反比例函数的定义、表达式及图像特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题。能力层面：能根据已知条件确定反比例函数解析式，结合图像分析函数的增减性、对称性，解决与反比例函数相关的几何综合题和实际应用题。素养层面：体会 “数形结合”“分类讨论” 等数学思想，理解反比例函数在实际生活中的应用价值，提升分析问题与建模能力。二、知识框架总览 第 2 页：核心知识梳理 —— 反比例函数的概念一、反比例函数的定义与表达式定义：一般地，形如 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k\) 为常数，\(k \neq 0\)） 的函数，叫做反比例函数。本质特征：两个变量 \(x\)、\(y\) 的乘积为定值（\(xy = k\)），且 \(x\) 不能为 0，\(y\) 也不能为 0。三种等价表达式：标准式：\(y = \frac{k}{x}\)（最常用，直观体现 “反比例” 关系）；乘积式：\(xy = k\)（用于计算 \(k\) 值或判断是否为反比例函数）；负指数式：\(y = kx^{-1}\)（体现与正比例函数 \(y = kx\) 的形式差异，\(x^{-1} = \frac{1}{x}\)）。自变量与函数值的取值范围：自变量 \(x\)：\(x \neq 0\)（分母不能为 0）；函数值 \(y\)：\(y \neq 0\)（由 \(xy = k \neq 0\) 推导）。二、概念辨析与易错点判断是否为反比例函数：需满足 “变量乘积为定值且不含其他项”，如 \(y = \frac{2}{x+1}\) 不是反比例函数（分母是 \(x+1\)，非单独 \(x\)），\(y = \frac{3}{x} + 2\) 也不是（含常数项 2）。\(k\) 的取值意义：\(k\) 是反比例函数的 “核心参数”，\(k \neq 0\) 是前提，\(k\) 的符号决定图像位置，\(k\) 的绝对值决定图像 “偏离原点的程度”（\(|k|\) 越大，双曲线离原点越远）。第 3 页：核心知识梳理 —— 图像与性质一、反比例函数的图像特征图像形状：双曲线，由两支分别位于两个象限的曲线组成，且永不与坐标轴相交（因 \(x \neq 0\)、\(y \neq 0\)）。图像位置与 \(k\) 的关系：\(k\) 的符号图像所在象限示例（\(k=2\) 与 \(k=-2\)）\(k > 0\)第一、三象限\(y = \frac{2}{x}\)：第一象限分支从左上到右下，第三象限分支从左下到右上\(k < 0\)第二、四象限\(y = \frac{-2}{x}\)：第二象限分支从右上到左下，第四象限分支从右下到左上二、反比例函数的核心性质增减性（重点）：当 \(k > 0\) 时：在每个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而 减小（注意：“每个象限内” 是前提，不能说 “\(y\) 随 \(x\) 整体减小”，因跨象限无增减性）；当 \(k < 0\) 时：在每个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而 增大。示例：对于 \(y = \frac{3}{x}\)，若 \(x_1 = -2\)、\(x_2 = 1\)，虽 \(x_1 < x_2\)，但 \(y_1 = -1.5\)、\(y_2 = 3\)，\(y_1 < y_2\)，因两点在不同象限，不适用 “\(y\) 随 \(x\) 增大而减小”。对称性：关于 原点中心对称：若 \((a, b)\) 在双曲线上，则 \((-a, -b)\) 也在双曲线上；关于 直线 \(y = x\) 和 \(y = -x\) 轴对称：若 \((a, b)\) 在双曲线上，则 \((b, a)\)、\((-b, -a)\) 也在双曲线上。三、\(k\) 的几何意义（高频考点）基本结论：过反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图像上任意一点 \(P(x, y)\)，作 \(PA \perp x\) 轴于 \(A\)，\(PB \perp y\) 轴于 \(B\)，则矩形 \(OAPB\) 的面积 \(S = |x| \cdot |y| = |xy| = |k|\)，三角形 \(OAP\) 或 \(OBP\) 的面积 \(S = \frac{1}{2}|k|\)。拓展结论：过双曲线上两点作坐标轴的垂线，形成的梯形或三角形面积，可通过 “面积和差” 结合 \(|k|\) 计算。第 4 页：核心工具 —— 反比例函数解析式的确定一、待定系数法（核心方法）适用场景：已知双曲线上一个点的坐标，求解析式。步骤：设：设反比例函数解析式为 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)）；代：将已知点 \((x_0, y_0)\) 代入解析式，得 \(y_0 = \frac{k}{x_0}\)；求：解得 \(k = x_0 y_0\)；写：将 \(k\) 值代入，写出最终解析式。示例：已知反比例函数图像过点 \((2, 3)\)，求解析式 —— 代入得 \(3 = \frac{k}{2}→k = 6\)，故解析式为 \(y = \frac{6}{x}\)。二、多条件确定解析式场景 1：已知图像所在象限与一个条件示例：反比例函数 \(y = \frac{k-1}{x}\) 的图像在第二、四象限，且过点 \((m, 2)\)，求 \(k\) 的取值范围与解析式（部分）—— 由象限知 \(k-1 < 0→k < 1\)，若补充 \(m = -1\)，则 \(2 = \frac{k-1}{-1}→k = -1\)，解析式为 \(y = \frac{-2}{x}\)。场景 2：与一次函数交点求 \(k\)示例：已知反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 1\) 交于点 \((1, n)\)，求 \(k\)—— 先求 \(n = 1 + 1 = 2\)，再代入反比例函数得 \(2 = \frac{k}{1}→k = 2\)。第 5 页：综合应用 —— 三大高频题型一、与一次函数的综合题常见考法：求交点坐标、判断函数值大小关系、计算围成图形的面积。解题步骤：联立解析式：将 \(y = \frac{k}{x}\) 与一次函数 \(y = ax + b\) 联立，消去 \(y\) 得方程 \(ax + b = \frac{k}{x}\)，整理为一元二次方程求解交点横坐标；分析函数值：根据图像，在不同区间内比较两个函数的函数值大小（“上大下小”）；计算面积：利用交点坐标与坐标轴垂线，结合三角形或梯形面积公式计算。示例：已知反比例函数 \(y = \frac{4}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 3\) 交于 \(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，求 \(AB\) 两点坐标及 \(\triangle AOB\) 的面积 —— 联立得 \(x + 3 = \frac{4}{x}→x² + 3x - 4 = 0→x = 1\) 或 \(x = -4\)，故 \(A(1, 4)\)、\(B(-4, -1)\)；面积可通过 “一次函数与坐标轴交点” 计算，一次函数交 \(x\) 轴于 \((-3, 0)\)，则 \(S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×3×1 = 7.5\)。二、几何图形面积问题（\(k\) 的几何意义应用）基本模型：利用 “双曲线上点到坐标轴的垂线形成的矩形 / 三角形面积为 \(|k|\) 或 \(\frac{1}{2}|k|\)” 求解。示例：如图，反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图像上一点 \(P\) 作 \(PE \perp x\) 轴于 \(E\)，若 \(S_{\triangle POE} = 2\)，求 \(k\) 的值 —— 由面积公式得 \(\frac{1}{2}|k| = 2→|k| = 4\)，若图像在第一象限，则 \(k = 4\)；若在第二象限，则 \(k = -4\)。三、实际应用题常见场景：工程问题（工作总量固定，效率与时间成反比）、行程问题（路程固定，速度与时间成反比）、压强问题（压力固定，压强与受力面积成反比）。解题步骤：建模：确定两个反比例关系的变量，设解析式 \(y = \frac{k}{x}\)；求 \(k\)：根据题干中的一组对应值求 \(k\)；应用：代入已知变量值，求另一个变量；或根据变量范围，求函数值范围。示例：某工厂加工一批零件，工作效率 \(v\)（个 / 天）与工作时间 \(t\)（天）成反比例，若效率为 50 个 / 天，需 20 天完成，求：① 解析式；② 若效率提高到 100 个 / 天，需多少天？——① 设 \(v = \frac{k}{t}\)，代入 \(50 = \frac{k}{20}→k = 1000\)，解析式 \(v = \frac{1000}{t}\)；② 当 \(v = 100\) 时，\(100 = \frac{1000}{t}→t = 10\) 天。第 6 页：题型突破 —— 易错点与解题技巧一、高频易错点剖析增减性忽略 “象限限制”：误说 “\(k > 0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小”，忽略 “在每个象限内”；避错：分析增减性时，先明确点所在象限，跨象限不适用增减性。\(k\) 的几何意义漏绝对值：计算面积时直接用 \(k\) 代替 \(|k|\)，忽略 \(k\) 为负的情况；避错：牢记面积是正数，无论 \(k\) 正负，面积均为 \(|k|\) 或 \(\frac{1}{2}|k|\)。解析式确定漏检验：已知点坐标求 \(k\) 时，代入后未验证是否符合函数定义（如 \(k = 0\)）；避错：求得 \(k\) 后，务必确认 \(k \neq 0\)，且点坐标满足 \(xy = k\)。实际应用忽略变量范围：如时间、速度等变量不能为负数，求解后未舍去不合理的解；避错：结合实际场景，对解进行取舍，确保变量符合实际意义。二、解题技巧总结图像分析法：遇到函数值比较、交点问题时，优先画出函数图像，利用 “数形结合” 直观判断；特殊点法：求 \(k\) 值或解析式时，优先选择坐标轴上的点、对称点等特殊点，简化计算；方程思想：与一次函数综合时，通过联立方程求交点，将函数问题转化为方程问题；分类讨论法：当 \(k\) 的符号不确定（如仅知面积求 \(k\)）时，需分 \(k > 0\) 和 \(k < 0\) 两种情况讨论。第 7 页：实战演练 —— 分层例题与解析一、基础巩固题（概念与性质）题目 1：下列函数中，属于反比例函数的是（ ）A. \(y = 3x\) B. \(y = \frac{3}{x+2}\) C. \(y = \frac{3}{x}\) D. \(y = 3x²\)解析：根据反比例函数定义，只有 \(y = \frac{3}{x}\) 符合 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k=3≠0\)），选 C。题目 2：已知反比例函数 \(y = \frac{m-2}{x}\) 的图像在第一、三象限，求 \(m\) 的取值范围，并判断当 \(x > 0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的变化情况。解析：① 由象限知 \(m-2 > 0→m > 2\)；② 当 \(x > 0\) 时，在第一象限，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。二、中档提升题（\(k\) 的几何意义与综合）题目 1：如图，点 \(A\) 在反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k < 0\)）的图像上，过 \(A\) 作 \(AB \perp y\) 轴于 \(B\)，若 \(S_{\triangle AOB} = 3\)，求 \(k\) 的值。解析：由 \(k\) 的几何意义，\(S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|k| = 3→|k| = 6\)，又 \(k < 0\)，故 \(k = -6\)。题目 2：已知反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 与一次函数 \(y = -x + 7\) 交于 \(A\)、\(B\) 两点，求：① 交点坐标；② 当 \(x\) 为何值时，反比例函数值大于一次函数值？解析：① 联立得 \(\frac{6}{x} = -x + 7→x² - 7x + 6 = 0→x = 1\) 或 \(x = 6\)，故 \(A(1, 6)\)、\(B(6, 1)\)；② 结合图像，当 \(0 < x < 1\) 或 \(x > 6\) 时，反比例函数值大于一次函数值。三、压轴应用题（实际场景与建模）题目：某运输公司运输一批货物，运输速度 \(v\)（km/h）与运输时间 \(t\)（h）成反比例，若运输速度为 40 km/h，需 10 小时到达目的地，求：① 运输时间 \(t\) 与速度 \(v\) 的函数解析式；② 若要在 8 小时内到达，运输速度至少为多少？解析：① 设 \(t = \frac{k}{v}\)，代入 \(10 = \frac{k}{40}→k = 400\)，解析式 $t =2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 反比例函数的概念定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数．三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0.2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线 和 ；对称中心是 .双曲线原点y = xy=－x(2) 反比例函数的增减性 一、三二、四减小增大(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为 .推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的三角形的面积为 ．|k|3. 反比例函数的应用◑利用待定系数法确定反比例函数的解析式：① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；② 代入 x、y 的一组对应值，或者该函数图象 上一个点的坐标，求出 k 的值；③ 写出解析式.◑反比例函数与一次函数的图象的交点：◑利用反比例函数相关知识解决实际问题：过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.例 1 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1② y = 2x2⑤ y = 3x1. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A. 3　　　B. －3　　　C. D. B2. 若 是反比例函数，则 a 的值为( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数A系数不为 0，x 的次数为-1例2 已知点 A (1，y1)，B (2，y2)，C (－3，y3) 都在反 比例函数的 图象上，则 y1，y2，y3 的大小 关系是 ( ) A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1解析：可分别把各点代入函数解析式求出 y1，y2，y3 的值，再比较大小；也可根据反比例函数的增减性比较．D　 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的增减性比较；在不同象限内，不能按增减性比较，可以根据正负性比较．y1＞0＞y2例 3 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上， PA⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B， 则△POB 的面积为 .1S△POB=S△POA- S△BOA-20410例 4 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y = kx+b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时， 一次函数的值大于反比例函数的值?解：当－4＜ x ＜－1时符合题意.(2) 求一次函数解析式及 m 的值；－k + b = 2， (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标.P方法总结：此类一次函数、反比例函数、二元一次方程组、三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中求三角形或四边形面积时，需要选取合适的底边和高，将坐标转化为边长，从而算出图形的面积.解：由题意知点 P 在函数 y = 2x 的图象上， 令 y = 2，得 x = 1，即点 P (1，2). 把 P (1，2) 代入 中， 解得P2解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b， 得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.解得 x1 = 1，x2 = －3. ，y = kx+2k， ∴∴ A (1，3k)，B (－3，－k).(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的值 小于反比例函数的值？解：当 x ＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反比例函数的值. 例 5 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：(1) 求当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；解：当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比例． 设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.(2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；解得 k = 8.(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效， 则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2， 解得 x≥1，∴1≤x≤2； 当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克，所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3 (小时)．如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系. 已知该材料在加热前的温度为 4 ℃，加热一段时间使材料温度达到 28 ℃ 时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度 y 与时间 x 成反比例函数关系，已知第 12 分钟时，材料温度是14 ℃．(1) 写出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数 关系式（要求写出相应的 x 的取值范围）；解：(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?解：当 y =12 时，12 = 4x + 4，解得 x = 2． 由 ，解得 x =14. 所以对该材料进行特殊处理所用的时间为 14－2 = 12 (分钟)．A 返回1．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方104 m3，则土石方日运送量V(m3/天)与完成运送任务所需时间t(天)满足(　　) A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 返回－12．已知函数y＝(m－1)xm²－2是反比例函数，则m的值为________. D 返回3．A．x＜－1 B．－1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞14．(2)若点A(－4，y1)，B(－1，y2)是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小. 返回5． 返回－86． 返回7． 返回－1≤x＜0或x≥28． 返回09．[2024沧州期末]如图，△OAB是面积为4的等腰三角形，底边OA在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的解析式为(　　)【点拨】【答案】D 返回10．【点拨】 返回11．[2024青岛期末]如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：(1)根据表中数据，求出压强P(Pa)关于受力面积S(m2)的函数解析式．(2)如图②，将另一长、宽、高分别为60 cm，20 cm，10 cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大压强为2 000 Pa，问这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 返回12．(1)求BC段所在的反比例函数的解析式．(2)求出口C点到BE的距离CF的长． (3)若滑梯BC上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3 m，则Q到BE的距离至少是多少米？ 返回13． 返回C14．【解】如图，过点P作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，则∠PEO＝∠OFP＝∠EOA＝90°，∴∠EPF＝90°.∴∠EPB＋∠BPF＝90°.又∵∠APB＝90°，∴∠BPF＋∠FPA＝90°.∴∠EPB＝∠FPA. 返回反比例函数定义图象和性质x，y 的取值范围增减性对称性k 的几何意义应用在实际生活中的应用在物理学科中的应用必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！