26.2.1 反比例函数在实际中的应用 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面标题：26.2.1 反比例函数在实际中的应用副标题：人教版九年级数学下册配图：融合多个实际场景（如抽水灌溉、快递运输、电路电阻与电流）的插画，背景叠加淡淡的反比例函数双曲线落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识与技能：能从实际问题中识别反比例关系，建立反比例函数模型会运用反比例函数的解析式、图象和性质解决工程、行程、经济等领域的实际问题能根据实际问题的取值范围，合理确定函数的自变量与函数值过程与方法：经历 “实际问题→抽象数学关系→建立函数模型→求解验证” 的完整过程，提升数学建模能力通过多场景应用练习，培养分析问题、解决问题的逻辑思维情感态度：体会数学在解决实际问题中的工具性价值，增强应用意识在小组讨论与合作探究中，培养团队协作精神和创新思维第 3 页：情境引入 —— 生活中的反比例关系问题展示：情境 1：农场灌溉一块农田，每亩用水量固定，灌溉总面积与总用水量的关系？（不成反比例，为正比例）情境 2：快递员送一批货物，总路程固定，行驶速度与所需时间的关系？（成反比例）情境 3：工厂生产一批零件，总工作量固定，工作人数与完成时间的关系？（成反比例）思考提问：如何判断两个变量是否成反比例关系？（两个变量的乘积为定值，且均不为 0）引入课题：今天我们将学习如何用反比例函数解决这类具有反比例关系的实际问题第 4 页：核心方法 —— 实际问题的反比例函数建模步骤建模四步法：第一步：审题意，定变量：明确题目中的两个变量（设为 x 和 y），判断是否成反比例关系第二步：设解析式，求 k 值：设反比例函数解析式为\(y=\frac{k}{x}\)（k≠0），利用题目中给出的一组对应值，代入求出 k 的值（k=xy）第三步：定范围，解问题：根据实际问题的意义，确定自变量 x 的取值范围（如时间 x>0、人数 x 为正整数），再代入具体数值求解函数值 y，或根据函数值求自变量第四步：验结果，作回答：验证求解结果是否符合实际情况，最后规范书写答案温馨提示：k 值的实际意义需结合场景说明（如 k 表示总路程、总工作量等）第 5 页：应用场景一 —— 工程问题典型例题：例 1：某工程队承接一项道路维修工程，计划 12 天完成，每天需维修 200 米。由于天气原因，实际每天维修量减少，完成工程的时间随之增加。（1）求维修道路的总长度；（2）设实际每天维修 x 米，完成工程所需时间为 y 天，求 y 与 x 的函数解析式；（3）若实际每天最多维修 150 米，求完成工程至少需要多少天？详细解析：（1）总长度 = 12×200=2400（米）；（2）由反比例关系得\(y=\frac{2400}{x}\)（x>0）；（3）当 x=150 时，\(y=\frac{2400}{150}=16\)（天），故至少需要 16 天。方法总结：工程问题中，总工作量为定值时，工作效率与工作时间成反比例，建模核心是先求总工作量（即 k 值）。第 6 页：应用场景二 —— 行程问题典型例题：例 2：小明一家自驾前往距家 360 千米的景区游玩，行驶速度 v（千米 / 时）与行驶时间 t（时）的关系如下：（1）写出 v 与 t 的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；（2）若高速公路限速 120 千米 / 时，求最短行驶时间；（3）若行驶时间不超过 4 小时，求行驶速度至少为多少？详细解析：（1）总路程 = 360 千米，故\(v=\frac{360}{t}\)（t>0）；（2）当 v=120 时，\(t=\frac{360}{120}=3\)（时），最短行驶时间为 3 小时；（3）当 t=4 时，\(v=\frac{360}{4}=90\)（千米 / 时），故速度至少为 90 千米 / 时。易错提醒：行程问题中需注意速度的实际限制（如限速），自变量取值范围要结合实际情况确定。第 7 页：应用场景三 —— 经济问题典型例题：例 3：某文具店销售一种笔记本，若按每本 10 元的价格销售，每月可售出 300 本。经调查发现，笔记本单价每上涨 1 元，月销售量就减少 30 本。当单价定为多少元时，月销售额达到 3600 元？（销售额 = 单价 × 销售量）（注：本题先判断是否为反比例关系，再建模求解）详细解析：设单价上涨 x 元，此时单价为 (10+x) 元，月销售量为 (300-30x) 本；销售额 =(10+x)(300-30x)=3600；化简得：\(-30x² + 0x + 3000 = 3600\)，即\(x² = 20\)（此处修正：实际计算应为 - 30x² + 0x + 3000 = 3600 → -30x² = 600 → x² = -20，显然错误，重新调整题目数据：若单价每上涨 1 元，月销售量减少 20 本）修正后：销售额 =(10+x)(300-20x)=3600；展开：3000 - 200x + 300x - 20x² = 3600 → -20x² + 100x - 600 = 0 → x² - 5x + 30 = 0（仍错误，再次调整：原月销售量 300 本，单价 10 元，销售额 3000 元；若单价每下降 1 元，月销售量增加 50 本，求销售额达到 3200 元时的单价）最终修正例题：设单价下降 x 元，单价为 (10-x) 元，销售量为 (300+50x) 本，销售额 =(10-x)(300+50x)=3200；展开：3000 + 500x - 300x - 50x² = 3200 → -50x² + 200x - 200 = 0 → x² - 4x + 4 = 0 → x=2，故单价为 10-2=8 元。方法总结：经济问题中，需明确单价、数量与总价的关系，先判断变量间是否为反比例关系，再选择合适的函数模型求解。第 8 页：应用场景四 —— 物理问题典型例题：例 4：在电路中，当电压 U（伏特）一定时，电流 I（安培）与电阻 R（欧姆）成反比例关系。已知当 R=10 欧姆时，I=2.4 安培。（1）求 U 的值及 I 与 R 的函数解析式；（2）若电阻 R 不得超过 15 欧姆，求电流 I 的最小值；（3）若电流 I 的范围是 0.8≤I≤3，求电阻 R 的取值范围。详细解析：（1）由物理公式 U=IR，得 U=10×2.4=24（伏特），故\(I=\frac{24}{R}\)（R>0）；（2）当 R=15 时，\(I=\frac{24}{15}=1.6\)（安培），故电流最小值为 1.6 安培；（3）当 I=0.8 时，\(R=\frac{24}{0.8}=30\)；当 I=3 时，\(R=\frac{24}{3}=8\)，故 R 的取值范围是 8≤R≤30。学科融合：物理中常见的反比例关系还有 “压力一定时，压强与受力面积的关系”“功一定时，力与距离的关系”，可结合物理知识加深理解。第 9 页：综合应用 —— 多变量问题典型例题：例 5：某工厂生产一批玩具，原计划由 20 名工人 15 天完成。实际生产时，先由 30 名工人生产了若干天，因订单紧急，又增加 10 名工人，最终提前 3 天完成任务。（1）求每名工人每天的工作量（设为 1 份）及总工作量；（2）设 30 名工人生产了 x 天，求 x 的值。详细解析：（1）总工作量 = 20×15×1=300（份）；（2）实际完成时间 = 15-3=12（天），30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (12-x) 天，总工作量 = 30x + 40 (12-x)=300；解得：30x + 480 - 40x = 300 → -10x = -180 → x=18（显然错误，修正：提前 3 天完成，实际时间为 15-3=12 天，30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (12-x) 天，总工作量 = 30x + 40 (12-x)=300 → 30x + 480 - 40x = 300 → -10x = -180 → x=18，超过实际总时间 12 天，故调整题目：原计划 20 名工人 20 天完成，实际 30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (16-x) 天，提前 4 天完成）修正后：总工作量 = 20×20=400，30x + 40 (16-x)=400 → 30x + 640 - 40x = 400 → -10x = -240 → x=24（仍错误，重新设计：原计划 10 名工人 12 天完成，实际 15 名工人生产 x 天，20 名工人生产 (10-x) 天，提前 2 天完成）最终修正：总工作量 = 10×12=120，15x + 20 (10-x)=120 → 15x + 200 - 20x = 120 → -5x = -80 → x=16（仍错误，改为：原计划 15 名工人 10 天完成，实际 20 名工人生产 x 天，10 名工人生产 (8-x) 天，提前 2 天完成）总工作量 = 15×10=150，20x + 10 (8-x)=150 → 20x + 80 - 10x = 150 → 10x=70 → x=7，符合实际。解题技巧：多变量问题中，需明确总工作量（或总任务）为定值，通过各阶段的工作量之和等于总工作量建立方程求解。第 10 页：易错点与解题技巧归纳常见易错点：忽略实际问题中自变量的取值范围（如人数为正整数、时间为正数）混淆正比例与反比例关系（如 “速度一定时，路程与时间成正比例”，“路程一定时，速度与时间成反比例”）计算 k 值时，代入数据错误或单位不统一（如行程问题中速度单位为 “千米 / 时”，时间单位需统一为 “时”）实用解题技巧：遇到复杂问题时，先列表整理已知条件，明确变量间的关系求解后，将结果代入实际问题中验证，确保符合题意利用反比例函数图象辅助分析，直观判断变量的变化趋势第 11 页：巩固练习工程问题：某装修队装修一套房屋，原计划 18 天完成，每天装修 30 平方米。实际每天多装修 10 平方米，实际多少天完成？行程问题：一辆货车从甲地到乙地，原计划以 60 千米 / 时的速度行驶，4 小时到达。实际行驶时间比计划多 1 小时，实际行驶速度是多少？经济问题：某水果店销售苹果，若按每千克 8 元销售，每天可卖出 100 千克。若每千克降价 0.5 元，每天可多卖出 20 千克。当销售额为 840 元时，每千克苹果的售价是多少？物理问题：在压力一定时，压强 p（帕斯卡）与受力面积 S（平方米）成反比例。已知当 S=0.2 平方米时，p=3000 帕斯卡。求当 S=0.3 平方米时，p 的值。第 12 页：课堂小结知识梳理：实际问题中的反比例关系：工程、行程、经济、物理等场景建模步骤：审题意→设解析式→求 k 值→解问题→验结果关键：明确定值（即 k 值），确定自变量取值范围思想方法：数学建模思想：将实际问题转化为数学函数模型数形结合思想：利用反比例函数图象分析变量变化规律方程思想：通过建立方程求解实际问题中的未知量核心收获：掌握用反比例函数解决实际问题的方法，提升数学应用能力第 13 页：布置作业基础作业：完成教材对应习题，解决 2 道工程问题和 2 道行程问题提升作业：某工厂要生产一批零件，若单独由 A 车间生产，需要 20 天完成；若单独由 B 车间生产，需要 30 天完成。现 A、B 两车间合作生产若干天后，A 车间因其他任务停工，剩余零件由 B 车间单独生产 5 天完成。求两车间合作生产的天数。实践作业：观察生活中的一个反比例关系场景（如手机充电时，充电电流与充电时间），记录 3 组对应数据，建立反比例函数模型，并预测当其中一个变量取某一值时，另一个变量的值2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 假设面条粗细(横截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？ 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？实际问题与反比例函数例 1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室.(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系?解：根据圆柱的体积公式，得 Sd =104，∴ S 关于d 的函数解析式为典例精析(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工 队施工时应该向下掘进多深?解得 d = 20.答：施工时应向地下掘进 20 m 深.(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司 临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地， 储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)? ≈ 666.67 (m²).答：当储存室的深度为 15 m 时，底面积应改为约 666.67 m². 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想：1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B练一练xyxyxyxyxy = 6，且 x，y 均大于 02. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1 升(1 升＝1 立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系? (2) 如果漏斗的深为1 dm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？ 解：把 d = 1 代入解析式，得 S = 3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2.(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少?解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S = 0.6 代入解析式，得 d = 5. 所以漏斗的深为 5 dm.例 2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间.(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度 = 货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式.解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?从结果可以看出，若全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？解：x =12×5 = 60，代入函数解析式得答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆 这样的拖拉机才能按时完成任务？解：运了 8 天后剩余的垃圾有 1200－8×60 = 720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6 = 120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是 120÷12 = 10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机 10－5 = 5 (辆).例 3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？解：80×6 = 480 (千米).答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？解：由题意得 vt = 480，1. 面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为( ) C xy = 2，xy = 4，且 x，y 均大于 02. 体积为 20 cm3 的滴胶做成圆柱体模型，圆柱的高度 y (单位：cm) 与底面积S (单位：cm2)的函数关系为 ，若要使做出来的圆柱体粗 1 cm2，则圆柱的高度是 cm. 203. A、B 两市相距 720 千米，一列火车从 A 市去 B 市. (1) 火车的速度 v (km/h) 和行驶的时间 t (h)之间 的函数关系是__________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于 ____________．240 km/hD 返回1．甲、乙两地相距100 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(单位：h)与行驶速度v(单位：km/h)之间的函数图象是(　　) A2．A．小颖 B．小亮 C．都一样 D．无法确定 【点拨】列表如下：【答案】A 返回4 返回3．如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝__________m/s. 4．[2024渭南期末]某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为t h，平均速度为v km/h(汽车行驶速度不超过110 km/h)．根据经验，v，t的部分对应值如表：(1)根据表中的数据，求出平均速度v(km/h)关于行驶时间t(h)的反比例函数解析式；(不用写自变量t的取值范围)(2)汽车上午6：00出发，能否在上午9：00之前到达邻市市场？请说明理由. 返回5．如图，某校园艺术社计划利用已有的一堵长为10 m的墙，用篱笆围一个面积为12 m2的矩形园子．设AB＝x m，BC＝y m，则下列说法正确的是(　　) 【点拨】【答案】C 返回6．【点拨】【答案】B 返回7． 返回0.41896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y(m)是其两腿迈出的步长之差x(cm)(x＞0)的反比例函数，其图象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35 m，则其两腿迈出的步长之差最多是________cm.实际问题中的反比例函数一般过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意点： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！