初中数学实际问题与反比例函数教案设计

这是一份初中数学实际问题与反比例函数教案设计，共5页。

课题
实际问题与反比例函数
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级下册
教学目标
知识与技能：
（1)能从实际问题中抽象出反比例函数模型，理解反比例函数在实际情境中的意义；
(2)会根据实际问题中的数量关系列出反比例函数解析式，并能运用反比例函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法：
(1)通过情境引入、典例分析等环节，经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，培养数学建模能力；
(2)在解决实际问题的过程中，学会运用反比例函数的图像和性质分析问题，提高分析问题和解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观：
(1)感受反比例函数与实际生活的密切联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；
(2)了解数学在其他学科（如物理）中的应用，培养跨学科思维，体会数学的科学价值。
核心素养
数学抽象：从实际问题中抽象出反比例函数的概念和关系，将实际问题转化为数学问题。
数学建模：建立反比例函数模型解决实际问题，体会数学模型在解决实际问题中的作用。
逻辑推理：运用反比例函数的性质进行推理，分析变量之间的变化关系，得出结论。
教学重点
根据实际问题建立反比例函数模型，运用反比例函数的知识解决实际问题
教学难点
从实际问题中准确抽象出反比例函数关系
教学方法
情境教学法、讲练结合法
教学准备
教师准备：课件
学生准备：笔记本
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
展示课件中 10 个面积相等的矩形的长与宽的表格，提问：“同学们，这些矩形的面积相等，大家能根据已知的长或宽补齐表格吗？”
引导学生思考矩形面积与长和宽的关系，当面积一定时，长和宽之间存在怎样的关系。
让学生画出这 10 个矩形，取∠A 的 10 个对角的顶点，用平滑曲线连接，引出反比例函数的图象。
结合“a=bc” 的例子，分析当其中一个量为非零常数时，另外两个量之间的正比例或反比例关系。
学生根据矩形面积公式（面积 = 长 × 宽），计算并补齐表格。
动手画图，观察所连接的曲线的形状，感知反比例函数的图象特征。
结合例子，思考正比例函数和反比例函数的区别与联系
通过具体的矩形问题，让学生从实际情境中感知当面积一定时，长和宽的反比例关系，同时培养学生的动手操作能力和观察能力。
让学生明确反比例函数的概念和性质，为运用反比例函数解决实际问题打下理论基础
讲授新课
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系?
公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深?
当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小
数点后两位)?
引导学生根据圆柱体的体积公式（体积 = 底面积 × 高），分析底面积 S 和深度 d 之间的关系，建立反比例函数模型。
针对每个问题，讲解解题思路和方法，强调代入法的运用。
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.
轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?
由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?
引导学生先求出货物的总量，再根据卸货速度、卸货天数和货物总量的关系（货物总量 = 卸货速度 × 卸货天数），建立反比例函数模型。
讲解如何根据反比例函数的性质解决 “至少要卸载多少吨” 的问题。
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力?
若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?
引导学生根据杠杆原理建立动力 F 和动力臂 l 的反比例函数关系。
讲解如何根据函数关系和题目要求解决问题，强调反比例函数在物理中的应用。
例4 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m2)的变化，人和木板对地面的压强 P(Pa)也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么
用含 S 的代数式表示 P，P是 S 的反比例函数吗？为什么？
当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
引导学生根据压强公式（压强 = 压力 ÷ 面积）建立压强P和木板面积 S 的反比例函数关系。
讲解如何运用函数关系解决实际问题，如求压强值和木板面积的最小值。
例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
这个用电器功率的范围是多少?
引导学生根据电学知识（功率 = 电压 ²÷ 电阻）建立功率 P 和电阻 R 的反比例函数关系。
讲解如何根据函数关系和电阻范围求出功率范围。
学生思考并回答底面积 S 和深度 d 的函数关系，列出函数解析式。
按照教师的讲解，运用代入法解决后面两个问题，同桌之间相互检查答案。
学生自主计算货物总量，分析卸货速度 v 和卸货天数 t 之间的函数关系。
运用所学知识解决问题，在小组内交流自己的解题思路。
学生根据杠杆原理列出函数关系式，解决问题。
思考并回答 “在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力” 的原因，结合反比例函数知识进行解释。
学生根据压强公式列出函数关系式，解决问题。
小组讨论，交流解题过程和思路。
学生根据电学知识列出函数关系式，计算功率的范围,总结解决此类问题的方法和步骤
通过圆柱形煤气储存室的实际问题，让学生学会根据实际问题中的数量关系建立反比例函数模型，并运用反比例函数解决问题，掌握代入法的应用。
进一步巩固学生建立反比例函数模型解决实际问题的能力，让学生学会运用反比例函数的性质分析最值问题。
让学生了解反比例函数在物理学科中的应用，体现数学的跨学科性，同时加深对反比例函数性质的理解。
让学生学会从实际问题中提取有用信息，建立反比例函数模型，提高解决实际问题的能力。
让学生了解反比例函数在电学中的应用，进一步拓宽学生的知识面，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
课堂小结
板书设计
实际问题与反比例函数
利用反比例函数解决实际问题
能把实际问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
把问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明。