初中数学人教版（2024）九年级下册相似三角形应用举例完美版课件ppt

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1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A，∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等.
如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似.
例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm．
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.
1. 在△ABC 和△DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm， BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC.
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，∴ AD = AE，AB = AC．
又 ∵∠DAB =∠CAE，∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，即∠DAE =∠BAC．∴△ABC∽△ADE．
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，
又∵∠EAD =∠CAB，∴ △ADE∽△ABC．
提示：解题时要找准对应边.
证明：∵ CD 是边 AB 上的高，∴∠ADC =∠CDB = 90°.
∴△ADC∽△CDB. ∴∠ACD =∠B.∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证：∠ACB = 90°．
方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为 90° 角等.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法错误的是(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABCC．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC
[2024天津和平区一模]已知在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8.将下列选项中的△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是(　　)
如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，垂足为O.若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝(　　)A．2：3 B．3：2C．4：9 D．无法确定
如图，过点F作FM⊥AB于点M，过点H作HN⊥BC于点N，则∠4＝∠5＝90°＝∠AMF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝90°＝∠AMF.∴四边形AMFD是矩形．∴FM＝AD＝3.同理可得四边形ABNH是矩形，∴HN＝AB＝2，HN∥AB.
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________(写出一种情况即可)．
[2024宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是________．
如图，连接BE，交AC于点O.∵五边形ABCDE是正五边形，且它的边长为4，∴∠CBA＝∠BAE＝(5－2)×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE＝4.∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝(180°－108°)÷2＝36°.∴∠CBO＝∠ABC－∠ABE＝108°－36°＝72°.∴∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCA＝180°－72°－36°＝72°.
如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝5，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，聪明的小亮想出了一个好办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！
(1)请你找出图中存在的一对相似三角形，并进行证明；
利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.