4.2 全等三角形 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：4.2 全等三角形副标题：北师大版七年级下册 第四章 三角形授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：情境引入展示生活中的全等图形：超市货架上包装相同的矿泉水瓶（瓶身形状、大小完全相同）。一副扑克牌中相同点数的两张牌（图案、尺寸完全一致）。剪纸艺术中对称的两个图案（对折后能完全重合）。建筑图纸中相同的三角形结构（边长、角度完全相同）。提出问题：这些图形的共同特点是 “形状相同、大小相等”，在数学中，我们把这样的图形称为 “全等图形”。那么，当全等图形是三角形时，它们有怎样的性质？如何表示和识别全等三角形呢？由此引出本节课主题 —— 全等三角形。幻灯片 3：全等图形与全等三角形的定义全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。强调 “完全重合” 的两层含义：①形状相同（对应角相等）；②大小相等（对应边相等）。全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。图形表示：如图，将△ABC 沿直线 BC 平移得到△DEF，使点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 重合，则△ABC 与△DEF 是全等三角形。对应元素：对应顶点：重合的顶点（如 A 与 D，B 与 E，C 与 F）。对应边：重合的边（如 AB 与 DE，BC 与 EF，AC 与 DF）。对应角：重合的角（如∠A 与∠D，∠B 与∠E，∠C 与∠F）。注意：对应元素的确定需遵循 “重合原则”，不能随意搭配（如不能说∠A 与∠E 是对应角）。幻灯片 4：全等三角形的表示方法与读法表示符号：用 “≌” 表示全等，读作 “全等于”。例如：△ABC 与△DEF 全等，记作 “△ABC ≌ △DEF”，读作 “△ABC 全等于△DEF”。表示规则：书写时，需将对应顶点的字母按顺序写在对应位置上（如 A→D，B→E，C→F），通过字母顺序直观体现对应关系，避免混淆。错误示例：不能写成 “△ABC ≌ △EDF”，因字母顺序未对应，会误判对应边和对应角（如 AB 对应 ED，而非 DE）。实例演示：若△ABC ≌ △MNQ，根据字母顺序可知：对应顶点：A↔M，B↔N，C↔Q；对应边：AB↔MN，BC↔NQ，AC↔MQ；对应角：∠A↔∠M，∠B↔∠N，∠C↔∠Q。幻灯片 5：全等三角形的性质推导过程：由于全等三角形能够完全重合，因此重合的边长度相等，重合的角度数相等。核心性质：全等三角形的对应边相等。符号表示：若△ABC ≌ △DEF，则 AB = DE，BC = EF，AC = DF。全等三角形的对应角相等。符号表示：若△ABC ≌ △DEF，则∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。延伸性质：全等三角形的周长相等（因对应边之和相等）。全等三角形的面积相等（因形状、大小相同，面积计算公式结果一致）。全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高相等（对应线段重合，故长度相等）。验证实验：学生操作：将课前准备的两个全等三角形纸片（如△ABC 和△DEF）重合，测量对应边的长度和对应角的度数，验证是否相等；再分别画出对应中线、高，测量长度，观察是否相等。幻灯片 6：例题讲解 1（全等三角形的性质应用）例 1：如图，△ABC ≌ △DCB，指出对应顶点、对应边、对应角，并求∠A 和 BC 的长度（已知∠D = 65°，AB = 4cm）。分析：根据全等符号 “△ABC ≌ △DCB” 的字母顺序确定对应关系。解：对应顶点：A↔D，B↔C，C↔B；对应边：AB↔DC，BC↔CB，AC↔DB；对应角：∠A↔∠D，∠ABC↔∠DCB，∠ACB↔∠DBC。由性质 “对应角相等”，得∠A = ∠D = 65°；由性质 “对应边相等”，得 BC = CB（公共边，长度相等），且 AB = DC = 4cm（题目未直接求 DC，重点求 BC：因 BC 与 CB 是同一条公共边，长度无需额外计算，若已知 CB = 5cm，则 BC = 5cm）。结论：∠A = 65°，BC 的长度等于 CB 的长度（若已知 CB = 5cm，则 BC = 5cm）。例 2：已知△ABE ≌ △ACD，AB = AC，∠B = ∠C，指出其他对应边和对应角，并证明 BE = CD。分析：结合已知条件（AB = AC，∠B = ∠C）和全等符号，确定对应关系。解：对应顶点：A↔A（公共顶点），B↔C，E↔D；对应边：AB↔AC（已知相等），BE↔CD，AE↔AD；对应角：∠B↔∠C（已知相等），∠BAE↔∠CAD，∠AEB↔∠ADC。证明 BE = CD：因△ABE ≌ △ACD（已知），根据 “全等三角形的对应边相等”，BE 与 CD 是对应边，故 BE = CD。结论：其他对应边为 BE↔CD、AE↔AD；对应角为∠BAE↔∠CAD、∠AEB↔∠ADC；BE = CD 得证。幻灯片 7：例题讲解 2（全等三角形性质与三角形内角和结合）例 3：如图，△ABC ≌ △DEF，∠A = 50°，∠B = 70°，DE = 8cm，求∠F 的度数和 AB 的长度。分析：先利用三角形内角和求∠C，再根据全等性质求∠F（对应角）和 AB（对应边）。解：在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°（内角和定理），已知∠A = 50°，∠B = 70°，故∠C = 180° - 50° - 70° = 60°。因△ABC ≌ △DEF，根据 “对应角相等”，∠F = ∠C = 60°；根据 “对应边相等”，AB = DE = 8cm（由字母顺序 A↔D，B↔E，故 AB 对应 DE）。结论：∠F = 60°，AB = 8cm。幻灯片 8：易错点分析易错点 1：对应元素判断错误：错误示例：将△ABC ≌ △DEF 误判为 “∠A 对应∠E，AB 对应 DF”，忽略字母顺序和重合原则。避坑方法：①根据全等符号字母顺序确定对应顶点（如第一个字母对应第一个字母，第二个对应第二个）；②通过图形变换（平移、旋转、翻折）观察重合情况，确定对应边和角。易错点 2：混淆 “对应边” 与 “对边”：错误示例：认为 “△ABC 中∠A 的对边 BC，在△DEF 中对应∠D 的对边 EF，故 BC = EF”，虽结果可能正确，但逻辑错误（“对边” 是三角形内的边，“对应边” 是全等三角形间的边，需先确定对应顶点）。避坑方法：先确定对应顶点，再根据 “对应顶点所夹的边是对应边，对应顶点所对的角是对应角” 判断，而非直接用 “对边” 对应。易错点 3：利用性质时忽略 “对应”：错误示例：已知△ABC ≌ △DEF，直接得出 AC = DE，忽略 AC 对应 DF，DE 对应 AB。避坑方法：使用性质前，先列出所有对应边和对应角，再根据需要选择，避免盲目套用。易错点 4：认为 “面积相等的三角形一定全等”：错误示例：两个面积均为 6cm² 的三角形（如一个底 4cm 高 3cm，一个底 6cm 高 2cm），面积相等但形状不同，并非全等。避坑方法：明确 “全等” 是 “形状相同且大小相等”，面积相等仅体现 “大小相等”，需同时满足形状相同（对应角相等）才是全等。幻灯片 9：课堂练习 1（基础识别与性质应用）如图，△OAD ≌ △OBC，写出对应顶点、对应边、对应角，并若∠O = 60°，∠C = 25°，求∠D 的度数。已知△ABC ≌ △A'B'C'，AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 9cm，∠A = 80°，求△A'B'C' 的周长和∠A' 的度数。幻灯片 10：课堂练习 1 答案对应顶点：O↔O，A↔B，D↔C；对应边：OA↔OB，AD↔BC，OD↔OC；对应角：∠O↔∠O，∠A↔∠B，∠D↔∠C；由对应角相等，∠D = ∠C = 25°（或在△OAD 中，∠D = 180° - ∠O - ∠A，而∠A = ∠B，在△OBC 中∠B = 180° - 60° - 25° = 95°，故∠D = 25°）。答案：∠D = 25°。由全等性质，△A'B'C' 的对应边 A'B' = AB = 5cm，B'C' = BC = 7cm，A'C' = AC = 9cm，周长 = 5 + 7 + 9 = 21cm；对应角∠A' = ∠A = 80°。答案：周长 21cm，∠A' = 80°。幻灯片 11：课堂练习 2（综合应用）如图，△ABC ≌ △DEC，点 B、C、E 在同一条直线上，∠A = 60°，∠B = 40°，求∠DCE 和∠CDE 的度数，并判断 AC 与 DC 的位置关系（提示：先求∠ACB）。已知△ABD ≌ △ACE，AB = AC，AD = AE，求证：BD = CE（用全等三角形性质证明）。幻灯片 12：课堂练习 2 答案在△ABC 中，∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 40° = 80°；因△ABC ≌ △DEC，故∠DCE = ∠ACB = 80°（对应角相等），∠CDE = ∠A = 60°（对应角相等）；又∠ACB + ∠ACD + ∠DCE = 180°（平角），且∠ACB = ∠DCE = 80°，得∠ACD = 20°，暂无法直接判断 AC 与 DC 位置关系（或题目隐含其他条件，此处重点求角度）。答案：∠DCE = 80°，∠CDE = 60°。证明：因△ABD ≌ △ACE（已知），根据 “全等三角形的对应边相等”，BD 与 CE 是对应边（对应顶点 B↔C，D↔E），故 BD = CE。结论：BD = CE 得证。幻灯片 13：课堂小结核心知识：全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形，需满足 “形状相同（对应角相等）、大小相等（对应边相等）”。表示方法：用 “≌”，对应顶点字母按顺序书写（如△ABC ≌ △DEF）。关键性质：对应边相等，对应角相等；对应中线、高、角平分线相等；周长、面积相等。解题技巧：确定对应元素：通过字母顺序、图形变换（平移、旋转、翻折）或已知相等边 / 角判断。应用性质：根据需求选择对应边或对应角相等的性质，结合三角形内角和、公共边等知识求解。与后续知识的联系：全等三角形的性质是后续学习 “全等三角形判定定理” 的基础，只有明确性质，才能理解判定的必要性（通过边、角关系判定全等，进而利用性质求未知边 / 角）。幻灯片 14：课后作业教材课后练习题 [具体题号]。基础题：（1）如图，△ABC ≌ △FED，∠A = 40°，∠B = 70°，求∠EDF 的度数；（2）已知△ABC ≌ △DEF，AB = 3cm，AC = 4cm，BC = 5cm，求△DEF 的最长边长度。提升题：（1）如图，△ABC ≌ △DBE，AB = DB，BC = BE，求证：∠A = ∠D（用全等性质证明）；（2）在△ABC 中，将△ABC 沿 BC 翻折得到△DBC，若∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，求∠ABD 的度数。思考题：如何通过最少的条件判断两个三角形全等？（提示：结合全等三角形性质，思考 “需要哪些边或角相等”，为下一节判定定理铺垫）。新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 在前面我们学习了三角形的有关知识，请同学们回顾一下三角形的元素有哪些?答：三个顶点、三个内角、三条边.活动 1：观察所给出的图形，它们有什么特点?每个大图形中，都含有若干个形状、大小相同的小三角形.能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 例如，在图中，△ABC 与 △DEF 能够完全重合，它们是全等三角形.活动 2：如图，观察这两个三角形有哪些共同点.对应点：点 A，点 D；对应边：AB 与 DE； 对应角：∠A 与∠D ；点 B，点 E；点 C，点 F；AC 与 DF； BC 与 EF； ∠B 与∠E ；∠C 与∠F .你能找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗?全等三角形的对应边相等，对应角相等.注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.因为△ABC≌△DEF，所以 AB = DE，AC = DF，BC = EF (全等三角形的对应边相等)，∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F (全等三角形对应角相等)全等三角形性质的几何语言例1 如图，若△BOD≌△COE，指出这两个三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.解：△BOD 与△COE 的对应边为：BO 与 CO，OD 与 OE，BD 与 CE；△ADO 与△AEO 的对应角为：∠DAO 与∠EAO，∠ADO 与∠AEO，∠AOD 与∠AOE.典例精析例2 如图，△ABC≌△EBD，问∠1 与∠2 相等吗?若相等请说明理由.解：∠l=∠2. 理由如下：因为△EBD≌△ABC，所以∠A = ∠E.在△AOF 与△EOB 中，∠AOF =∠EOB.根据三角形内角和为 180°，所以∠1 =∠2.典例精析活动 3：准备两个全等的三角形纸片，并画出两个三角形对应边上的高.(1) 全等三角形对应边的高相等吗? 对应边的中线呢? 还有哪些相等的线段? 举例说明.A　BCEDF全等三角形的对应线段都相等.(2) 如图， 已知 △ABC ≌ △A'B'C'，你如何在△A'B'C' 中画出与线段 DE 相对应的线段？做一做下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？三个呢？四个呢？1. 如图，△ABC≌△ADE，若∠D =∠B， ∠C =∠AED，则∠DAE = ， ∠DAB = .∠BAC ∠EAC练一练1. 下列说法中，正确的为( )D①全等三角形的面积相等；②周长相等的两个三角形全等；③全等三角形的形状相同、大小相等；④全等三角形的对应边相等、对应角相等.A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 返回（第2题） C  返回 B（第3题）  返回4. 榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式.如图，将两块全等的B   返回 126   返回     返回     返回（第8题） CA. 1 B. 2或3 C. 1或2 D. 3或4（第9题） 5【点拨】因为四个三角形全等，所以  返回  三角形的全等全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形全等三角形的性质全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！