4.1.3三角形的中线、角平分线、高 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：4.1.3 三角形的中线、角平分线、高副标题：北师大版七年级下册 第四章 三角形授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：复习回顾与情境引入复习回顾：三角形的定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。三角形的内角和定理：任意三角形内角和为 180°。三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。情境引入：展示三角形纸片，提出问题：如果我们要将这个三角形分成两个面积相等的小三角形，该如何操作？如果要平分三角形的一个内角，又该怎么做？引出概念：这些操作分别涉及三角形的 “中线” 和 “角平分线”，而从三角形顶点向对边作垂线段，则会得到 “高”。本节课将系统学习这三种重要线段。幻灯片 3：三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。图形表示：如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点（BD = DC），则线段 AD 是△ABC 的一条中线。画法步骤：用直尺找到三角形一边（如 BC）的中点 D（测量 BC 长度，取中点；或用圆规以 B、C 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)BC 为半径画弧，两弧交点连线与 BC 的交点即为中点）。用直尺连接顶点 A 与中点 D，线段 AD 即为△ABC 中 BC 边上的中线。性质：一个三角形有三条中线（分别对应三条边，交于一点）。三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（如重心 G，AG = 2GD）。三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（因等底同高，如 AD 将△ABC 分成△ABD 和△ACD，BD = DC，高均为从 A 到 BC 的距离，故面积相等）。示例：在△ABC 中，BC = 6cm，AD 是 BC 边上的中线，则 BD = DC = 3cm；若△ABD 的面积为 8cm²，则△ABC 的面积为 16cm²。幻灯片 4：三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。图形表示：如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 E，且∠BAE = ∠CAE，则线段 AE 是△ABC 的一条角平分线。画法步骤：用圆规以角的顶点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB、AC 于两点 M、N。分别以 M、N 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)MN 为半径画弧，两弧在∠BAC 内部交于一点 P。用直尺连接 AP 并延长，交 BC 于点 E，线段 AE 即为△ABC 中∠BAC 的角平分线。性质：一个三角形有三条角平分线（分别对应三个内角，交于一点）。三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等（内心是三角形内切圆的圆心）。角平分线将对应内角分成两个相等的角（如 AE 平分∠BAC，故∠BAE = ∠CAE = \(\frac{1}{2}\)∠BAC）。示例：在△ABC 中，∠BAC = 80°，AE 是角平分线，则∠BAE = ∠CAE = 40°；若∠B = 50°，则△ABE 中∠AEB = 180° - 50° - 40° = 90°。幻灯片 5：三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形的高。图形表示：如图，在△ABC 中，过点 A 作 BC 边所在直线的垂线，垂足为 F，线段 AF 是△ABC 中 BC 边上的高（标注 “AF⊥BC”）。画法步骤：用三角板的一条直角边与三角形的一边（如 BC）重合，使另一条直角边经过该边对应的顶点 A。沿经过 A 的直角边画直线，交 BC 于点 F（若 BC 较短，可延长 BC 至 F，使 AF⊥BC）。线段 AF 即为△ABC 中 BC 边上的高。分类讨论（不同类型三角形的高）：锐角三角形：三条高均在三角形内部，交于一点（垂心）。直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部，垂心与直角顶点重合。钝角三角形：两条高在三角形外部（对应钝角的两边），一条高在内部，垂心在三角形外部。性质：一个三角形有三条高（无论锐角、直角、钝角三角形，均有三条高，注意钝角三角形高的位置）。三角形的三条高所在直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。高与对边垂直，构成直角（如 AF⊥BC，故∠AFB = ∠AFC = 90°）。示例：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 AC、BC 是两条高，AB 边上的高 CD 在三角形内部，且满足 AC×BC = AB×CD（三角形面积的两种表示方法）。幻灯片 6：三种线段的对比总结线段类型定义核心数量交点名称关键性质位置特征（锐角三角形）位置特征（钝角三角形）中线顶点→对边中点3 条重心分三角形为等面积两部分；重心分中线为 2:1内部内部角平分线顶点→内角平分线交对边3 条内心平分内角；内心到三边距离相等内部内部高顶点→对边垂线（垂足）3 条垂心与对边垂直；构成直角内部2 条外部，1 条内部幻灯片 7：例题讲解 1（基础识别与计算）例 1：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AE 是∠BAC 的角平分线，AF 是 BC 边上的高。（1）若 BD = 3cm，求 BC 的长度；（2）若∠BAE = 35°，求∠BAC 的度数；（3）若∠AFB = 90°，∠B = 50°，求∠BAF 的度数。解：（1）AD 是中线，D 是 BC 中点，故 BC = 2BD = 2×3 = 6cm。（2）AE 是角平分线，∠BAE = \(\frac{1}{2}\)∠BAC，故∠BAC = 2×35° = 70°。（3）AF 是高，∠AFB = 90°，在 Rt△AFB 中，∠BAF = 90° - ∠B = 90° - 50° = 40°。结论：（1）BC = 6cm；（2）∠BAC = 70°；（3）∠BAF = 40°。例 2：在△ABC 中，AB = AC = 5cm，AD 是 BC 边上的中线，AD = 4cm，求 BC 的长度。分析：等腰三角形中线、高、角平分线 “三线合一”（AD 既是中线，也是高和角平分线），故 AD⊥BC，用勾股定理计算 BD。解：因 AB = AC，AD 是中线，故 AD⊥BC（三线合一），△ABD 是直角三角形。在 Rt△ABD 中，AB = 5cm，AD = 4cm，由勾股定理得 BD² = AB² - AD² = 5² - 4² = 9，故 BD = 3cm。BC = 2BD = 6cm。结论：BC 的长度为 6cm。幻灯片 8：例题讲解 2（钝角三角形高的应用）例 3：如图，△ABC 是钝角三角形，∠ACB 为钝角，画出△ABC 中 AB 边上的高 CD，并判断 CD 的位置（在三角形内部还是外部）。画法：延长 AB 至点 E（因∠ACB 是钝角，AB 边上的高需在三角形外部）。用三角板一条直角边与 AE 重合，另一条直角边经过点 C，画垂线交 AE 于点 D。线段 CD 即为 AB 边上的高，且 CD 在△ABC 外部。验证：CD⊥AE（即 CD⊥AB），∠CDA = ∠CDB = 90°，符合高的定义。幻灯片 9：易错点分析易错点 1：混淆 “角平分线” 与 “中线” 的定义：例如误将 “连接顶点与对边中点的线段” 当作角平分线，忽略 “平分内角” 的核心特征。避坑方法：牢记中线的关键是 “对边中点”（与长度相关），角平分线的关键是 “平分内角”（与角度相关），可通过标注 “中点” 或 “角相等” 区分。易错点 2：钝角三角形高的位置错误：例如画钝角三角形钝角对边上的高时，误画在三角形内部，忽略 “高需垂直于对边所在直线，可能在外部”。避坑方法：画高前先判断三角形类型，钝角三角形中，钝角的两边上的高在外部，需延长对边后再作垂线。易错点 3：“三线合一” 的适用条件混淆：例如在任意三角形中误用 “三线合一”（如认为任意三角形的中线也是高），忽略其仅适用于等腰三角形（含等边三角形）。避坑方法：明确 “三线合一” 是等腰三角形的特殊性质，仅当三角形两边相等时，对应边上的中线、高、角平分线才重合。易错点 4：重心分中线的比例记错：例如认为重心到顶点的距离是到对边中点距离的\(\frac{1}{2}\)，实际应为 2 倍（AG = 2GD）。避坑方法：通过画图记忆，重心在中线靠近对边中点的\(\frac{1}{3}\)处，顶点到重心占\(\frac{2}{3}\)，中点到重心占\(\frac{1}{3}\)。幻灯片 10：课堂练习 1（基础识别与计算）如图，在△ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，若 AC = 8cm，则 AD = ___cm；若△ABD 的面积为 10cm²，则△ABC 的面积为___cm²。如图，CE 是△ABC 中∠ACB 的角平分线，若∠ACB = 60°，则∠ACE = ___°；若∠A = 50°，∠B = 70°，则∠BEC = ___°。如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3cm，BC = 4cm，AB = 5cm，求 AB 边上的高 CD 的长度（提示：利用三角形面积公式）。幻灯片 11：课堂练习 1 答案BD 是中线，AD = \(\frac{1}{2}\)AC = 4cm；中线分三角形为等面积两部分，故△ABC 面积 = 2×10 = 20cm²。答案：4、20。CE 是角平分线，∠ACE = \(\frac{1}{2}\)∠ACB = 30°；∠ACB = 180° - 50° - 70° = 60°，∠BCE = 30°，在△BEC 中，∠BEC = 180° - 70° - 30° = 80°。答案：30、80。三角形面积 = \(\frac{1}{2}\)AC×BC = \(\frac{1}{2}\)×3×4 = 6cm²；也可表示为\(\frac{1}{2}\)AB×CD，故\(\frac{1}{2}\)×5×CD = 6，解得 CD = \(\frac{12}{5}\) = 2.4cm。答案：2.4cm。幻灯片 12：课堂练习 2（高的画法与钝角三角形应用）分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，观察三条高的交点位置（内部、顶点、外部）。如图，△ABC 是钝角三角形，∠B 为钝角，画出 AC 边上的高 BF，并说明画法步骤。幻灯片 13：课堂练习 2 答案锐角三角形三条高交于内部；直角三角形交于直角顶点；钝角三角形交于外部。（画图略，需标注高、垂足及交点）。画法步骤：延长 AC 至点 G（因∠B 是钝角，AC 边上的高在三角形外部）。用三角板一条直角边与 AG 重合，另一条直角边经过点 B，画垂线交 AG 于点 F。线段 BF 即为 AC 边上的高，BF 在△ABC 外部，且 BF⊥AG（即 BF⊥AC）。幻灯片 14：课堂小结三种线段的核心要点：中线：连接顶点与对边中点，分面积相等，交于重心（2:1 比例）。角平分线：平分内角，交于内心（到三边距离相等）。高：垂直于对边（或延长线），交于垂心（位置随三角形类型变化）。关键区别与联系：区别：定义不同（中点、角平分线、垂线），位置特征不同（钝角三角形高的特殊性）。联系：均为三角形的重要线段，各有三条，交于一点（重心、内心、垂心）；等腰三角形中 “三线合一”。应用技巧：涉及面积计算：优先考虑中线（分面积）或高（面积公式）。涉及角度计算：优先考虑角平分线（平分内角）。涉及垂直关系：优先考虑高（直角）或等腰三角形的 “三线合一”。幻灯片 15：课后作业教材课后练习题 [具体题号]。基础题：（1）在△ABC 中，若 M 是 AB 中点，CM 是中线，AB = 10cm，求 AM 的长度；（2）在△ABC 中，∠A = 70°，BD 平分∠ABC，∠BDC = 80°，求∠C 的度数。提升题：（1）在等腰△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的高，若 BC = 6cm，AD = 4cm，求 AB 的长度；（2）画出钝角△DEF（∠D 为钝角）的三条高，标注垂心，并说明垂心的位置特征。思考题：三角形的重心、内心、垂心，在什么类型的三角形中会重合？（提示：等边三角形）。新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.你知道怎样确定这个点的位置吗？三角形的高 如图，在△ABC 中，点 F 是 BC 边上的一个动点，连接 AF，在点 F 的运动过程中，观察点 F或线段 AF 有哪些特殊的位置. 说说你的想法，并与同伴进行交流.点击视频观看→观察 ∠AFB 或线段 AF 的大小有什么特殊的？ ↑点击几何画板操作从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，线段 AF 是△ABC 的 BC 边上的高.知识要点AF⟂BC活动1：每人准备一个锐角三角形纸片.(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 锐角三角形的三条高直线交于同一点，并且这个点在三角形内部.如图所示.合作探究在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1) 画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？(2) 你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？DEF（1）如图，直角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点是直角三角形的直角顶点.议一议（2）只能折出其中一条高，画出如图：ABCDF(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.OE钝角三角形的三条高互不相交，它们所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部.三角形的三条高所在的直线交于一点.1. 分别指出图中 △ABC 的三条高.ABCBBDBFCEAD练一练第(1)题图第(2)题图三角形的中线点击视频观看→↑点击几何画板操作观察 FB 与 CF 的长度有什么特殊的？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 如图，AE 是 △ABC 中 BC 边上的中线.让我们先看看三角形的中线有什么特点.知识要点活动2：(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系?三条中线，相交于一点合作探究(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心.归纳总结：重心(3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断 △ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.(4) 通过题 (3) 你能发现什么规律？三角形的中线能将三角形的面积平分.例1 如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AD 是△ABC的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 AB＝____cm.提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长之差.7 典例精析解析：因为 CE 是△ACD 的中线，例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2.12 所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC，即 S△ADC = 6 cm2.又因为 AD 是△ABC 的中线，所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC，即 S△ABC = 12 cm2.点击视频观看→↑点击几何画板操作观察 ∠BAF 与 ∠CAF 的大小有什么特殊的？ 三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.12ABCD注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.∠1 =∠2 知识要点 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？ (2) 你能用折纸的办法得到它们吗？ (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系？合作探究BAC（1）用量角器画最简便，用圆规也能.（2）在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕 AD 即为∠BAC 的平分线.ABCDD三角形的三条角平分线交于同一点.三角形角平分线的特征归纳总结解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°， 例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数. 所以∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B +∠ADB +∠BAD＝180°， 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°.典例精析2. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，G 为 AD 中点，延长 BG 交 AC 于点 E，F 为 AB 上一点，CF 交 AD 于 H，判断下列说法的正误.（1）AD 是△ABE 的角平分线. ( )（2）BE 是△ABD 的边 AD 上的中线. ( )（3）BE 是△ABC 的边 AC 上的中线. ( )×××练一练 BA. B. C. D. 返回（第2题） C  返回3. [2024阳江期中] 下列说法中，正确的是( )DA. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B. 三角形的高就是顶点到对边的垂线C. 三角形的角平分线就是三角形的内角平分线D. 三角形的三条中线交于一点 返回（第4题）     返回 4【点拨】如图，  返回 10   返回   返回（第8题） B  返回（第9题） B （第10题） AA. 6B. 4C. 3D. 2（第11题）11. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如1  返回      返回三角形中几条重要线段角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！