7.2.2 平行线的判定 课件-2025-2026学年人教版2024数学七年级下册教学课件

封面标题：7.2.2 平行线的判定学科：数学版本：华东师大版年级：七年级下册学习目标回顾 “两条直线被第三条直线所截” 形成的同位角、内错角、同旁内角，理解平行线判定定理与这些角的数量关系的关联。掌握平行线的三个判定定理（同位角相等→两直线平行、内错角相等→两直线平行、同旁内角互补→两直线平行），能规范表述定理内容。能运用判定定理解决实际图形中的平行判定问题，会结合直尺、三角板画平行线的原理解释判定方法，提升逻辑推理能力和图形应用能力。知识回顾与情境引入1. 知识回顾平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；“三线八角”：两条直线被第三条直线所截，形成同位角（“F” 型）、内错角（“Z” 型）、同旁内角（“U” 型）；画平行线的方法：用直尺和三角板 “落、靠、移、画”，平移三角板时，三角板的直角边与直尺始终贴合，形成的角大小不变。2. 情境引入（从画法找判定线索）观察用直尺和三角板画平行线的过程（如图 1）：第一步，三角板直角边与已知直线\(l\)重合，形成\(\angle1\)；第二步，平移三角板后，直角边过点\(P\)，形成\(\angle2\)；发现：\(\angle1\)与\(\angle2\)是同位角，且\(\angle1 = \angle2\)（平移不改变角的大小），最终画出的直线\(a \parallel l\)。由此猜想：当两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，这两条直线是否平行？这就是我们本节课要探究的 “平行线的判定”。一、平行线的判定定理 1（同位角相等，两直线平行）1. 定理推导（从猜想验证到结论）实验验证：如图 2，直线\(a\)、\(b\)被直线\(l\)所截，用量角器测量同位角\(\angle1\)与\(\angle2\)的度数：若\(\angle1 = 60^\circ\)，\(\angle2 = 60^\circ\)（即\(\angle1 = \angle2\)），观察图形：\(a\)与\(b\)不相交，即\(a \parallel b\)；若改变\(\angle1\)的度数，使\(\angle1 = 80^\circ\)，\(\angle2 = 80^\circ\)（仍相等），\(a\)与\(b\)仍平行。定理内容：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单记为：同位角相等，两直线平行。符号表示：如图 2，若\(\angle1 = \angle2\)，则\(a \parallel b\)（“→” 表示 “推出”，即由角相等推出线平行）。2. 定理应用（例题解析）例 1：如图 3，直线\(AB\)、\(CD\)被直线\(EF\)所截，已知\(\angle1 = 55^\circ\)，\(\angle2 = 55^\circ\)，判断\(AB\)与\(CD\)是否平行，并说明理由。解：\(AB \parallel CD\)，理由如下：第一步，确定角的类型：\(\angle1\)与\(\angle2\)是直线\(AB\)、\(CD\)被\(EF\)所截形成的同位角；第二步，判断角的关系：\(\angle1 = 55^\circ\)，\(\angle2 = 55^\circ\)，故\(\angle1 = \angle2\)；第三步，应用判定定理：根据 “同位角相等，两直线平行”，可得\(AB \parallel CD\)。例 2：如图 4，已知\(\angle A = \angle DFE = 60^\circ\)，判断直线\(AD\)与\(EF\)是否平行，并说明理由。解：\(AD \parallel EF\)，理由如下：第一步，确定截线与被截线：截线为\(AB\)，被截线为\(AD\)、\(EF\)；第二步，确定角的类型：\(\angle A\)与\(\angle DFE\)是同位角（\(\angle A\)在\(AD\)、\(AB\)交点处，\(\angle DFE\)在\(EF\)、\(AB\)交点处，呈 “F” 型）；第三步，应用定理：\(\angle A = \angle DFE = 60^\circ\)，故\(AD \parallel EF\)（同位角相等，两直线平行）。二、平行线的判定定理 2（内错角相等，两直线平行）1. 定理推导（由判定定理 1 推导）如图 5，直线\(a\)、\(b\)被直线\(l\)所截，\(\angle1\)与\(\angle2\)是内错角，\(\angle1\)与\(\angle3\)是对顶角：已知对顶角相等，即\(\angle1 = \angle3\)；若\(\angle1 = \angle2\)（内错角相等），则\(\angle2 = \angle3\)（等量代换）；而\(\angle2\)与\(\angle3\)是同位角，根据判定定理 1（同位角相等，两直线平行），可得\(a \parallel b\)。定理内容：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单记为：内错角相等，两直线平行。符号表示：如图 5，若\(\angle1 = \angle2\)，则\(a \parallel b\)。2. 定理应用（例题解析）例 3：如图 6，直线\(AB\)、\(CD\)被直线\(BD\)所截，已知\(\angle1 = \angle2 = 40^\circ\)，判断\(AB\)与\(CD\)是否平行，并说明理由。解：\(AB \parallel CD\)，理由如下：第一步，确定角的类型：\(\angle1\)与\(\angle2\)是直线\(AB\)、\(CD\)被\(BD\)所截形成的内错角（呈 “Z” 型）；第二步，判断角的关系：\(\angle1 = \angle2 = 40^\circ\)；第三步，应用定理：根据 “内错角相等，两直线平行”，可得\(AB \parallel CD\)。例 4：如图 7，在三角形\(ABC\)中，\(\angle B = \angle C\)，\(BD\)平分\(\angle ABC\)，\(CE\)平分\(\angle ACB\)，判断\(BD\)与\(CE\)是否平行，并说明理由。解：\(BD \parallel CE\)，理由如下：第一步，由角平分线定义：\(\angle1 = \frac{1}{2}\angle ABC\)，\(\angle2 = \frac{1}{2}\angle ACB\)；第二步，已知\(\angle ABC = \angle ACB\)，故\(\angle1 = \angle2\)（等量代换）；第三步，确定角的类型：\(\angle1\)与\(\angle2\)是直线\(BD\)、\(CE\)被\(BC\)所截形成的内错角；第四步，应用定理：\(\angle1 = \angle2\)，故\(BD \parallel CE\)（内错角相等，两直线平行）。三、平行线的判定定理 3（同旁内角互补，两直线平行）1. 定理推导（由判定定理 1 或 2 推导）如图 8，直线\(a\)、\(b\)被直线\(l\)所截，\(\angle1\)与\(\angle2\)是同旁内角，\(\angle1\)与\(\angle3\)是邻补角：已知邻补角互补，即\(\angle1 + \angle3 = 180^\circ\)；若\(\angle1 + \angle2 = 180^\circ\)（同旁内角互补），则\(\angle2 = \angle3\)（同角的补角相等）；而\(\angle2\)与\(\angle3\)是同位角，根据判定定理 1，可得\(a \parallel b\)。定理内容：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（和为\(180^\circ\)），那么这两条直线平行。简单记为：同旁内角互补，两直线平行。符号表示：如图 8，若\(\angle1 + \angle2 = 180^\circ\)，则\(a \parallel b\)。2. 定理应用（例题解析）例 5：如图 9，直线\(AD\)、\(BC\)被直线\(AB\)所截，已知\(\angle A + \angle B = 180^\circ\)，判断\(AD\)与\(BC\)是否平行，并说明理由。解：\(AD \parallel BC\)，理由如下：第一步，确定角的类型：\(\angle A\)与\(\angle B\)是直线\(AD\)、\(BC\)被\(AB\)所截形成的同旁内角（呈 “U” 型）；第二步，判断角的关系：\(\angle A + \angle B = 180^\circ\)（同旁内角互补）；第三步，应用定理：根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可得\(AD \parallel BC\)。例 6：如图 10，直线\(AB\)、\(CD\)被直线\(EF\)所截，已知\(\angle1 = 110^\circ\)，\(\angle2 = 70^\circ\)，判断\(AB\)与\(CD\)是否平行，并说明理由。解：\(AB \parallel CD\)，理由如下：第一步，计算同旁内角的和：\(\angle1 + \angle2 = 110^\circ + 70^\circ = 180^\circ\)；第二步，确定角的类型：\(\angle1\)与\(\angle2\)是直线\(AB\)、\(CD\)被\(EF\)所截形成的同旁内角；第三步，应用定理：同旁内角互补，故\(AB \parallel CD\)。四、三个判定定理的对比与综合应用1. 定理对比（表格形式）判定定理角的类型角的关系结论（线的关系）图形特征定理 1同位角相等两直线平行“F” 型定理 2内错角相等两直线平行“Z” 型定理 3同旁内角互补（和为\(180^\circ\)）两直线平行“U” 型2. 综合应用（选择合适的定理判定）例 7：如图 11，已知\(\angle1 = \angle2\)，\(\angle3 + \angle4 = 180^\circ\)，判断直线\(a\)与\(b\)、\(c\)与\(d\)是否平行，并说明理由。解：（1）\(a \parallel b\)，理由：\(\angle1\)与\(\angle2\)是内错角，\(\angle1 = \angle2\)，根据 “内错角相等，两直线平行”，得\(a \parallel b\)；（2）\(c \parallel d\)，理由：\(\angle3\)与\(\angle4\)是同旁内角，\(\angle3 + \angle4 = 180^\circ\)，根据 “同旁内角互补，两直线平行”，得\(c \parallel d\)。例 8：如图 12，在四边形\(ABCD\)中，\(\angle A = \angle C = 100^\circ\)，\(\angle B = \angle D = 80^\circ\)，判断\(AB\)与\(CD\)、\(AD\)与\(BC\)是否平行，并说明理由。解：（1）\(AB \parallel CD\)，理由：\(\angle A + \angle D = 100^\circ + 80^\circ = 180^\circ\)，\(\angle A\)与\(\angle D\)是同旁内角，故\(AB \parallel CD\)（同旁内角互补，两直线平行）；（2）\(AD \parallel BC\)，理由：\(\angle A + \angle B = 100^\circ + 80^\circ = 180^\circ\)，\(\angle A\)与\(\angle B\)是同旁内角，故\(AD \parallel BC\)（同旁内角互补，两直线平行）。五、常见错误与注意事项混淆 “角的类型” 与 “判定定理”：如将内错角相等用 “同位角定理” 判定，或同旁内角互补用 “内错角定理” 判定；（解决方法：先根据图形特征确定角的类型，再对应选择判定定理）忽略 “两条直线被第三条直线所截” 的前提：如孤立判断两个角相等，未明确截线与被截线，导致错误判定平行；（解决方法：判定前先标注截线和被截线，确保角是 “三线八角” 中的同位角、内错角或同旁内角）同旁内角关系判断错误：误将 “相等” 作为同旁内角的判定条件（正确应为 “互补”）；（解决方法：牢记同旁内角的定义 ——“内部且同旁”，其数量关系是和为\(180^\circ\)，而非相等）未结合图形实际测量或推导：仅凭主观判断角的关系，而非通过已知条件计算或推导角的度数；（解决方法：若角的度数未知，需通过对顶角、邻补角等关系推导，再应用判定定理）六、课堂练习基础题：（1）如图 13，直线\(l_1\)、\(l_2\)被\(l_3\)所截，\(\angle1 = \angle3\)，判断\(l_1\)与\(l_2\)是否平行，并说明理由；（2）如图 14，\(\angle A + \angle ACD = 180^\circ\)，判断\(AB\)与\(CD\)是否平行，并说明理由；提升题：（1）如图 15，已知\(\angle1 = \angle2\)，\(\angle2 = \angle3\)，判断\(a\)与\(c\)是否平行（提示：先判断\(a\)与\(b\)，再判断\(b\)与\(c\)，结合平行传递性）；（2）如图 16，\(\angle B = \angle D = 70^\circ\)，\(\angle BAE = \angle DCE = 110^\circ\)，判断\(AB\)与\(CD\)、\(AE\)与\(CE\)是否平行；拓展题：如图 17，木工师傅用角尺新2024人教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过观察、思考、探索等活动掌握平行线的三种判定方法.2. 通过学生体验、猜想并说理，让学生体会到数学充满着探索和创造，培养学生团结协作、勇于创新的能力.重点：两条直线平行的三种判定方法.难点：识别各种图形下平行线判定方法的灵活应用.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行. 你还有其他方法吗？(1) 同一平面内不重合的两条直线，有哪几种位置关系?相交或平行(2) 判定两条直线平行的方法有哪些呢?思考：你还记得如何用三角尺和直尺画平行线的方法.(1) 放(2) 靠(3) 推(4) 画bA21aB问题1：画图过程中，三角尺起着什么作用？ 问题2：直线 a，b 位置关系如何？ a∥b 保持∠1与∠2 相等合作探究判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.知识要点几何语言：因为∠1=∠2(已知)，所以 a∥b(同位角相等，两直线平行).同位角相等，两直线平行.例1 如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？典例精析1. 如图，用直尺和三角尺作直线 AB，CD，从图中可知，直线 AB 与直线 CD 的位置关系是__________，理由是__________________________.同位角相等，两直线平行AB∥CD 练一练利用内错角、同旁内角判定两条直线平行如图，依据刚刚学的知识我们知道，同位角相等，两直线平行.问题 1：能否利用内错角来判定两直线平行呢?如图，如果∠1 = ∠2，那么 a 与 b 平行吗?因为∠1 = ∠2(已知条件)，∠2 = ∠4(对顶角相等)，所以∠1 = ∠4(等量代换).所以 a∥b (同位角相等，两直线平行).判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.知识要点几何语言：因为∠1=∠2(已知)，所以 a∥b(内错角相等，两直线平行).问题 2：能否利用同旁内角来判定两条直线平行呢?如图，如果∠1+∠3 = 180°，那么 a 与 b 平行吗?因为∠1+∠3 = 180°，∠4+∠3 = 180°(平角的定义)，所以 ∠1 = ∠4，(同角的补角相等)所以 a∥b .(同位角相等，两直线平行)合作探究判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.知识要点几何语言：因为∠1+∠3=180°(已知)，所以 a∥b(同旁内角互补，两直线平行).① ∵∠2 = ∠6 (已知)，∴ ___∥___ ( ).② ∵ ∠3 = ∠5 (已知)， ∴ ___∥___ ( ).③ ∵ ∠4 + ___ = 180° (已知)， ∴ ___∥___ ( ).ABCDABCD∠5ABCD同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行2. 根据条件完成填空. 练一练∵→“因为”∴→“所以”讨论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗? 为什么?解：这两条直线平行. 理由如下：如图，∵ b丄a，∴ ∠1 = 90°. 同理∠2=90°.∴∠1 =∠2.又∠1 和∠2 是同位角，∴b∥c (同位角相等，两直线平行).(1) 由∠CBE =∠A 可以判定哪两条直线平行?依据是什么?(2) 添加一个条件使 AE∥CD. (3) 由∠D +∠A = 180°可以判定哪两条直线平行?依据是什么?例2 如图，BE 是 AB 的延长线.典例精析AE∥CD. 依据是同旁内角互补，两直线平行.∠CBE =∠C (答案不唯一)AD∥BC，依据是同位角相等，两直线平行.3. 如图，已知∠MCA = ∠A，∠MCA = ∠CDE， 那么 AB∥DE 吗？为什么？分析： ∠MCA = ∠AAB∥DE∠MCA = ∠CDE∠CDE = ∠A换种思路：已知 AB∥MC， DE∥MC，试说明 AB∥DE.练一练 ∠MCA =∠CDE解：∵∠MCA = ∠ A（已知），∴ ∠CDE = ∠A.∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）. 遇到新问题，常把它转化为已知问题（或已解决）的问题. D（第1题）  返回（第2题） A  返回3. 如图，分析图形，完成填空.（第3题）            返回（第4题）4. 如图所示，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线是否平行？____.（填“是”或“否”）是   返回   返回   返回 ①②③④①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等.A. ②④ B. ③⑤ C. ①②⑤ D. ①③④【点拨】√  返回（第9题） CA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（第9题）  返回10. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是( )D  返回（第11题）   角平分线的定义（第11题）  角平分线的定义      同旁内角互补，两直线平行  返回平行线的判定判定方法__________，两直线平行定义法同一个平面内，两条直线_______ 同位角相等___________，两直线平行 同旁内角互补 不相交__________，两直线平行 内错角相等必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！