人教A版（2019）选修三8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 （第2课时） （教学课件）

18.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法.难点：求最小二乘估计，残差分析.学习目标问题 人们常将男子短跑100 m的高水平运动员称为“百米飞人”．表8.2-5给出了1968年之前男子短跑100 m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据，试依据这些成对数据，建立男子短跑100 m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程．表8.2-5新课引入纪录/s年份图8.2-12以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得到图8.2-12． 在图8.2-12中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程．用Y表示男子短跑100 m的世界纪录，t表示纪录产生的年份，利用一元线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系．根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为tY/s图8.2-13将经验回归直线叠加到散点图，得到图8.2-13tY/s以经验回归直线为参照，可以发现经验回归方程的不足之处，以及散点的更为精细的分布特征，例如，第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方，这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？探究一表8.2-6如果表8.2-6对应的散点图呈现出很强的线性相关特征，我们就可以借助一元线性回归模型和新的成对数据，对参数c1和c2作出估计，进而可以得到Y关于t的非线性经验回归方程．xY/s图8.2-14在直角坐标系中画出表8.2-6中成对数据的散点图，如图8.2-14所示，散点的分布呈现出很强的线性相关特征．xY/s图8.2-15再在图8.2-14中画出(*)式所对应的经验回归直线，得到图8.2-15．图8.2-15表明，经验回归方程(*)对于表8.2-6中的成对数据具有非常好的拟合精度．将图8.2-15习图8．2-13进行对比，可以发现和之间的线性相关程度比原始样本数据的线性相关程度强得多．在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象（蓝色）以及经验回归方程①的图象（红色），表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①．两个经验回归方程的残差（精确到0.001)如表8.2-7所示．观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程②远远小于①，即经验回归方程②的合效果要远远好于①．表8.2-7在一般情说下，直接比较两个模型的残差比较困难，因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些散点的情况则相反．可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果． 探究二由表8.2-7容易算出经验回归方程①和②的R2分别约为0.7325和0.9983，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多．另外，我们还可以用新的观测数据来检验模型的拟合效果．事实上，我们还有1968年之后的男子短跑100 m世界记录数据，如表8.2-8所示．表8.2-8 在散点图8.2-12中，绘制表8.2-8中的散点（绿色），再添加经验回归方程①所对应的经验回归直线（红色），以及经验回归方程②所对应的经验回归曲线（蓝色），得到图8.2-17显然绿色散点分布在蓝色经验回归曲线的附近，远离红色经验回归直线，表明经验回归方程②对于新数据的预报效果远远好于①．思考：在上述问题情境中，男子短跑100 m世界纪录和纪录创建年份之间呈现出对数关系，能借助于样本相关系数刻画这种关系的强弱吗？在使用经验回归方程进行预测时，需要注意下列问题：（1）经验回归方程只适用于所研究的样本的总体．例如，根据我国父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述美国父亲身高与儿子身高之间的关系．同样，根据生长在南方多雨地区的树高与胸径的数据建立的经验回归方程，不能用来描述北方干旱地区的树高与胸径之间的关系．（2）经验回归方程一般都有时效性．例如，根据20世纪80年代的父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述现在的父亲身高与儿子身高之间的关系．（3）解释变量的取值不能离样本数据的范围太远. 一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果会比较好，超出这个范围越远，预报的效果越差．（4）不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值．事实上，它是响应变量的可能取值的平均值．3.最小二乘法4.判断模型拟合的效果:残差分析R2越大，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好R2越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差.1.线性回归模型y＝bx＋a＋e含有随机误差e，其中x为解释变量，y响应变量 课堂小结1．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，请回答下列问题：（1）解释变量和响应变量的关系是什么？（2）R2是多少？（1）解释变量和响应变量是线性函数关系． 达标检测 　　　2．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如表所示．（1）画出散点图；（2）建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型；（3）关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？3．根据8.1.2节例2中某城市居民年收入与A商品销售额的数据：（1）建立A商品销售额关于居民年收入的一元线性回归模型；（2）如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计A商品的销售额是多少．4．人口问题是关乎国计民生的大问题．下表是1949—2016年我国的人口总数（摘自中国统计年鉴—2017）（1）画出散点图；（2）建立总人口数关于年份的一元线性回归模型；（3）直接用上面建立的回归模型预测2020年的我国人口总数，得到的结果合理吗？为什么？年份总人口/万人（1）画人口总数与年份的散点图，如图所示． 年份总人口/万人（3）利用经验回归方程得到2020年我国人口总数的预测值为149850万人．得到的这个预测结果不合理．将拟合直线画在散点图上，可以看到，2000年以后，我国人口总数的增长速度逐渐平稳且呈下降趋势，因此运用上述经验回归模型预测2020年我国的人口总数会出现高估．也可以通过观察残差图，看到残差具有中间为正，两边为负的特点．可以考虑用其他统计模型拟合数据．5．在某地区的一段时间内观测到的不小于某震级x的地震数N的数据如下表：试建立经验回归方程表示二者之间的关系，该模型对预测地震有帮助吗？震级地震数先画地震数与震级的散点图，如图(1)所示． 震级xx和y的散点图如图（2）所示．从这个散点图中可以看出x和y之间有很强的线性相关性，因此可以用一元线性回归模型拟合它们之间的关系．该模型不能直接用于预报地震，因为它不能预报何时发生地震，震级是多少谢谢观看