数学人教A版 (2019)6.3 二项式定理同步练习题

这是一份数学人教A版 (2019)6.3 二项式定理同步练习题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
二项式定理


一、单选题


1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）


A．B．C．20D．160


2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）


A．10B．15C．20D．25


3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）


A．B．C．3D．4


4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）


A．B．C．D．


5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）


A．第项B．第项C．第项D．第项


6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）


A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项


7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）


A．240B．120C．48D．36


8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）


A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项


二、多选题


9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）


A．7B．8C．9D．10


10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）


A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项


11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )


A．所有项的二项式系数和为32B．所有项的系数和为0


C．常数项为D．二项式系数最大的项为第3项


12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）


A．


B．


C．


D．


三、填空题


13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.


14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.


15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是


16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x的项的系数是__________．


四、解答题


17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求


（1）的值；


（2）的值.


18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：


（1）含的项；


（2）二项式系数最大的项．


19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．


（1）求展开式中二项式系数最大的项；


（2）求展开式中系数最大的项．


20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．


（1）求n的值；


（2）求展开式中所有的有理项．


21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．


（1）求展开式中的所有有理项；


（2）求系数最大的项．


22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．


（1）求的值；


（2）求展开式中的常数项；


（3）求展开式中二项式系数最大的项．























专题28 二项式定理


一、单选题


1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）


A．B．C．20D．160


【答案】A


【解析】


展开式的通项公式为，


令，可得，故展开式的常数项为，


故选：A.


2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）


A．10B．15C．20D．25


【答案】B


【解析】


的二项展开式的通项为．


令，解得．


含的项的系数是．


故选：B


3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）


A．B．C．3D．4


【答案】D


【解析】


展开式中的第项为，


当，即时，此时；


当，即时，此时.则.


故选:D.


4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】


当取 时， 取8个，则，


当 取时， 取7个，则，


所以 .


故选：A


5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）


A．第项B．第项C．第项D．第项


【答案】B


【解析】


的展开式的通项公式为：，


要使系数最大，则r为偶数，且r只可能从2，4，6中选，


故，且，


所以，且，


所以，且，


经验证：当时，符合，


所以的展开式中系数最大的项为第五项，


故选：B


6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）


A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项


【答案】C


【解析】


由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.


7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）


A．240B．120C．48D．36


【答案】A


【解析】


由题意，解得，则，


则二项式的展开式的通项公式为，


令即，则.


故选：A.


8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）


A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项


【答案】A


【解析】


因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等


所以，所以


所以展开式里系数最大的项是第6项


故选：A


二、多选题


9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）


A．7B．8C．9D．10


【答案】ABC


【解析】


∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n＝8或n＝9


故选：ABC.


10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）


A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项


【答案】CD


【解析】


由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，


又因为其相等，则


所以该展开式中二项式系数最大的项为与项


即为第5项；第6项.


故选：CD


11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )


A．所有项的二项式系数和为32B．所有项的系数和为0


C．常数项为D．二项式系数最大的项为第3项


【答案】BC


【解析】


解：二项式展开式的通项为


令，解得，则常数项为，故C正确；


且二项式系数最大的项为第4项，故D错误；


二项式系数和；


令，得所有项的系数和为0，故A错误，B正确；


故选：BC


12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）


A．


B．


C．


D．


【答案】ABD


【解析】


对于，因为，，所以，即正确；


对于，，故正确；


对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；


对于，因为，


等式左边的系数为：，


等式右边的系数为：，


所以，故正确.


故选：ABD


三、填空题


13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.


【答案】64


【解析】


在中，令可得，.


所以


故答案为：64.


14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.


【答案】


【解析】


由题得原式=.


故答案为：


15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是


【答案】40


【解析】


依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.


16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x的项的系数是__________．


【答案】128 84


【解析】


由题意所有二项式系数的和为，


题中二项式展开式通项公式为，令，，


所以含x的项的系数是．


故答案为：128；84．


四、解答题


17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求


（1）的值；


（2）的值.


【答案】（1）；（2）1093


【解析】


（1）令，则；


（2）令，则①


令，则


②


由①②得，即





18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：


（1）含的项；


（2）二项式系数最大的项．


【答案】（1）；（2）.


【解析】


（1）展开式的通项为，


由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，


，解得，则展开式通项为，


令，解得，因此，展开式中含的项为；


（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.


19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．


（1）求展开式中二项式系数最大的项；


（2）求展开式中系数最大的项．


【答案】（1），；（2）．


【解析】


（1）由题意知，


又展开式的通项为：





展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项


所以，


（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，


也即在，，，中产生，


而，， ，


故系数最大的项为第5项


20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．


（1）求n的值；


（2）求展开式中所有的有理项．


【答案】（1）；（2）,,．


【解析】


二项式展开式的通项公式为


，；


（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得


，


即,


解得；


（2）二项式展开式的通项公式为


，；


当时,对应项是有理项,


所以展开式中所有的有理项为


,


,


．


21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．


（1）求展开式中的所有有理项；


（2）求系数最大的项．


【答案】（1），，（2）和


【解析】


（1）∵


由题设可知


解得n=8或n=1（舍去）


当n=8时，通项


据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8


∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，


（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1


∵， 由≥1得r≤3


又∵，由≤1得：r≥2


∴ r=2或r=3所求项为和


22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．


（1）求的值；


（2）求展开式中的常数项；


（3）求展开式中二项式系数最大的项．


【答案】（1）；（2）；（3）.


【解析】


由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．


1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，


解得：或舍去．


即n的值为6．


2由通项公式，


令，


可得：．


展开式中的常数项为；


是偶数，展开式共有7项则第四项最大


展开式中二项式系数最大的项为．