高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项式定理当堂达标检测题

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1．二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,
,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.
③每一项中a和b的幂指数之和为n.
2．二项式系数的性质
(1)杨辉三角——二项式系数表
当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数：
从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结
果，由此我们可以发现以下性质：
①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的
二项式系数相等.
②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.
④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，，
第n行的(n+1)个数之和为.
(2)二项式系数的性质
【题型1 求展开式的特定项或特定项的系数】
【方法点拨】
二项展开式的通项的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含(或)的
项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时，一般根据通项，找出未知数的指数，令其为整数，再根据
整数的整除性求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算.
【例1】二项式x−23x5的展开式中常数项为（ ）
A．80B．−80C．−40D．40
【解题思路】求出展开式的通项，再令x的指数等于0，即可得出答案.
【解答过程】解：二项式x−23x5的展开式的通项为Tk+1=C5kx5−k⋅−23xk=−2kC5kx15−5k6，
令15−5k6=0，则k=3，所以常数项为−23C53=−80.故选：B.
【变式1-1】x−25的展开式中x3的系数为（ ）
A．40B．−40C．80D．−80
【解题思路】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；
【解答过程】x−25的展开式的通项Tr+1=C5rx5−r−2r，令5−r=3，解得r=2，所以T3=C52x3−22=40x3，所以x3项的系数为40，故选：A.
【变式1-2】2x−ax6的展开式中的常数项为-160，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【解题思路】由已知，根据二项式列出其展开式的通项，根据要计算的常数项，先计算出r，然后根据其常数项的系数列出关于a的方程，解方程即可完成求解.
【解答过程】由已知，2x−ax6展开式的通向为Tr+1=C6r(2x)6−r(−ax)r=C6r·26−r·(−a)r·x6−2r，所以其展开式的常数项即6−2r=0，r=3，所以常数项为C63·26−3·(−a)3=−160，解得a=1.故选：A.
【变式1-3】x−2x10展开式中第5项的系数是（ ）
A．C104B．C10424C．−C105D．−C10525
【解题思路】区分二项式系数和项的系数的区别，并求出展开式中项对应的系数，即可求解
【解答过程】x−2x10展开式中第5项为T4+1=C104x6−2x4=C104−24x2=C10424x2.故选：B.
【题型2 用赋值法求系数和问题】
【方法点拨】
赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.根据题目要求，灵活赋值是解题的关键.
【例2】1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0−a1+a2−a3+a4=（ ）
A．1B．3C．0D．−3
【解题思路】根据展开式，利用赋值法取x=−1即得.
【解答过程】因为1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=−1，可得a0−a1+a2−a3+a4=1−14=0.故选：C.
【变式2-1】若x+y6=a0y6+a1xy5+a2x2y4+⋅⋅⋅+a6x6，则a0+a2+a4+a62−a1+a3+a52的值为（ ）
A．0B．32C．64D．128
【解题思路】先利用赋值法求得a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6和a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值，进而求得a0+a2+a4+a62−a1+a3+a52的值.
【解答过程】x=1，y=−1时，0=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6，
x=1，y=1时，64=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，
a0+a2+a4+a62−a1+a3+a52
=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0×64=0，故选：A.
【变式2-2】若(3x−1)7=a7x7+a6x6+⋯a1x+a0，则a7+a6+⋯a1的值是（ ）
A．−1B．127C．128D．129
【解题思路】利用赋值法计算可得.
【解答过程】解：因为(3x−1)7=a7x7+a6x6+⋯a1x+a0，令x=0，可得a0=−17=−1，
令x=1，可得a7+a6+⋯a1+a0=3−17=128，所以a7+a6+⋯a1=128+1=129；故选：D.
【变式2-3】已知Cn3=Cn6，设2x−3n=a0+a1x−1+a2x−12+⋅⋅⋅+anx−1n，则a1+a2+⋅⋅⋅+an=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【解题思路】利用组合数的性质可求得n的值，再利用赋值法可求得a0和a0+a1+a2+⋅⋅⋅+an的值，作差可得出所求代数式的值.
【解答过程】因为Cn3=Cn6，所以由组合数的性质得n=3+6=9，
所以2x−39=a0+a1x−1+a2x−12+⋅⋅⋅+a9x−19，
令x=2，得2×2−39=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9，即a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9=1.
令x=1，得2×1−39=a0=−1，所以a1+a2+⋅⋅⋅+a9=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9−a0=1−−1=2，
故选：D.
【题型3 多项式积的展开式中的特定项问题】
【方法点拨】
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注
意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
【例3】1x−21−2x4的展开式中，常数项为（ ）
A．−4B．−6
C．−8D．−10
【解题思路】先求出1−2x4展开式的通项公式，然后求出其一次项系数和常数项，从而可求得结果.
【解答过程】1−2x4展开式的通项公式为Tr+1=C4r(−2x)r=C4r(−2)r⋅xr，
所以1x−21−2x4的展开式中，常数项为C41×(−2)+(−2)×C40=−8−2=−10，故选：D.
【变式3-1】1+1x(1+x)4的展开式中含x2项的系数为（ ）
A．10B．12C．4D．5
【解题思路】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.
【解答过程】(1+x)4的二项展开式的通项为C4rxr，当r=2时，(1+1x)(1+x)4的展开式中含x2项为1⋅C42x2；
当r=3时，(1+1x)(1+x)4的展开式中含x2项为(1x)⋅C43x3；所以(1+1x)(1+x)4的展开式中含x2项的系数为C42+C43=10.故选：A.
【变式3-2】二项式(1+x+x2)(1−x)10展开式中x4的系数为（ ）
A．120B．135C．140D．100
【解题思路】利用二项式定理得到(1−x)10的展开式通项公式，求出T3=45x2，T4=−120x3，T5=210x4，进而与1+x+x2对应的系数相乘，求出展开式中x4的系数.
【解答过程】(1−x)10的展开式通项公式为Tr+1=C10r−xr=C10r−1rxr，
其中T3=C102x2=45x2，T4=−C103x3=−120x3，T5=C104x4=210x4，
故二项式(1+x+x2)(1−x)10中x的四次方项为45x2⋅x2−120x3⋅x+210x4⋅1=135x4，
即展开式中x4的系数为135.故选：B.
【变式3-3】若2−ax1+x4 展开式中x3的系数为2，则a=（ ）
A．1B．−1C．−13D．2
【解题思路】展开式中x3项的产生一部分来源于2与1+x4中x3项相乘， 另一部分来源于−ax与1+x4中x2项相乘，可求a.
【解答过程】1+x4=1+4x+6x2+4x3+x4，2−ax1+x4展开式中x3的系数为2
所以8－6a=2 ，解得a=1 故选：A.
【题型4 求展开式中系数最大的项的方法】
【方法点拨】
由于展开式中各项的系数是离散型变量，因此，
(1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值，只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确地
列出不等式组即可.
(2)当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组；求系数的最小值
应在系数都为负的各项系数间构造不等式组.
【例4】在3x−2y20的展开式中，系数绝对值最大项是（ ）
A．第10项B．第9项C．第11项D．第8项
【解题思路】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【解答过程】二项式3x−2y20的通项公式为：Tr+1=C20r⋅(3x)20−r⋅(−2y)r，
设第r+1项的系数绝对值最大，所以有C20r⋅320−r⋅(−2)r≥C20r+1⋅320−r−1⋅(−2)r+1C20r⋅320−r⋅(−2)r≥C20r−1⋅320−r+1⋅(−2)r−1⇒375≤r≤425，
因为r∈N∗，所以r=8，所以系数绝对值最大项是第9项，故选：B.
【变式4-1】若2+axna≠0的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A．−∞,0∪2,3B．−∞,0∪13,12
C．2,3D．13,12
【解题思路】计算n=9，计算T6=C9524ax5，T5=C9425ax4，T7=C9623ax6，根据系数的大小关系得到C9524a5≥C9425a4C9524a5≥C9623a6，解得答案.
【解答过程】2n=512，n=9，T6=C9524ax5，T5=C9425ax4，T7=C9623ax6，
∵第6项的系数最大，∴C9524a5≥C9425a4,C9524a5≥C9623a6,，则2≤a≤3.故选：C.
【变式4-2】已知x-2xn的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A．-448B．-1024C．-1792D．-5376
【解题思路】先根据二项式系数的性质可得n=8，再结合二项展开式的通项求各项系数ar=-2rC8r，分析列式求系数最小项时r的值，代入求系数的最小值.
【解答过程】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n=8，
∴展开式的通项为Tr+1=C8rx8-r-2xr=-2rC8rx8-3r2,r=0,1,...,8，则该展开式中各项系数ar=-2rC8r,r=0,1,...,8
若求系数的最小值，则r为奇数且ar-ar+2≤0ar-ar-2≤0，即-2rC8r--2r+2C8r+2≤0-2rC8r--2r-2C8r-2≤0，解得r=5，
∴系数的最小值为a5=-25C85=-1792故选：C.
【变式4-3】已知2x+1xn的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为37B．二项展开式中二项式系数最大的项为90x32
C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为240x3
【解题思路】由二项式系数之和为64，可得2n=64，得n=6，所以二项式为2x+1x6，然后写出二项式展开式的通式公式Tr+1=C6r(2x)6−r(1x)r，然后逐个分析判断．
【解答过程】因为2x+1xn的二项展开式中二项式系数之和为64，
所以2n=64，得n=6，所以二项式为2x+1x6，
则二项式展开式的通式公式Tr+1=C6r(2x)6−r(1x)r=C6r26−rx6−32r，
对于A，令x=1，可得二项展开式中各项系数之和为36，所以A错；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时r=3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=C6326−3x6−32×3=160x32，所以B错；
对于C，令6−32r=0，则r=4，所以二项展开式中的常数项为C6426−4x6−32×4=60，所以C错误；
对于D，令第r项的系数最大，则C6r26−r≥C6r−126−(r−1)C6r26−r≥C6r+126−(r+1)，解得53≤r≤73，
因为r∈N∗，所以r=2时，二项展开式中系数最大，
则二项展开式中系数最大的项为T3=C6224x3=240x3，所以D正确，故选：D．
【题型5 利用二项式定理证明整除问题或求余数】
【方法点拨】
(1)利用二项式定理证明整除问题，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法：要证明一个式子能被另一个
式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.
(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式，
再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一两项就可以了，要注意余数的范围.
【例5】250−1除以7的余数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】把250转化成4×7+116，再结合二项展开式即可求解.
【解答过程】250=4×248=4×2316=4×7+116 =4×C160⋅716+C161⋅715+⋯+C1615⋅7+C1616
=4×C160⋅716+C161⋅715+⋯+C1615⋅7+4，则250−1=4×C160⋅716+C161⋅715+⋯+C1615⋅7+3，
又4×C160⋅716+C161⋅715+⋯+C1615⋅7是7的倍数，故余数为3.故选：D.
【变式5-1】设a∈Z，且0≤a0，
∴m=14k−1,(k∈N∗)，当k=1时，m=13满足题意.故选：D.
3．1+x2x−1x6的展开式中的常数项是（ ）
A．−160B．−100C．−20D．20
【解题思路】求出2x−1x6的通项公式Tr+1=−1r26−rC6rx3−r，令3−r=0和−1，求解对应常数项即可.
【解答过程】2x−1x6展开式的通项为Tr+1=−1r26−rC6rx3−r，令3−r=0，得r=3，令3−r=−1，得r=4，故1+x2x−1x6展开式的常数项是−8C63+4C64=−100.故选：B．
4．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（ ）
A．9B．10C．36D．45
【解题思路】结合二项式展开式的二项式系数求得正确结论.
【解答过程】由题意知第10行的数就是二项式（a+b）10的展开式中各项的二项式系数，
故第10行第9个数是C108=C102=45．故选：D.
5．在二项式1−4x8的展开式中，下列结论：
①第5项的系数最大；
②所有项的系数和为38；
③所有奇数项的二项式系数和为−27；
④所有偶数项的二项式系数和为27．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】比较二项式(1−4x)8的展开式中第9项的系数与第5项的系数可判断的①正误；利用二项式形式的性质可判断②③④的正误.
【解答过程】第9项的系数为C88⋅(−4)8=48，第5项的系数为C84⋅(−4)4=70×44，4870×44=25670>1，故①错误；令x=1，得所有项的系数和为(−3)8=38，故②正确；所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和且为二项式系数和的一半，故为12×28=27，故④正确，③错误；故选：B.
6．若1+2x1−x+x210=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a21x21，则a2+a4+⋅⋅⋅+a18+a20的值是（ ）
A．1B．2C．1−3102D．3−310
【解题思路】利用赋值法可求出结果.
【解答过程】在1+2x1−x+x210=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a21x21中，令x=0，得a0=1，
令x=1，得a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a21=3，令x=−1，得a0−a1+a2−⋅⋅⋅−a21=−310，
所以a0+a2+a4+⋅⋅⋅+a18+a20 =3−3102，所以a2+a4+⋅⋅⋅+a18+a20=1−3102.故选：C.
二．填空题
7．2x−1x9的展开式中常数项为 −5376 .
【解题思路】利用二项式定理即可得解.
【解答过程】因为2x−1x9的展开通项为Tk+1=C9k2x9−k−1xk=−1k29−kC9kx9−3k2，
当9−3k2=0，即k=3时，T4为常数项，此时T4=−13×26C93x0=−64×9×8×73×2×1=−5376.
故答案为：−5376.
8．已知(1+2x)6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则ba= 12 .
【解题思路】由(a+b)n的二项展开式的通项Tr+1=Cnran−rbr，可知(1+2x)6展开式的二项式系数为C6r(r=0,1,⋯,6)，当r=3时，二项式系数的最大值为a，(1+2x)6展开式的系数为C6r2r(r=0,1,⋯,6)，当满足C6r2r≥C6r+12r+1C6r2r≥C6r−12r−1时，系数的最大值为b，求解即可.
【解答过程】由题意可知(1+2x)6展开式的二项式系数为C6r(r=0,1,⋯,6)，
当r=3时，取得最大值a=C63=20，(1+2x)6展开式的系数为C6r2r(r=0,1,⋯,6)，
当满足C6r2r≥C6r+12r+1C6r2r≥C6r−12r−1时，系数最大.即6!r!⋅(6−r)!2r≥6!(r+1)!⋅[6−(r+1)]!2r+16!r!⋅(6−r)!2r≥6!(r−1)!⋅[6−(r−1)]!2r−1，
∴ 16−r≥2r+12r≥17−r，即r+1≥2(6−r)2(7−r)≥r解得113≤r≤143，
又∵r=0,1,⋯,6，∴r=4时，系数的最大值为b=C6424=240，则ba=24020=12，故答案为：12.
9．若(3x+2)2022=a0+a1x+a2x2+⋯+a2022x2022，则a0+a2+a4+⋯+a2022被12整除的余数为 1 ．
【解题思路】利用赋值法求出a0+a2+a4+⋯+a2022=251011+12，再将251011=24+11011写出其展开式，从而得解；
【解答过程】解：因为(3x+2)2022=a0+a1x+a2x2+⋯+a2022x2022，
令x=1则52022=a0+a1+a2+⋯+a2022①，
令x=−1则12022=a0−a1+a2−a3+⋯+a2022②，
+②得a0+a2+a4+⋯+a2022=52022+12=251011+12，
其中251011=1+241011=C10110⋅11011+C10111⋅24⋅11010+C10112⋅242⋅11009+⋯+C10111011⋅241011
=1+C10111⋅24+C10112⋅242+⋯+C10111011⋅241011，
所以251011+1=2+C10111⋅24+C10112⋅242+⋯+C10111011⋅241011，
则251011+12=1+C10111⋅24+C10112⋅242+⋯+C10111011⋅2410112
其中C10111⋅24+C10112⋅242+⋯+C10111011⋅2410112÷12=C10111⋅24+C10112⋅242+⋯+C10111011⋅24101124
=C10111+C10112⋅24+⋯+C10111011⋅241010，所以251011+12被12整除的余数为1，
所以a0+a2+a4+⋯+a2022被12整除的余数为1；故答案为：1.
三．解答题
10．在x+3xn的二项展开式中，各项系数和与各项二项式系数和之比为32:1.求：
(1)n的值；
(2)展开式中x2的系数.
【解题思路】（1）先求出各项二项式系数和与系数和，根据4n2n=321可求出结果；
（2）根据二项展开式的通项公式可求出结果；
【解答过程】(1)各项二项式系数和为2n，令x=1，则各项系数和为4n，
所以可得4n2n=321，得22n=2n+5，得2n=n+5，得n=5.
(2)由（1）知，n=5，所以x+3x5的展开式的通项为Tk+1=C5k⋅x5−k⋅3k⋅x−k2 =3kC5k⋅x5−32k，
令5−32k=2，得k=2，所以展开式中x2的系数为32⋅C52=90.
11．设x+12x2−15=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11．
(1)求a5的值；
(2)求a0+22a2+24a4+⋯+210a10的值．
【解题思路】（1）根据2x2−15的通项公式，结合x5的产生，即可容易求得其系数；
（2）令x=2,x=−2，对结果变形即可容易求得.
【解答过程】(1)由题意知得a5是展开式x5的系数.
2x2−15的通项公式Tr+1=C5r2x25−r(−1)r=(−1)rC5r25−rx10−2r，0⩽r⩽5，r∈N，
则x+12x2−15=x2x2−15+2x2−15.
令10−2r=4得r=3， 再令10−2r=5得r=52，舍去；
则(−1)rC5r25−r=(−1)3C5322=−40，即a5=−40.
(2)令x=2得3×75=a0+2a1+22a2+⋯+211a11 ①，
令x=−2得−75=a0−2a1+22a2−⋯−211a11 ②，
由①+②2得，a0+22a2+24a4+⋯+210a10=3×75−752=75.
12．已知f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x−3)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+an(x−1)n．
（1）求a2的值；
（2）求a1+a2+a3+⋯⋯+an的值；
（3）求f(20)−20被6整除的余数．
【解题思路】（1）根据二项式定理，由f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512，可求出n=9，再将n=9代入(2x−3)n中，变形可得[2(x−1)−1]9，则a2为其展开式中(x−1)2的系数，由二项式定理可得答案；
（2）由（1）的结论，用赋值法，在(2x−3)9=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a9(x−1)9中令x=1，可求得a0的值，令x=2，可得a0+a1+a2+⋯+an的值，从而可得答案；
（3）根据题意，可得f(20)−20=379−20，变形可得f(20)−20=(36+1)9−20，由二项式定理展开式可得f(20)−20=C90369+C91368+C92367+⋅⋅⋅+C9836−19，进而由整除的性质分析可得答案
【解答过程】解：（1）因为f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512，所以2n=512，解得n=9，
因为(2x−3)9=[2(x−1)−1]9，所以a2=C9722(−1)7=−144，
（2）在(2x−3)9=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a9(x−1)9中，令x=1，则a0=(2×1−3)9=−1，
令x=2，可得a0+a1+a2+⋯+an=a0+a1+a2+⋯+a9=(2×2−3)9=1，
所以a1+a2+a3+⋯⋯+an=a0+a1+a2+⋯⋯+a9−a0=1−(−1)=2
（3）f(20)−20=(36+1)9−20=C90369+C91368+C92367+⋅⋅⋅+C9836+C99−20，
=C90369+C91368+C92367+⋅⋅⋅+C9836−19，
因为（C90369+C91368+C92367+⋅⋅⋅+C9836）能被6整除，而−19=(−4)×6+5，即−19被6整除余数为5，所以f(20)−20被6整除的余数为5.
13．已知1+mxn(m∈R,n∈N)的展开式满足 ．
①二项式系数之和为32，②含x3项的系数为80，③第三项与第四项二项式系数相等．
从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处，求解下列问题．
(1)求m,n的值；
(2)求(1+mx)n(1−x)3展开式中含x2项的系数．
【解题思路】（1）由二项式系数的性质可知，由①或③可得n，再由②中指定项系数可得m；
（2）由二项式定理分别展开(1+mx)n和(1−x)3，然后相乘后合并可得.
【解答过程】(1)若选①②由题意，2n=32，则n=5；
由通项Tr+1=C5rmrxr(r=0,1,⋯,5)知r=3时得含x3项，所以C53m3=80，所以m=2；
若选②③由第三项与第四项二项式系数相等，得Cn2=Cn3则n=5，
由通项Tr+1=C5rmrxr(r=0,1,⋯,5)知r=3时得含x3项，所以C53m3=80，所以m=2
(2)即求(1+2x)5(1−x)3展开式中含x2项的系数，
(1+2x)5(1−x)6= [C50+C51(2x)1+C52(2x)2+⋅⋅⋅](C30−C31x+C32x2−C33x3)
=(1+10x+40x2+⋅⋅⋅)(1−3x+3x2−3x3)，
所以展开式中含x2项的系数为40×1+10×(−3)+1×3=13．
14．已知在x+123xn的展开式中，前3项的系数分别为a1,a2,a3，且满足2a2=a1+a3.求：
(1)展开式中二项式系数最大项的项；
(2)展开式中系数最大的项；
(3)展开式中所有有理项.
【解题思路】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求n，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项；(2)设第k+1项系数最大，列不等式组求k，由此确定系数最大的项；
(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.
【解答过程】（1）因为x+123xn展开式的通项公式为Tk+1=Cnkxn−k⋅123xk=12kCnkx3n−5k6，k=0,1,2⋅⋅⋅,n，
所以a1=120Cn0=1,a2=121Cn1=12n,a3=122Cn2=nn−18,
依题意得2×12n=1+nn−18，即nn−1=8(n−1)，由已知n≥2,所以n=8，
所以x+123x8的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，所以T5=124C84x23=358x23.
（2）由（1）知，Tk+1=12kC8kx24−5k6，
设展开式中系数最大的项为第k+1项，则12kC8k≥12k−1C8k−112kC8k≥12k+1C8k+1，即8!k!⋅8−k!≥2⋅8!k−1!⋅9−k!2⋅8!k!⋅8−k!≥8!k+1!⋅7−k!，即9−k≥2k2k+2≥8−k，解得2≤k≤3，所以k=2或k=3，
所以展开式中系数最大的项为T3=122C82x24−106=7x73和T4=123C83x96=7x32.
（3）由Tk+1=12kC8kx24−5k6 (k=0,1,2,3,4,5,6,7,8)为有理项知，24−5k6为整数，得k=0，6，
所以展开式中所有有理项为T1=120C80x246=x4和T7=126C86x−66=716x.