人教A版 (2019)选择性必修 第三册分类变量与列联表优秀教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册分类变量与列联表优秀教学设计，共12页。教案主要包含了讲授新课，例题讲解，当堂检测等内容，欢迎下载使用。

课题名
8.3.2 独立性检验
教学目标
1.了解随机变量χ2的意义，通过对典型案例分析，
2.了解独立性检验的基本思想和方法.
教学重点
2×2列联表，独立性检验的思想和方法
教学难点
卡方统计量的导出和意义，独立性检验的思想和方法
教学准备
教师准备：幻灯片、黑板、投影
学生准备：笔、纸、课本
教学过程
新课引入
前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联．
对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大．因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算．
二、讲授新课
我们将两个分类变量的列联表抽象简化，以0，1分别表示事件发生的两种结果，如下表所示，独立的另一层含义，即我们需要了解事件与是否存在关联？
我们知道与不独立，互为对立事件，与不独立，互为对立事件．
我们需要判断下面的假定关系：是否成立？
设和为定义在上，取值于的成对分类变量．我们希望判断事件和之间是否有关联．注意到和，和都是互为对立事件，与前面的讨论类似，我们需要判断下面的假定关系
是否成立，通常称为零假设或原假设．
这里，表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率，而表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率．
由条件概率的定义可知，零假设等价于
或
①
注意到和为对立事件，于是，再由概率的性质，我们有
．
由此推得①式等价于
．
因此，零假设等价于与独立．
根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价：
与独立；与独立；与独立；与独立．
如果这些性质成立，我们就称分类变量和独立，这相当于下面四个等式成立：
；；
；．
因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为：
：分类变量和独立．
根据我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表8.3-3所示．
表8.3-3
合计
合计
8.3-3是关于分类变量和的抽样数据的列联表：最后一行的前两个数分别是事件和的频数；最后一列的前两个数分别是事件和的频数；中间的四个数是事件的频数；右下角格中的数是样本容量．
对于随机样本，表8.3-3中的频数a，b，c，d都是随机变量，而表8.3中的响应数据是这些随机变量的一次观测结果．
在零假设成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理，由②中的第一个等式，我们可以用概率和对应的频率的乘积
估计概率，而把
视为事件发生的频数的期望值（或预期值）．这样，该频数的观测值和应该比较接近．
综合②中的四个式子，如果零假设成立，下面四个量的取值都不应该太大：
，，，．③
反之，当这些量的取值较大时，就可以推断不成立．
显然，分别考虑③中的四个差的绝对值很困难．我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量，来推断是否成立．一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小．
为了合理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量：
．
该表达式可化简为
． （1）
根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以通过确定一个与相矛盾的小概率事件来实现．
在假定的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量充分大时，统计学家得到了的近似分布．忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得下面关系成立：
．
我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准．概率值越小，临界值越大．当总体很大时，抽样有、无放回对的分布影响较小．因此，在应用中往往不严格要求抽样必须是有放回的．
由④式可知，只要把概率值取得充分小，在假设成立的情况下，事件是不大可能发生的．根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断不成立．不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过．
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立．
这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(test f independence)．
表8.3-4给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
表8.3-4
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
例如，对于小概率值，我们有如下的具体检验规则：
（1）当时，我们推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05；
（2）当时，我们没有充分证据推断不成立，即认为和独立．
三、例题讲解
例2 依据小概率值的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
解：零假设为：分类变量和相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异．
根据表8.3-2中的数据，计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异．
例3某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好．
解：零假设为
：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如表8.3-5所示．
表8.3-5 单位：人
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
例4为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表8.3-6所示．依据小概率值的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险．
表8.3-6 单位：人
吸烟
肺癌
合计
非肺癌患者
肺癌患者
非吸烟者
7775
42
7817
吸烟者
2099
49
2148
合计
9874
91
9965
解：零假设为
：吸烟与患肺癌之间无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
根据表8.3-6中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
和；
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
和．
由
可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上．于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率，即吸烟更容易引发肺癌．
总结上面的例子，应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：
（1）提出零假设：和相互独立，并给出在问题中的解释．
（2）根据抽样数据整理出列联表，计算的值，并与临界值比较．
（3）根据检验规则得出推断结论．
（4）在和不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析和间的影响规律．
注意，上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整例如，在有些时候，分类变量的抽样数据列联表是问题中给定的．
课堂小结
1. 小概率值α的临界值:
2. χ2计算公式：
3. 基于小概率值α的检验规则是:
4.分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
5.独立性检验的一般步骤：
五、当堂检测
1．对于例3中的抽样数据，采用小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好．
1．【解析】根据题意，．依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即可以认为两种疗法的效果有差异，该推断犯错误的概率不超过0.05．
甲种疗法未治愈和治愈的频率分别是和，乙种疗法未治愈和治愈的频率分别是和，因此可以推断乙种疗法的效果比甲种疗法好．
2．根据同一抽查数据推断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，是否会得出不同的结论？为什么？
2．【解析】可能会得出不同的结论．对同一抽样数据，计算出来的的值是确定的．在独立性检验中，基于不同的小概率值的检验规则，对应不同的临界值，其与的大小关系可能不同，相当于检验的标准发生变化，因此结论可能会不同．
3．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：
单位：只
药物A
疾病B
合计
未患病
患病
未服用
29
15
44
服用
47
14
61
合计
76
29
105
依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性．
3．【解析】零假设为：药物A与预防疾病B无关联，即药物A对预防疾病B没有效果．根据列联表中的数据，经计算得到．根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立．因此可以认为药物A对预防疾病B没有效果．
4．从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：
单位：人
数学成绩
语文成绩
合计
不优秀
优秀
不优秀
212
61
273
优秀
54
73
127
合计
266
134
400
依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
4．【解析】零假设为：数学成绩与语文成绩独立，即数学成绩与语文成绩没有关联．根据列联表中的数据，经计算得到．根据的独立性检验，我们可以推断不成立，即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05．
数学成绩不优秀的人中语文成绩不优秀和优秀的频率分别为和；数学成绩优秀的人中语文成绩不优秀和优秀的频率分别为和．由此可以看出，数学成绩优秀的人中语文成绩优秀的频率明显高于数学成绩不优秀的人中语文成绩优秀的频率．根据频率稳定于概率的原理，我们可以推断，数学成绩优秀的人其语文成绩优秀的概率较大．
布置作业
课本P135 习题8.3 8题
板书设计
1. 小概率值α的临界值:
2. χ2计算公式：
3. 基于小概率值α的检验规则是:
4.分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
5.独立性检验的一般步骤：
教学反思