高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用一等奖第2课时教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用一等奖第2课时教学设计，共8页。教案主要包含了讲授新课，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

课题名
8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）
教学目标
1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.
2.了解非线性回归模型.
3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.
教学重点
一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法.
教学难点
求最小二乘估计，残差分析.
教学准备
教师准备：幻灯片、黑板、投影
学生准备：笔、纸、课本
教学过程
新课引入
问题 人们常将男子短跑100 m的高水平运动员称为“百米飞人”．表8.2-5给出了1968年之前男子短跑100 m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据，试依据这些成对数据，建立男子短跑100 m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程．
表8.2-5
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
年份
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
记录/s
11.80
10.60
10.40
10.30
10.20
10.10
10.00
9.95
以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得到图8.2-12．
在图8.2-12中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程．
用Y表示男子短跑100 m的世界纪录，t表示纪录产生的年份，利用一元线性回归模型
来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系．根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为
．①
将经验回归直线叠加到散点图，得到图8.2-13
仔细观察图8.2-12，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近．回顾已有的函数知识，可以发现函数的图象具有类似的形状特征．注意到100 m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线的周围，其中，为未知的参数，且．
用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中，是待定参数．现在问题转化为如何利用成对数据估计参数和．
为了利用一元线性回归模型估计参数和，我们引进一个中间变量x，令．通过，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据(精确到0.01)，如表8.2-6所示．
表8.2-6
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
x
0.00
2.83
3.26
3.56
3.71
4.11
4.17
4.29
Y/s
11.80
10.60
10.40
10.30
10.20
10.10
10.00
9.95
如果表8.2-6对应的散点图呈现出很强的线性相关特征，我们就可以借助一元线性回归模型和新的成对数据，对参数和作出估计，进而可以得到Y关于t的非线性经验回归方程．
在直角坐标系中画出表8.2-6中成对数据的散点图，如图8.2-14所示，散点的分布呈现出很强的线性相关特征．
因此，用一元线性回归模型
拟合表8.2-6中的成对数据，得到经验回归方程
，(*)
再在图8.2-14中画出(*)式所对应的经验回归直线，得到图8.2-15．
(1).直接观察法.在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①的图象(红色).
图8.2-15表明，经验回归方程(*)对于表8.2-6中的成对数据具有非常好的拟合精度．将图8.2-15习图8．2-13进行对比，可以发现和之间的线性相关程度比原始样本数据的线性相关程度强得多．
将代入式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程
②
在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象（蓝色）以及经验回归方程①的图象（红色），表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①．
下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏．在表8.2-5中，用表示编号为的年份数据，用表示编号为的纪录数据，则经验回归方程①和②的残差计算公式分别为
二、讲授新课
（2).残差分析:残差平方和越小,模型拟合效果越好.
两个经验回归方程的残差（精确到0.001)如表8.2-7所示．观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程②远远小于①，即经验回归方程②的合效果要远远好于①．
表8.2-5
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
-0.301
-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
0.015
-0.018
0.052
-0.021
-0.022
在一般情说下，直接比较两个模型的残差比较困难，因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些散点的情况则相反．可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果．由
，．
可知小于．因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型
的拟合效果要优于一元线性回归模型
的拟合效果．
（3）.利用决定系数刻画回归效果.
也可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为
在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关．因此越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
由表8.2-7容易算出经验回归方程①和②的分别约为0.7325和0.9983，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多．
用新的观测数据来检验模型的拟合效果
另外，我们还可以用新的观测数据来检验模型的拟合效果．事实上，我们还有1968年之后的男子短跑100 m世界记录数据，如表8.2-8所示．
表8.2-8
编号
9
10
11
12
13
14
15
年份
1983
1988
1991
1991
1994
1996
1999
记录/s
9.93
9.92
9.90
9.86
9.85
9.84
9.79
编号
16
17
18
19
20
21
年份
2002
2005
2007
2008
2008
1009
记录/s
9.78
9.77
9.74
9.72
9.69
9.58
在散点图8.2-12中，绘制表8.2-8中的散点（绿色），再添加经验回归方程①所对应的经验回归直线（红色），以及经验回归方程②所对应的经验回归曲线（蓝色），得到图8.2-17显然绿色散点分布在蓝色经验回归曲线的附近，远离红色经验回归直线，表明经验回归方程②对于新数据的预报效果远远好于①．
三、课堂小结
1.
(1)非线性回归模型.
(2)决定系数.
2．比较两个模型拟合效果的方法：
(1)残差法，残差越大，拟合效果越差；残差越小，拟合效果越小．
(2)R2法，R2越接近1，拟合效果越好，R2越接近0，拟合效果越差．
布置作业
第121页习题8.2第4题.
板书设计
1.
(1)非线性回归模型.
(2)决定系数.
2．比较两个模型拟合效果的方法：
(1)残差法，残差越大，拟合效果越差；残差越小，拟合效果越小．
(2)R2法，R2越接近1，拟合效果越好，R2越接近0，拟合效果越差．
教学反思