选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用优秀第1课时教学设计

这是一份选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用优秀第1课时教学设计，共10页。教案主要包含了讲授新课，课堂小结，当堂检测等内容，欢迎下载使用。

课题名
8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）
教学目标
1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.
2.了解非线性回归模型.
3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.
教学重点
一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法.
教学难点
求最小二乘估计，残差分析.
教学准备
教师准备：幻灯片、黑板、投影
学生准备：笔、纸、课本
教学过程
新课引入
在一元线性回归模型中，表达式刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计．由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近．
二、讲授新课
有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如图8.2-2所示．
有的同学可能会想，可以在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图8.2-3所示．
还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图8.2-4所示．
同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行．
上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径先进一步明确我们面临的任务：从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”．
通常，我们会想到利用点到直线的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然
后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度我们设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，，…，，由，得．显然越小，表示点与点的“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小，如图8.2-5所示．特别地，时，表示点在这条直线上．
因此，可以用这n个竖直距离之和
来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”．
问题3.你能结合具体实例解释产生模型①中随机误差项的原因吗？
在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和
来刻画“整体接近程度”．
在上式中，是已知的成对样本数据，所以Q由a和b所决定，即它是a和b的函数．因为Q还可以表示为，即它是随机误差的平方和，这个和当然越小越好，所以我们取使Q达到最小的a和b的值，作为截距和斜率的估计值．
下面利用成对样本数据求使Q取最小值的a，b．
记，．因为
，
注意到
所以．
上式右边各项均为非负数，且前n项与a无关．所以，要使Q取到最小值，后一项的值应为0，即此时．
上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为
．
综上，当a，b的取值为
（2）
时，Q达到最小．
我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate)．
问题5：利用下表的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程。
对于表8.2-1中的数据，利用公式(2)可以计算出，，得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为，相应的经验回归直线如图8.2-6所示．
问题6：当时，．如果一位父亲的身高为176 cm，他儿子长大成人后的身高一定是177 cm吗?为什么?
【师生互动】教师提出问题，学生回答：儿子的身高不一定会是177cm,这是因为还有其他影响儿子身高的因素.回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响，父亲的身高不能完全决定儿子的身高.不过，我们可以作出推测，当父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右.
显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高．不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176 cm时，儿子身高一般在177 cm左右．
实际上，如果把这所学校父亲身高为176 cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177 cm是这个子总体的均值的估计值．
这里的经验回归方程，其斜率可以解释为父亲身高每增加1 cm，其儿子身高平均增加0.839 cm．分析模型还可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高，例如
，则；
矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高，例如
，则；
英国著名统计学家高尔顿 (F. Galtn, 1822—1911）把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为 “回归现象”．后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析．
根据模型，父亲身高为多少时，长大成人的儿子的平均身高与父亲的一样? 你怎么看这个判断?
在方程，令，解得．表明成年男性的平均身高约为179.857 cm．
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差．
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差．
观察表8.2-2可以看到，残差有正有负，残差的绝对值最大是4.413．观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边．说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为的随机变量的观测值．可见，通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设．
一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析．借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策．
问题5：观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？
根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值．在图8.2-8中，图（1）显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；图（2）显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分；图（3）说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大图（4）的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内．可见，在图8.2-8中，只有图（4）满足一元线性回归模型对随机误差的假设．
三、课堂小结
(1)一元线性回归模型.
最小二乘法.
(3)残差.
四、当堂检测
1．对一元线性回归模型参数a和b的估计中，有人认为：“估计方法不止一种，根据不同的样本观测数据到直线‘整体接近程度’的定义，可以得到参数a和b不同的估计，只要‘整体接近程度’定义合理即可．”你觉得这个说法对吗?
1．这个说法是对的．选择刻画散点趋势的直线可以有不同的标准，取决于“整体接近程度”的定义，定义不同，得到参数和的估计往往也不同．例如，我们可以用刻画“整体接近程度”得到参数和的最小二乘估计，也可以用刻画“整体接近程度”得到参数和的估计，二者估计的结果一般不同．
2．假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为．已知父亲身高为175 cm，请估计女儿的身高．
2．因为，所以估计女儿的身高为左右．
3．根据8.1.1节表8.1-1中的数据，建立人体的脂肪含量关于年龄的经验回归方程，画出残差图，描述残差图的特点．
3．先画人体的脂肪含量与年龄的散点图，如图(1)所示．由散点图可以发现人体的脂肪含量与年龄呈现近似线性关系，可以用一元线性回归模型刻画．
用表示脂肪含量，表示年龄．用统计软件计算，可得到人体的脂肪含量关于年龄的经验回归方程为．画残差图，如图(2)所示，通过残差图可以看到，残差比较均匀地分布在横轴的两边．说明残差比较符合一元线性回归模型对随机误差的假设．
4．计算表8.2-2中的所有残差之和，你能发现什么规律?
4．经计算可知残差的总和为0.027，这是由于计算过程中四舍五入的原因导致．因为
所以理论上残差的总和应等于0．
5．假设变量x与变量Y的n对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型
请写出参数b的最小二乘估计．
5．令，
则是关于的二次函数．要使取得最小值，当且仅当的取值为．
布置作业
教科书第113页练习第2、3题.
板书设计
(1)一元线性回归模型.
最小二乘法.
(3)残差.
教学反思