人教版（2024）七年级下册（2024）实数及其简单运算教案设计

这是一份人教版（2024）七年级下册（2024）实数及其简单运算教案设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
8.3 实数及其简单运算（1）
【教学目标】
1．通过和有理数类比探究无理数,理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数；
2．理解实数的概念，会把实数进行分类．
3．通过类比、分类、转化等数学思想方法的应用，积累发展数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验．
【教学重点】实数的概念．
【教学难点】实数的分类．
【教学过程】
一、情境导入
引入 在前面的学习中，我们通过引入一类新的数——负数，使数的范围扩充到有理数。本章我们认识了像这样的无限不循环小数，它们是有理数吗?如果不是，我们将再次扩充数的范围.本节课开始学习，课题是：8.3 实数及其简单运算（1）（展示课题）
二、合作探究
探究一：无理数概念
活动1 探究 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么?
·
学生操作，并归纳：可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．
追问1：整数可以写成小数形式吗？
学生讨论：整数可以写成小数点后为0的小数.
追问2： 有理数都可以写成什么样的小数形式？
学生归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或
无限循环小数也都是有理数.
追问3：从上面的结论看，有理数一定能写成两个整数之比(分数)的数？你能说出理由吗？
学生发表意见：有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，有限小数或无限循环小数都能写成两个整数之比(分数)的形式.
教师强调：看一个是否是有理数，就看这个数能否表示为两个整数之比(分数)的形式.
活动2：什么是无理数？
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如√2，等.π=3.141 59265…也是无限不循环小数.
追问1：从上面的讨论可知，无限不循环小数都不是有理数.我们需要再次扩充数的范围，无限不循环小数又叫作什么数呢？
学生交流：叫无理数，即无限不循环小数又叫无理数.
追问2：你认为无限不循环小数可以表示成两个整数之比(分数)的形式吗？如果能，举一例.
学生讨论，教师强调：无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.
活动3：无理数的分类.
追问1：类比有理数，无理数怎样分类？你能举例吗？
学生讨论：无理数也有正负之分.
追问2：有理数分为正数、0、负数，为什么无理数只有正、负之分呢？
学生比较：无理数不含0.
活动4：溯源 我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”
探究二：实数及分类
活动5：再次扩充数的范围后，有理数和无理数合在一起是什么实数呢？
师生共同：有理数和无理数统称实数.
活动6：怎样给实数分类？
追问1：前面我们给数进行分类，是按什么原则进行的？
学生交流、讨论：不重复，不遗漏.
追问2：如果按照有理、无理你想怎样进行分类？
学生讨论：实数分类如下:

这样满足每一类数不重不漏.
追问3：如果按正、负来分，实数又怎么分？
学生讨论：实数分类如下:

活动6：概念辨别
例1 把下列各数分别填到相应的括号内：
－3.6，eq \r(27)，eq \r(4)，5，eq \r(3,－7)，0，eq \f(π,2)，－eq \r(3,125)，eq \f(22,7)，3.14，0.10100….
(1)有理数：{ …}；
(2)无理数：{ …}；
(3)整数：{ …}；
(4)负实数：{ …}．
学生活动：根据实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复，将符合条件的数填入相应括号．
解：(1)有理数集合{－3.6，eq \r(4)，5，0，－eq \r(3,125)，eq \f(22,7)，3.14，…}；
(2)无理数集合{eq \r(27)，eq \r(3,－7)，eq \f(π,2)，0.10100…，…}；
(3)整数集合{eq \r(4)，5，0，－eq \r(3,125)，…}；
(4)负实数集合{－3.6，eq \r(3,－7)，－eq \r(3,125)，…}．
例2 下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数B．无限小数都是无理数
C．实数可以分为正实数和负实数两类D．正实数包括正有理数和正无理数
学生活动：根据实数的分类可进行判断．
解：A、无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误；B、无限不循环小数是无理数，原说法错误；C、实数可分为正实数、零和负实数，原说法错误；D、正实数包括正有理数和正无理数，说法正确；
故选D．
探究三：实数与数轴
活动7：回顾数轴
学生复习：规定了原点、单位长度、正方向的直线；任何一个有理数都可以在数轴上的点表示．
问题：有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点表示吗？
我们以π，为例，看一看如何在数轴上表示无理数.
活动8：无理数π如何在数轴上表示.
思考 以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，点对应的数是多少?
从图中可以看出，的长是这个圆的周长π，所以点对应的数是π.这样，数轴上的点就表示无理数π.
活动9：如何在数轴上表示.
学生操作：以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示.
追问1：为什么这两点分别表示的是点？
学生从前面平方根的引入中加以说明.
追问2：类比有理数，无理数也可以用数轴上的点表示，无理数与数轴上点之间有什么关系？
学生讨论归纳：数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度;表示负无理数-b (b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度.
活动10：实数和数轴上的点之间的关系
追问1：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示吗？
师生共同归纳：有理数、无理数都可以用数轴上的点表示，表明当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.
追问2：数轴上的每一个点都可以表示一个实数吗？实数与数轴上的点是什么对应关系？
师生共同归纳：数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的.
活动11：在数轴上的点表示的数的大小比较.
师生共同归纳：与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
活动12： 例3 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是eq \r(,2)和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
师生共同分析：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
解：∵eq \r(,2)≈1.414，∴eq \r(,2)和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．
故选C.
三、强化巩固
1．练习：1、2、3．
小组合作完成．
2．拓展训练：阅读理解：
一般地，在数轴上点A，B表示的实数分别为a，，则A，B两点的距离．如图，在数轴上点A，B表示的实数分别为，4，则记，，因为，显然A，B两点的距离．若点C为线段的中点，则，所以，即．

解决问题：
(1)直接写出线段的中点C表示的实数 ；
(2)在点B右侧的数轴上有点P，且，求点P表示的实数；
(3)在（2）的条件下，点M是的中点，点N是的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，那么点B的速度为每秒多少个单位长度？
【分析】（1）根据阅读材料可得线段的中点C表示的实数；
（2）在点B右侧的数轴上有点P，且，列出方程即可求点P表示的实数xP；
（3）在（2）的条件下，根据点M是的中点，点N是的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，即可求出点B的速度．
【解】（1）∵，，点C为线段的中点，
∴． 故答案为；
（2）∵，
∴，
解得 答：点P表示的实数；
（3）如图，

∵点M是的中点，点N是的中点，
∴，
∴
∴
∵A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，
∴的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，则，
设点B的速度为每秒x个单位长度，则点A的速度为每秒个单位长度，根据题意可知：3秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，
当点A在点B左侧时，， 解得；
当点A在点B右侧时，，解得．
答：B点速度为每秒1或个单位长度．
四、总结拓展
1．无限不循环小数又叫无理数；有理数与无理数统称为实数；
2．实数通常按两种方法进行分类；
3.实数与数轴上的点是一一对应关系；和有理数的大小一样，数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
4．实数的概念主要是与有理数进行类比，通过类比、分类讨论、转化等数学思想方法的应用，积累数学发展的思想方法和基本经验．
五、作业布置
必做作业：课本习题8.3第1、2、6题．
选做作业：课本习题8.3第7题．
附：板书设计
例1.
例2.
例3.
学生练习板演（拓展训练）
8.3 实数及其简单运算（1）
探究一：无理数概念
探究二：实数及分类
探究三：实数与数轴