数学七年级上册（2024）几何图形学案及答案

这是一份数学七年级上册（2024）几何图形学案及答案，共54页。
6.1.1 立体图形与平面图形
1.几何图形:
从实物中抽象出来的各种图形都是几何图形.
2.立体图形:有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形.几种常见的立体图形及其特征见下表.

3.平面图形:有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.
4.平面图形与立体图形的关系:平面图形与立体图形是两类不同的几何图形.但它们是相互联系的.很多立体图形的某些部分是平面图形,例如,长方体的侧面是长方形.常见的平面图形如下表所示.


5.归纳总结:
平面图形的各个部分都在同一平面内,立体图形的各个部分不都在同一平面内.
把几个不同的平面图形在同一平面内组合起来时,能形成多彩的平面图形.
6.从不同方向看几何体:
(1)立体图形的正面、后面、左面、右面、上面、下面如下图所示.
(2)从正面看立体图形所得到的平面图形,也称为主视图;从上面看立体图形所得到的平面图形,也称为俯视图;从左面看立体图形所得到的平面图形,也称为左视图.
(3)立体图形的左面与右面之间的水平长度记为长,前面与后面之间的水平宽度记为宽,上面与下面之间的垂直高度记为高.如下图所示.
(4)常见的几何体从不同的方向看到的图形如下表所示.
续表

7.展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当展开,可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
8.注意:立体图形是由平面或曲面或平面和曲面围成的,可以把有些立体图形展开成平面图形.同一个立体图形,按不同的方式展开得到的平面展开图可能是不一样的.可以将展开的图折叠,观察所成的立体图形是否和原来一样.但不是所有的立体图形都有平面展开图,如球.
9.常见几何体的展开图
(1)圆柱和圆锥的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是一个长方形或正方形,这个长方形或正方形相邻两边的长分别是圆柱的高和底面周长;圆锥的侧面展开图是一个扇形.
(2)棱柱和棱锥的展开图:棱柱和棱锥都是由平面图形围成的多面体,沿它们的某些棱将它们剪开,所得的平面图形就是它们的平面展开图.对于同一个立体图形,当我们按不同的方式展开时,得到的平面展开图可能是不一样的.
(3)正方体的平面展开图有11种,按每行中小正方形个数的不同可分为四类.
①一四一型,如图所示:
②一三二型,如图所示:
③三三型,如图所示:
④二二二型,如图所示:
(4)常见的其他立体图形的展开图如下表所示:
10.根据展开图判断立体图形的规律:
(1)展开图全是长方形或正方形(6个)时,应考虑长方体或正方体.
(2)展开图中含有三角形时,应考虑棱锥或棱柱,若展开图全是三角形(4个),则必是三棱锥.
(3)展开图中含有圆和长方形时,一般应考虑圆柱.
(4)展开图中含有扇形时,应考虑圆锥.
1.下列四个几何体中,是三棱柱的为( )

A B
C D
【知识点】 立体几何
【答案】 C
【解析】 A.该几何体为四棱柱,不符合题意;B.该几何体为圆锥,不符合题意;C.该几何体为三棱柱,符合题意;D.该几何体为圆柱,不符合题意.
2.一圆柱形桶内装满了水,已知桶的底面直径和高都为m,另一长方体形容器的长为m,宽为12m,若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中刚好倒满,则长方体形容器的高为( )
A.2mπB.12mπ
C.14mπD.4mπ
【知识点】 立体几何
【答案】 B
【解析】 πm22·m÷m·12m=π·m34÷m22=12mπ.
所以长方体形容器的高为12mπ.
3.下列各组图形中都是平面图形的是( )
A.三角形、圆、球、圆锥
B.点、线段、棱锥、棱柱
C.角、三角形、正方形、圆
D.点、角、线段、长方体
【知识点】 平面图形
【答案】 C
【解析】 A.球、圆锥是立体图形,错误;B.棱锥、棱柱是立体图形,错误;C.角、三角形、正方形、圆是平面图形,正确;D.长方体是立体图形,错误.
4.骰子是一种特别的数字立方体(如图),它符合规则:相对两面的点数之和总是7,图中可以折成符合规则的骰子的是( )
A B
C D
【知识点】 立体图形展开图
【答案】 C
【解析】 本题考查正方体的展开图,可根据相对的面不相邻逐一排除.
一、选择题
1.下列图形中,属于立体图形的是( )
A B
C D
2.如图是交通禁止驶入标志,组成这个标志的几何图形有( )
A.圆、长方形B.圆、线段
C.球、长方形D.球、线段
3.下列几何体中,是圆柱的为( )
A B
C D
4.下面图形中,是棱柱的为( )
A B
C D
5.下列物体中,形状属于球体的是( )
A B
C D
6.下列图形中,属于圆锥的是( )
A B
C D
7.如图,陀螺是由哪两个几何体组合而成的?( )
A.长方体和圆锥
B.长方形和三角形
C.圆和三角形
D.圆柱和圆锥
二、填空题
8.如图,下列几何体属于柱体的有 个.
9.观察下图中几何体,在横线上分别写出它们的名称:
10.一个正方体有 个面, 条棱, 个顶点.
11.如下图所示,将半圆形薄片绕轴旋转一周,得到的几何体是 .
选择题
1.一个几何体的边面全部展开后铺在平面上,不可能是( )
A.一个三角形 B.一个圆
C.三个正方形D.一个小圆和半个大圆
2.下列图形中,是棱锥展开图的是( )
A B
C D
3.下列四个立体图形中,主视图、左视图、俯视图都相同的是( )
A B
C D
4.桌面上放置的几何体中,主视图与左视图可能不同的是( )
A.圆柱B.正方体
C.球D.直立圆锥
5.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体,其左视图是( )
A B C D

6.1.2 点、线、面、体
1.体:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体.几何体也简称体.
2.面:包围着体的是面.面有平面和曲面之分.如桌面可以想象为一个平面,皮球的表面可以想象为一个曲面.现实世界中是找不到几何中的面的.面是从实际物体中抽象出来的图形.几何重点研究平面,把它看成一个到处平直,没有厚度,向各个方向无限延展的面.
3.线:面和面相交的地方形成线.线有直线和曲线之分.如一束光线,可以想象成直线.一个圆桌的边可以想象成曲线.同样,几何中所说的线,也只能从实物中想象.
4.点:线和线相交的地方是点.对于点,我们在纸上画一个点就代表一个点,有时在地图上把一个城市看成一个点.
5.从运动的角度理解点、线、面、体:
(1)点动成线:如将笔尖看作一个点,笔尖在纸上运动形成线.
(2)线动成面:如将自行车车轮的钢丝辐条看作线,自行车骑得飞快,钢丝辐条看起来就形成了一个面.
(3)面动成体:如将一枚硬币在桌面上立起用力一旋,就会看到形成一个球体.
1.下列说法中,不正确的个数为( )
①平面上的线都是直线;
②曲面上的线都是曲线;
③两条线相交只能得到一个交点;
④两个面相交只能得到一条线.
A.4 B.3 C.2 D.1
【知识点】 点、线、面
【答案】 A
【解析】 线有直线、曲线之分,根据点动成线,在平面上或曲面上都可以由一点任意运动形成直线或曲线,而不能误认为平面上的线就是直线,曲面上的线就是曲线,故说法①②错误.说法③中没有明确是两条怎样的线相交,如一条曲线可以与一条直线相交形成无数个交点.同样两个曲面相交也可能得到不止一条线.
本题主要考查几何基本概念的辨析.线有直线和曲线之分,面有平面和曲面之分,所以我们考虑问题要全面.
2.下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个?
【知识点】 点、线、面、体
【答案】 (1)4个面,6条线,4个点;(2)6个面,12条线,8个点;(3)9个面,16条线,9个点.
【解析】 根据几何体自身特点确定每个几何体的面、线、点.
一、选择题
1.下列结论中正确的是( )
①圆柱由3个面围成,这3个面都是平面;
②圆锥由2个面围成,这2个面中,1个是平面,1个是曲面;
③球仅由1个面围成,这个面是平面;
④正方体由6个面围成,这6个面都是平面.
A.①②B.②③
C.②④D.①④
2.下列现象中,能说明“线动成面”的是( )
A.旋转一扇门,门在空中运动的痕迹
B.扔一块小石子,石子在空中飞行的路线
C.天空划过一道流星
D.汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹
3.下列几何体中,全是由曲面围成的是( )
A.圆锥B.正方体
C.圆柱D.球
4.下列立体图形中,面数相同的是( )
①圆柱;②圆锥;③正方体;④四棱柱
A.①④B.①②
C.②③D.③④
5.下列说法中,正确的是( )
A.用一个平面去截一个圆锥,截面不可以是椭圆
B.棱柱的所有侧棱长都相等
C.用一个平面去截一个圆柱体,截面可以是梯形
D.用一个平面去截一个长方体,截面不能是正方形
6.下列说法中,不正确的是( )
A.球的截面一定是圆
B.组成长方体的各个面中不可能有正方形
C.从三个不同的方向看正方体,可能得到的都是正方形
D.圆锥的截面可能是圆
二、填空题
7.(1)长方体、正方体都有 个面,长方体的6个面可能都是 形,也有可能有2个面是 形,它的 面完全相同.
(2)正方体的6个面都是 形,6个面的面积 .
(3)圆柱的上、下底面是 ;
(4)圆锥的底面是 .
8.(1)三棱柱的上、下底面是 ,侧面是 .
(2)四棱柱的上、下底面是 ,侧面是 .
三、判断正误
9.(1)圆柱的上下两个面一样大.( )
(2)圆柱、圆锥的底面都是圆.( )
(3)棱柱的底面是四边形.( )
(4)棱锥的侧面都是三角形.( )
(5)棱柱的侧面可能是三角形.( )
(6)圆柱的侧面展开是长方形.( )
(7)球体不是多面体.( )
(8)圆锥是多面体.( )
(9)棱柱、棱锥都是多面体.( )
(10)柱体都是多面体.( )
一、选择题
1.下列图形中有14条棱的是( )
A B
C D
2.有几何体:①球;②长方体;③圆柱;④圆锥;⑤正方体.用一个平面去截上面的几何体,其中能截出圆的几何体有( )
A.4个B.3个
C.2个D.1个
3.扎西将一个直角三角尺绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体,将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是( )
A B
C D
4.将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周,得到的立体图形是( )
A B
C D
二、解答题
5.观察如图所示的棱锥,回答下列问题:
(1)这个图形是平面图形还是立体图形?
(2)图中有多少个顶点?多少条线段?多少个平面?
(3)图中有哪些平面图形?

6.2 直线、射线、线段
6.2.1 直线、射线、线段
一、直线
基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单说成:两点确定一条直线.
特征:无端点;向两边无限延伸;无长短.
1.表示方法:
(1)用一个小写字母表示.
(2)用直线上任意两点表示.
图形示例:直线a或直线AB.
2.点和直线的位置关系有两种:
(1)点在直线上,或者说直线经过这个点.如图中,点O在直线l上,也可以说成是直线l经过点O.
(2)点在直线外,或者说直线不经过这个点.如图中,点P在直线l外,也可以说直线l不经过点P.
3.两条直线相交:当两条不同的直线有一个公共点时,就称这两条直线相交,这个公共点叫作它们的交点.如图,直线a与直线b相交于点O.
4.两条不同的直线不能有两个或两个以上的公共点,如果有两个公共点,那么这两条直线重合.
5.直线没有长短,也没有粗细.
二、射线
1.定义:直线上一点和它一旁的部分叫作射线,这一点叫作射线的端点.
2.表示方法:
(1)用表示射线的端点和射线上另一点的大写字母表示.
(2)用一个小写字母表示.
图形示例:射线OA或射线l.
3.注意事项:
(1)特征:有一个端点;有方向;无长短.
(2)射线虽然有一个端点,但它可以向另一方无限延伸,所以它没有长短.
(3)射线既有端点又有方向,表示射线时一定要把表示端点的字母写在前面.
(4)两条射线相同时必须同时具备两点:①端点相同;②方向相同.
三、线段
1.定义:直线上两点及两点间的部分.
特征:有两个端点;不可延伸;可度量.
2.表示方法:
(1)用表示端点的两个大写字母表示.
(2)用一个小写字母表示.
图例:线段AB或线段BA或线段a.
3.线段的中点一定在线段上.
4.线段的画法:
(1)连接AB,就是要画出以A,B为端点的线段,不要向任何一方延伸.
(2)画一条线段等于已知线段a,可以用圆规在射线上截取一条长度等于a的线段,也可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段.
四、直线、射线、线段的联系与区别
1.直线、射线、线段之间的联系
(1)射线和线段都是直线上的一部分.在直线上任取一点,则可将直线分成两条射线;在直线上任取两点,如右图,则图中包含一条线段和四条射线.
(2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段向一方延伸就可得到射线;将线段向两方延伸就可得到直线.
2.三者的区别
见下表.

1.下列数学语言中,不正确的是( )
A.画直线MN,在直线MN上任取一点P
B.以点M为端点画射线MA
C.直线a,b相交于点m
D.延长线段MN到点P,使NP=MN
【知识点】 直线、射线、线段
【答案】 C
【解析】 A.画直线MN,在直线MN上任取一点P,正确;
B.以点M为端点画射线MA,正确;
C.直线a,b相交于点M,故错误;
D.延长线段MN到点P,使NP=MN,正确.
2.下列说法中,正确的有( )
①过两点只能画一条直线;②过两点只能画一条射线;③过两点只能画一条线段.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【知识点】 直线、射线、线段
【答案】 A
【解析】 ①过两点只能画一条直线,故正确;
②过两点可以画2条射线,故错误;
③过两点只能画无数条线段,故错误.
综上所述,正确的结论有1个.
3.把一根木条固定在墙面上,至少需要两枚钉子,这样做的数学依据是( )
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两点之间直线最短
【知识点】 直线、射线、线段
【答案】 B
【解析】 把一根木条固定在墙面上,至少需要两枚钉子,是因为两点确定一条直线.
一、选择题
1.下列说法中,正确的是( )
A.射线PA和射线AP是同一条射线
B.射线OA的长度是12 cm
C.直线ab,cd相交于点m
D.两点确定一条直线
2.下列说法中,正确的是( )
A.画一条长3 cm的射线
B.直线、线段、射线中直线最长
C.延长线段BA到C,使AC=BA
D.延长射线OA到点C
3.平面内不同的两点确定一条直线,不同的三点最多确定三条直线,若在平面内的不同的n个点最多可确定36条直线,则n的值为( )
A.6 B.7
C.8D.9
4.若平面内有点A,B,C,过其中任意两点画直线,则最多可以画的条数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.下列选项中各有一条射线和一条线段,则它们能相交的是( )
A B
C D
6.如下图示中,直线表示方法正确的有( )
A.①②③④B.①②
C.②④D.①④
7.下列说法中,正确的是( )
A.经过两点有且只有一条线段
B.经过两点有且只有一条直线
C.经过两点有且只有一条射线
D.经过两点有无数条直线
8.如下图所示,在直线l上有A,B,C三点,则图中线段共有( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
9.如下图所示,点C是线段BD之间的点,有下列结论:
①图中共有5条线段;
②射线BD和射线DB是同一条射线;
③直线BC和直线BD是同一条直线;
④射线AB,AC,AD的端点相同.
其中正确的结论是( )
A.②④B.③④
C.②③D.①③
二、解答题
10.画图说明以下问题:
(1)过三点可以画一条直线吗?
(2)有A,B,C三点,过其中每两个点画直线,可以画几条直线?
(3)三条直线两两相交,一共有几个交点?
11.如下图,平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图:
(1)画直线AB,CD交于E点;
(2)连接线段AC,BD交于点F;
(3)连接线段AD并将其延长;
(4)作射线BC.
12.两条不同的直线,要么有一个公共点,要么没有公共点,不能有两个公共点.这是为什么?
一、填空题
1.在一面墙上用一根钉子钉木条时,木条总是来回晃动;用两根钉子钉木条时,木条就会固定不动.用数学知识解释这两种生活现象为 .
二、解答题
2.根据语句画出图形.
(1)直线EF经过点C;
(2)点A在直线l外;
(3)过点O画直线a和直线b.
3.按照下图中所画出的图形写出相应的几何语言.
4.数一数下图中每个图形的线段总数.
(1)如图①,线段总数是 条.
(2)如图②,线段总数是 条.
(3)如图③,线段总数是 条.
(4)如图④,线段总数是 条.
(5)根据以上求线段总数规律:
当线段上共有n个点(包括两个端点)时,线段的总数表示为 .利用以上规律,当n=22时,线段的总数是 条.
(6)由以上规律,解答:如果10位同学聚会,互相握手致意,一共需要握多少次手?

6.2.2 (第一课时)线段的比较与运算
1.线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫作这条线段的中点.
例如:点M是线段AB的中点.
AM=BM=12AB,即AB=2AM=2BM.
2.比较线段的大小
(1)度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较两者的大小;
(2)叠合法:把要比较的两条线段移到同一条直线上,使它们的一个端点重合,另一个端点落在重合的端点的同一侧,进行比较.
3.尺规作图
(1)尺规作图的定义:仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫作尺规作图.
(2)注意事项:
①只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.
②直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上面画刻度.
③圆规可以开至无限宽,但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度.
(3)尺规作图作线段的和:在直线上作线段AC=a,再在AC的延长线上用圆规截取线段CB=b,线段AB就是a与b的和,记作AB=a+b.
(4)尺规作图作线段的差:设线段a>b,在直线上作AB=a,再在AB上用圆规截取线段BC=b,那么线段AC就是a与b的差,记作AC=a-b.
1.如图所示,线段a,b,且a>b.
用圆规和直尺画线段:(1)a+b;(2)a-b.
【知识点】 尺规作图
【答案】 解:(1)画法如图1,画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是a与b的和,记作AC=a+b.
(2)画法如图2,画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在线段AB上画线段BD=b,线段AD就是a与b的差,记作AD=a-b.
【解析】 在画线段时,为使结果更准确,一般用直尺画直线,用圆规量取线段的长度.
2.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,如果AB=CD,那么AC与BD的大小关系为( )
A.AC>BD B.ACb
C.ab或a=b或a∠2的是( )
A B
C D
2.在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,则一定存在( )
A.∠AOB>∠AOC B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC>∠AOCD.∠AOC>∠BOC
3.下列说法:①平角就是一条直线;②直线比射线长;③平面内三条互不重合的直线的公共点个数有0个、1个、2个或3个;④连接两点的线段叫两点之间的距离;⑤两条射线组成的图形叫作角;⑥一条射线把一个角分成两个角,这条射线是这个角的角平分线.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.如图,已知直线AB,CD相交于点O,OB平分∠EOD,若∠EOD=110°,则∠BOD的度数是( )
A.35° B.55° C.70° D.110°
5.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠AOC=30°,则∠DOE的度数等于( )
A.145° B.135° C.35° D.120°
6.如图,已知直线AB与CD相交于点O,OC平分∠BOE,若∠AOE=80°,则∠AOD的度数为( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
7.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠CON=55°,则∠AOM的度数为( )
A.35°B.45°
C.55°D.65°
二、解答题
8.根据图形填空.
(1)∠AOD= +∠AOC=∠DOB+ ;
(2)∠AOD-∠COD= .
9.如下图,A,B,C三点在同一直线上,已知∠1=23°,∠2=67°,求∠DCE的度数.
解答题
1.如图所示,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.
(1)如果∠AOB=50°,∠DOE=35°,那么∠BOD是多少度?
(2)如果∠AOE=160°,∠COD=40°,那么∠AOB是多少度?
2.如图,已知∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=21°.求∠AOB的大小.

6.3.3 余角和补角
1.互余:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.∠α的余角是90°-∠α.
2.互补:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.∠α的补角是180°-∠α.
3.余角、补角的性质:
(1)同角(等角)的余角相等.
(2)同角(等角)的补角相等.
4.方向角:指向正北方或正南方的射线绕着观测点旋转到经过目标的方向线所夹得角叫作方向角.
5.注意:
(1)互余和互补是指两个角的数量关系,而不是多个角之间的关系.
(2)互余、互补的两个角,只与它们的度数之和有关,与它们的位置无关.
(3)表示方向角时,必须以正南方向或正北方向为基准,表示成北偏东、北偏西、南偏东、南偏西,不能表示成东偏北、西偏南等.
(4)在同一个问题中,观测点可能不止一个,在不同的观测点观测物体时,物体的方向角可能不同.另外,在哪个观测点观测,一般就要在这个观测点处画出正东、正西、正南、正北四条方向线,以此为基准写方向角.
1.下列说法中,正确的是( )
A.两点确定一条线段
B.如果两个角有公共顶点和一条公共边,且这两个角互补,那么这两个角互为邻补角
C.对顶角相等但不互补,邻补角互补但不相等
D.如果∠MON=180°,那么M、O、N三点在一条直线上
【知识点】 角的概念,对顶角、邻补角,基本事实
【答案】 D
【解析】 A.两点确定一条直线,故本选项错误;B.如果两个角有公共顶点和一条公共边,这两个角在公共边的异侧,且这两个角互补,那么这两个角互为邻补角,故本选项错误;C.对顶角相等但不互补,邻补角互补但不相等,错误,例如两条互相垂直的直线形成的四个角,故本选项错误;D.如果∠MON=180°,那么M、O、N三点在一条直线上,正确,故本选项正确.根据基本事实、邻补角的定义、对顶角的定义,对各选项分析判断,利用排除法求解.
2.填空:
(1)若∠A=45°30',则∠A的补角等于
.
(2)∠A=36°24',∠A的余角度数为 .
【知识点】 度、分、秒的换算,余角和补角
【答案】 (1)134°30' (2)53°36'
【解析】 (1)∵∠A=45°30',∴∠A的补角=180°-45°30'=179°60'-45°30'=134°30'.如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.根据补角定义可得答案.
(2)∠A的余角=90°-36°24'=53°36'.根据余角定义直接解答.
一、选择题
1.已知∠A=65°,则∠A的余角的度数是( )
A.15° B.25°
C.115°D.135°
2.如图,点O在直线AB上,若∠1=40°,则∠2的度数是( )
A.50°B.60°
C.140°D.150°
3.如图,A,O,B三点在一条直线上,已知∠AOD=25°,∠COD=90°,则∠BOC的度数为( )
A.25° B.85° C.115° D.155°
4.如果∠AOB+∠BOC=90°,∠BOC+∠COD=90°,那么∠AOB与∠COD的关系是( )
A.互余B.互补
C.相等D.不能确定
5.在直线AB上取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数为( )
A.60°B.90°
C.120°D.60°或120°
6.如图,已知∠B=30°,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠F=40°,则图中互余的角有 对.( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )
A B
C D
8.如图,点O在直线AB上,∠COB=∠DOE=90°,则图中相等的角的对数是( )
A.3B.4
C.5D.7
9.如下图,小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处,又沿北偏西20°方向行走至C处,此时需把方向调整到与出发时一致,则方向的调整应是( )
A.右转80°B.左转80°
C.右转100°D.左转100°
二、填空题
10.若∠α=35°,则∠α的补角是 .
11.一个角的度数为20°,则它的补角的度数为
.
12.如图,三角板的直角顶点在直线l上,若∠1=40°,则∠2的度数是 .
13.已知∠A=67°,则∠A的余角等于 ;若∠A=30°,则∠A的补角是 .
解答题
1.如下图,若直线AB与直线CD交于点O,OA平分∠COF,OE⊥CD.
(1)写出图中与∠EOB互余的角;
(2)若∠AOF=30°,求∠BOE和∠DOF的度数.
2.如下图所示,已知O是直线AB上一点,∠AOE=∠FOD=90°,OB平分∠COD,图中与∠DOE互余的角有哪些?并说明理由.
3.如图,已知直线AB和CD相交于点O,OM平分∠BOD,∠NOM=90°,∠AOC=50°.
(1)求∠AON的度数;
(2)写出∠DON的余角.

综合与实践——设计学校田径运动会比赛场地
如图是某校田径运动场的平面图,最中间是长方形,长为a米,两端为两个半圆,半径为r米,每条跑道的宽为1.2米,共四个跑道.若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程,请解答下列问题:
(1)第2跑道的总长度为 米.
(2)第3跑道的总长度为 米.
(3)若a=50,且要求第1跑道的总长度为200米.(以下问题结果精确到个位,π取3.1)
①求r的值;
②操场中心(阴影部分)铺设地砖,跑道及两端的半圆铺设塑胶和人工草,若铺设地砖需要50元/平方米,铺设塑胶和人工草需要100元/平方米,则学校共需付多少铺设费用?
分析:(1)利用长方形与圆的周长公式解答即可.
(2)利用长方形与圆的周长公式解答即可.
(3)①利用长方形与圆的周长公式列出方程解答即可;
②利用长方形与圆的面积公式求得相应部分的面积,再利用面积×单价解答即可.
【答案】解:(1)第2跑道的总长度为2a+2π(r+1.2)=(2a+2πr+2.4π)米.
故答案为(2a+2πr+2.4π).
(2)第3跑道的总长度为2a+2π(r+2.4)=(2πr+4.8π+2a)米.
故答案为(2πr+4.8π+2a).
(3)①由题意得2a+2πr=200,
∵a=50,
∴r≈16.
②由题意得,铺地砖费用=50×50×2×16=80 000(元);
铺塑胶和人工草费用=100×[π(16+1.2×4)2+50×1.2×4×2)]=(43 264π+48 000)元.
∴80 000+43 264π+48 000=128 000+43 264π≈262 118(元).
答:学校共需付铺设费用262 118元.
学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所.不同学校的运动场设置不一定相同,如有的学校体育场设置了标准400 m跑道,有的学校因场地限制,只能设置300 m或200 m跑道;有的学校设置了标准篮球场,有的学校设置了半场篮球场;等等.
学校一般会在春季或秋季举行田径运动会.举行运动会前,需要施划不同项目的比赛场地.施划这些运动场地,除了要考虑体育场的大小、不同运动项目的特点,还要用到数学知识.
下面,我们用数学的眼光观察学校体育场,并为学校日后举行的田径运动会规划比赛场地.
活动目标
通过合作探究,了解不同运动项目场地设计的要求,为日后举行的田径运动会规划比赛场地.
活动准备
1.材料用具
卷尺、教学用的三角尺、直尺、量角器、圆规等作图工具.
2.资料学习
通过咨询体育老师、查阅相关书刊资料或网络搜索,了解田径运动会不同运动项目的场地设计规格与要求.
活动任务
活动一 了解田径运动会相关运动项目场地设计的要求
田径运动会的运动项目分为田赛、径赛两类.以高度或远度计算成绩的跳跃、投掷项目叫田赛,如跳高、跳远、铅球等,田赛在体育场跑道围成的场地里面或外面进行;以时间计算成绩的竞走和跑的项目叫径赛,径赛通常在体育场的跑道上进行.这些运动项目场地的设计有统一要求吗?
任务 针对学校田径运动会不同运动项目的设置情况,查阅有关资料,了解这些项目场地的国际标准,按适当的比例在A4纸上画出这些运动项目的场地示意图,并配以适当的数据和文字说明.
活动二 为学校田径运动会规划比赛场地
假设你所在的学校将举行田径运动会,径赛项目有多种距离的赛跑,田赛项目有跳高、跳远、铅球等.请将这些比赛项目合理地安排在自己学校的体育场内.用适当的方式呈现自己的设计,并配以数据和文字说明.
任务1 径赛项目跑道的设计
(1)一个标准的 400 m跑道的直道长是多少米?第一分道的总长度是多少米?弯道是什么形状?弯道中各分道的长度分别是多少米?你能找到其中蕴含的规律吗?
(2)在一个标准的400 m跑道内,100 m,200 m,400 m,800 m,1 500 m等比赛跑道的起点相同吗?为什么会出现这种情况?
(3)如何在学校 400 m跑道内划定400 m跑比赛的起跑线?4×100 m接力跑比赛的起跑线又该如何划定?画出它们的示意图.
(4)若学校只有300 m跑道,如何划定200 m跑比赛的起跑线?画出示意图.
备注:标准400 m跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成,弯道半径在35.00~38.00 m之间,国际田联规定弯道半径36.50 m为标准跑道.
任务2 田赛项目场地的设计
(1)跳高比赛的场地设置有什么具体要求?
(2)跳远场地中长方形沙坑的长与宽分别是多少米?助跑区的设计有什么要求?选择适当比例画出跳远场地的示意图.
(3)铅球场地由扇形的一部分与圆组成,圆的半径是多少米?扇形所在圆的半径是多少米?场地的占地面积约是多少平方米?选择适当比例画出铅球场地的示意图.
备注:(1)跳高比赛场地包括助跑道、起跳区和落地区三部分,助跑道的长度不得短于15 m.大型田径比赛跳高助跑道不得短于20 m,在条件许可的地方不短于25 m,助跑道和起跳区朝横杆中心的倾斜度不得超过1∶250.起跳区必须平坦,落地区应为海绵包或沙坑(沙面应高出地面).
(2)跳远场地的沙坑一般长7~9 m(取决于它的近端和起跳线之间的距离),宽至少为2.75 m.助跑道从起点至起跳线的长度至少40 m,助跑道宽(1.22±0.01)m.它应以0.05 m宽的白线标出,或者用0.05 m宽、0.10 m长的相距0.50 m的分隔线,助跑道表面通常与跑道铺设相同.
(3)铅球场地,圆的半径是1.0675 m,扇形所在圆的半径不唯一.场地的占地面积不唯一.
任务3 综合考虑田径比赛的场地要求,在保障比赛安全的前提下,为使各项比赛互不干扰,你觉得在设计中还要考虑哪些问题?
(1)铅球比赛场地比较特殊,安排在运动场什么位置较好?为什么?
(2)跳高比赛时需要助跑,为尽量不影响其他项目同时比赛,比赛地点安排在运动场什么位置更合理?
备注:(1)为了安全起见,铅球比赛场地一般安排在两端的半圆内.
(2)跳高比赛需要助跑区,往往把跳高场区放在另一个半圆内.
活动三 自己提出问题并加以解决
规划比赛场地时,还有其他问题吗?自己提出规划学校田径运动会比赛场地时与数学有关的问题,并加以解决.
活动过程
1.组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作.在班级中组成5~8人一组的研究小组,每位同学参加其中一个小组,每个小组确定一名负责人.
2.方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流,集思广益,形成解决上述任务的方案.
3.方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工,使每位成员都有明确的任务.根据规划的研究步骤实施,完成活动任务,并给出设计图和设计说明(要给出规划理由等),记录完成任务的过程,形成研究报告.
4.展示交流
制作向全班汇报的演示文稿,选出代表向全班同学展示本组各项任务的规划示意图,并进行说明.分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法,反思活动中的不足.
注意:展示交流活动要邀请体育老师参加点评.
活动评价
通过成果展示与交流,基于各组完成的研究报告,根据情况选择任务完成表、表现评分表、自我反思表等进行评价.与老师(包括体育老师)和全班同学一起,通过质疑、辩论、评价,总结成果,分享体会,分析不足,开展自我评价、同学评价和教师评价,完成本次综合与实践活动.
如图是某校田径运动场的示意图,其中AB和CD为直线跑道,两端为半圆形跑道.
(1)如果田径运动场的总长为400 m,其中AB=CD=100 m,试计算矩形ABCD内部操场的面积.
(2)①如果田径运动场的总长为300 m,要使矩形ABCD内部操场的面积最大,直线跑道应设计为多长?矩形ABCD内部操场的最大面积是多少?
②小明测量发现,学校田径运动场的总长为300 m,直线跑道AB=CD=50 m,请判断这与①中的计算结果是否一致,并给出一种可能的原因.

第六章 几何图形初步
6.1 几何图形
6.1.1 立体图形与平面图形
基础性作业
一、选择题
1.C 解析:有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形.A,B,D三项都是平面图形.
2.A 解析:由题图形可以看出是由圆、长方形组成.
3.A 解析:圆柱的侧面是曲面,有两个面是互相平行的.
4.A 解析:棱柱的侧面是平面而且是平行四边形,有两个面是互相平行的.
5.B 解析:表面是曲面的立体图形.
6.C 解析:圆锥的侧面是曲面,有一个公共顶点.
7.D 解析:陀螺是由圆柱和圆锥组合而成的.
二、填空题
8.5 解析:题图属于柱体的有①②③⑥⑧.
9.球 棱柱 圆锥 棱柱 圆柱 棱锥
10.6 12 8 解析:一个正方体有6个面,12条棱,
8个顶点.
11.球
提高训练
选择题
1.B
2.C 解析:棱锥展开图中含有三角形和长方形.
3.B 解析:球的主视图、左视图、俯视图都是圆.
4.A 解析:当圆柱侧面与桌面接触时,主视图和左视图有一个可能是长方形,另一个是圆.
5.A 解析:从左面看只能看到竖直摆放的两个正方体,故选A.
6.1.2 点、线、面、体
基础性作业
一、选择题
1.C 解析:圆柱由3个面围成,2个面是平面,1个面是曲面;球仅由1个面围成,这个面是曲面.
2.D 解析:汽车雨刷可以看成是线,画出的痕迹可以看成是面.
3.D 解析:球仅由1个面围成,这个面是曲面.
4.D 解析:正方体和四棱柱都是由6个面组成的.
5.B 解析:用一个平面去截一个圆锥,截面可以是椭圆;用一个平面去截一个圆柱体,截面不可以是梯形;用一个平面去截一个长方体,截面可能是正方形.
6.B 解析:当长方体的长、宽、高有两个相等时,它们组成的平面是正方形.
二、填空题
7.(1)6 长方 正方 两个对
(2)正方 相等 (3)相等的圆 (4)圆
解析:长方体、正方体都有6个面,长方体的6个面可能都是长方形,当长方体的长、宽、高有两个相等时,也有可能有2个面是正方形,它的两个对面完全相同.
8.(1)三角形 四边形 (2)四边形 四边形
解析:(1)三棱柱的上、下底面是三角形,侧面是四边形.(2)四棱柱的上、下底面和侧面都是四边形.
三、判断正误
9.(1)√ 解析:圆柱的上下两个面互相平行且一样大.
(2)√ 解析:圆柱、圆锥的底面是由圆组成的.
(3)× 解析:三棱柱的底面是三角形.
(4)√ 解析:棱锥的侧面都是三角形.
(5)× 解析:棱柱的侧面都是四边形.
(6)√ 解析:圆柱的侧面展开是长方形.
(7)√ 解析:球是由一个曲面组成的.
(8)√ 解析:圆锥侧面是曲面,底面是圆.
(9)√ 解析:几棱柱就是由几个侧面和两个底面组成,几棱锥就是由几个侧面和一个底面组成.
(10)√ 解析:由几个侧面和两个底面组成.
提高训练
一、选择题
1.D 解析:正方体有12条棱,四棱锥有8条棱,圆柱没有棱.
2.B 解析:球、圆柱、圆锥能截出圆,长方体和正方体不能截出圆.
3.D 解析:扎西将一个直角三角尺绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥,圆锥的侧面展开图是扇形.
4.D 解析:直角梯形绕直线l旋转一周,得到的立体图形是圆台.
二、解答题
5.(1)立体图形 (2)5个,8条,5个
(3)三角形和四边形
解析:四棱锥有5个顶点,8条线段,5个平面.
6.2 直线、射线、线段
6.2.1 直线、射线、线段
基础性作业
一、选择题
1.D 解析:射线PA和射线AP不是同一条射线;射线不可度量;直线用一个小写字母或者两个大写字母表示.
2.C 解析:直线、射线不可度量,射线OA是无限延伸的.
3.D 解析:平面内不同的两点确定一条直线,不同的三点最多确定三条直线,不同的n个点最多可确定1+2+3+…+(n+1)=n(n−1)2条直线,当n(n−1)2=36时,n=9.
4.A 解析:由上题分析中的n(n−1)2可知,当n=3时,3×2×12=3.
5.C 解析:射线可以向一方无限延伸,只有C选项中射线延伸的方向可以与线段相交.
6.D 解析:直线用一个小写字母或者两个大写字母表示,故只有①④正确.
7.B 解析:经过两点的线段不止一条;经过两点有且只有一条直线,这是基本事实;经过两点不止一条射线.
8.C 解析:题图中线段有AB,AC,BC.
9.B 解析:题图中共有6条线段;射线BD和射线DB不是同一条射线.
二、解答题
10.解:(1)可以,如图(1)所示.
(2)当A,B,C三点在同一条直线上时,可画一条,如图(1)所示;当A,B,C三点不在同一条直线上时,可画三条,如图(2)所示.
(3)三条直线两两相交有两种情况,即三条直线不过同一个交点时有三个交点;三条直线过同一个交点时有一个交点.
如图(3)(4)所示:
故三条直线两两相交,交点有1个或3个.
11.解:
12.答:因为两点确定一条直线,过两点有且只有一条直线.
提高训练
一、填空题
1.两点确定一条直线
二、解答题
2.根据语句画出图形.
(1)直线EF经过点C,如下图所示:
(2)点A在直线l外,如下图所示:
(3)过点O画直线a和直线b,如下图所示:
3.(1)点D在直线a上;(2)点A不在直线a上;(3)直线a,b相交于点D;(4)直线a,b,c两两相交于点A,B,C.
解析:根据直线和点的表示可写出几何语言.
4.(1)3 (2)6 (3)10 (4)15
(5)1+2+3+…+(n+1)=n(n−1)2 231
(6)当n=10时,10×92=45,所以一共需要握45次手.
6.2.2 (第一课时)线段的比较与运算
基础性作业
一、选择题
1.C 解析:当点C在点B左边时,AC=AB-BC=2 cm;当点C在点B右边时,AC=AB+BC=6 cm.
2.D 解析:线段之间比较有三种情况:大于、等于、小于.
3.C 解析:因为AM=MB,当M和A,B不在同一条直线上时,M不是AB中点,当M和A,B在同一条直线上时,M是中点.
4.B 解析:12EF=2PE不能说明P是EF的中点.
5.C 解析:M为AC的中点,则MC=12AC=52.N为BC的中点,则CN=12BC=4.MN=MC+CN=132.
6.D 解析:D是AC的中点,则AC=2DC=4 cm.由AC=AB+BC,BC=13AB,得AB=3 cm.
7.B 解析:两点之间,线段最短.
8.B 解析:由题图知MN=MB+BC+CN=a,则MB+CN=a-b.M是AB的中点,则AB=2MB.N是CD的中点,则CD=2CN.故AD=AB+BC+CD=2(a-b)+b=2a-b.
二、填空题
9.35 解析:由AB=50 mm,5AC=2AB,可得AC=20 mm.由AB=10BD可得BD=5 mm.CD=CB+BD=35 mm.
10.CE,DB AB,CE
解析:由AC=CD=DE=EB,得AD=AC+CD=CD+DE=CE=DE+EB=DB.
三、解答题
11.解:(1)会,CD=CA+AB+BD,故CD>AB.
(2)会,CD=CB+BD,故CB