初中数学冀教版（2024）七年级上册（2024）数量之间的关系精品习题

这是一份初中数学冀教版（2024）七年级上册（2024）数量之间的关系精品习题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要由碳元素、氢元素组成，烷烃是最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机体的母体，如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，我们可以得出烷烃的通式是(各选项中n≥1)( )
A. CnH2nB. CnHn+2C. CnH2n+2D. CnH2n+4
2.“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题．截至2023年，通过计算机验证，“冰雹猜想”对于小于268的所有正整数都成立，其内容为：对于任意的正整数n，若n为奇数，则下一步计算3n+1；若n为偶数，则下一步计算n2.重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点2,5中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2025次运算，得到的点的坐标为( )
A. 1,4B. 2,4C. 4,2D. 4,4
3.小敏同学利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
当输入数据是8时，输出的数据是( )
A. 863B. 865C. −865D. 867
4.如图，AA1=1，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1=30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2=30°，……，依此法继续作下去，则A3A4的长为
A. 43B. 83C. 89 3D. 169 3
5.如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，a−b−c的值是( )
A. −34B. −66C. 62D. −190
6.下列图形都是由同样大小的灰色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张灰色正方形纸片，第2个图中有5张灰色正方形纸片，第3个图中有7张灰色正方形纸片，…，按此规律排列下去，则第50个图中灰色正方形纸片的张数为( )
A. 150张B. 101张C. 100张D. 99张
7.如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基础图形，第2个图案中有7个基础图形，第3个图案中有10个基础图形……按此规律，第12个图案中的基础图形个数为( )
A. 35B. 36C. 37D. 38
8.等边▵ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和−1.若▵ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2026次后点B所对应的数是( )
A. 2026B. 2025.5C. 2025D. 2026.5
9.用正方形按如图所示的规律拼图案，则第⑩个图案中正方形的个数为( )
A. 33B. 37C. 41D. 45
10.有一列数：−2，4，−8，16，−32，…，按这样的规律排列，则第n个数是( )
A. −2nB. (−2)nC. −12nD. (−1)2n
11.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒，….若按照这样的方法拼成的第100个图形需要的小木棒根数为( )
A. 658B. 798C. 660D. 786
12.如图，下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为( )
A. 135B. 153C. 170D. 189
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.观察下列各式：1×3=22−1，3×5=42−1，5×7=62−1，7×9=82−1，…，请你把发现的规律用含字母n(n为正整数)的等式表示出来______．
14.蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窝”，观察下列的“蜂窝图”：第一个图案中有4个，第二个图案中有7个，第三个图案中有10个，…，则第n个图案中的个数是 .(用含n的代数式表示)
15.观察下表的三行数(其中n为正整数)：
下面结论正确的是 .(填序号)
①第1行的第8列的数为128；
②用含n的式子表示c为2n+1；
③若a=x，则a+d+e=72x+1；
④从第3行中任意选取连续的三个数相加的和一定是7的整数倍．
16.如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则c= ，第200个格子中的数为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
观察下面有一定规律的三组数：
(1)−2，4，−6，8，−10，⋯；
(2)−5，1，−9，5，−13，⋯；
(3)12,−1,32,−2,52,⋯；
解答下列问题：
(1)每组的第7个数分别是______，______，______；
(2)第二组和第三组的第n个数分别是______和______；(用含n的式子来表示)
(3)取每组的第k个数，若这三个数的和为67，求k的值．
18.(本小题8分)
观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题：
11×10−(1+1)=9×12，
15×10−(1+5)=9×16，
34×10−(3+4)=9×37，
21×10−(2+1)=9×23，
……
(1)请另外写出一个符合上述规律的算式；
(2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律；
(3)运用整式的运算证明你所发现的规律．
19.(本小题8分)
如图是一位同学用围棋棋子按照某种规律摆出的“大”字，第1个“大”字中有7颗围棋子，第2个“大”字中有11颗围棋子，第3个“大”字中有15颗围棋子，…，按照这样的规律摆下去．
(1)第5个“大”字中有______颗围棋子；
(2)用含n的代数式表示出第n个“大”字中围棋子的数量，并求出第100个“大”字中有多少颗围棋子？
(3)若第n个“大”字中有2083颗围棋子，求n的值．
20.(本小题8分)
观察下列图形中点的个数．
(1)图4中点的个数是______；
(2)若按其规律再画下去，如果图形中有100个点，那它是第______个图形；
(3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为______(用含n的代数式表示)．
21.(本小题8分)
小朋友们玩搭积木游戏，所搭成的积木形状如图.根据规律，搭第4次时，需要积木______个，搭n次时需要积木______个.
22.(本小题8分)
仔细观察下列等式：
第一个：52−12=8×3；
第二个：92−52=8×7；
第三个：132−92=8×11；
第四个：172−132=8×15；
⋯
(1)请你写出第六个等式：______；
(2)请写出第n个等式：______；(用含字母n的等式表示)；
(3)运用上述规律，计算：8×11+8×15+⋯+8×95+8×99．
23.(本小题8分)
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．
【规律发现】
(1)第6个图形中有______个圆形棋子；
(2)第n个图形中有______个圆形棋子；(用含n的代数式表示)
【规律应用】
(3)将2025个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完.若能摆放成功，是第几个图形？若不能，请说明理由．
24.(本小题8分)
将连续的偶数2，4，6，8…，排成如表：如图，用十字框框住五个数，我们把中间的数叫十字数，如图中的16叫做十字数．
(1)若十字数是x，十字框内五个数的和是多少？(用x式子表示)
(2)若将十字框上下左右移动，小明认为十字框内五个数的和可以等于2015.请你判断小明同学的观点是否正确，若正确请求出十字数，若不正确请说明理由．
25.(本小题8分)
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位(数位不足两位，用0补齐)．
比如47×43，它们乘积的前两位是4×4+1=20，它们乘积的后两位是7×3=21，所以47×43=2021；
(1)探索该类乘法的速算方法，请以52×58为例写出你的计算步骤；
(2)设一个因数的十位数字是a，个位数字是b，则这个因数可以表示为 ，另一个因数可以表示为 .(a、b表示1∼9的正整数)
(3)请用含有字母的等式表示这样的速算方法的规律，并验证其合理性．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查图形变化的规律，能根据所给结构式的示意图发现C和H个数的变化规律是解题的关键，根据所给结构式的示意图，依次求出其中C和H得个数，发现规律即可解决问题．
【解答】
解：由题知，
甲烷的化学式为CH4；
乙烷的化学式为C2H6；
丙烷的化学式为C3H8；
…，
所以n烷的化学式为CnH2n+2.
2.【答案】B
【解析】本题考查数字的变化规律，图形与坐标，通过运算找到循环规律是解题的关键．
【详解】解：横坐标2的运算过程如下：
初始值2(偶数)，第1次运算得1；第2次运算1(奇数)，得4；第3次运算4(偶数)，得2；
可知该计算以1，4，2循环，
则2025次运算中，2025÷3的余数为0，
∴横坐标2的运算结果为2．
纵坐标5的运算过程：
同理可知，前5次运算依次得16→8→4→2→1；
第6次运算1(奇数)，得4，可知该计算以4，2，1循环；
后续运算次数为2025−5=2020次，2020÷3的余数为1，对应循环第1步结果4，
∴纵坐标5的运算结果为4，
综上，最终坐标为2,4 ．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：发现：输出的数的分子就是输入的数值，分母是输入的数的平方加上1，奇数个为负，偶数个为正，
即输入n，输出为：(−1)n⋅nn2+1，
∴输出的数据为(−1)8×882+1=865．
故选：B．
通过观察表中的数据得出规律：输出的数的分子就是输入的数值，分母是输入的数的平方加上1，奇数个为负，偶数个为正，然后根据规律计算即可求解．
本题主要考查了数字变化规律，根据已知数据总结出规律是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠OAA1=90°，AA1=1，∠AOA1=30°，
∴OA1=2AA1=2，
由勾股定理得：OA2+AA12=OA12，
即OA2+12=22，
解得：OA= 3，
∵∠A1OA2=30°，
∴A1A2=2 3=2 33，
同理：OA2=2A1A2=4 33，A2A3=OA2 3=43，
OA3=2A2A3=83，A3A4=OA3 3=8 39，
∴A3A4的长=89 3，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：三角形最下面的数字之间的规律为−(−2)n−1，
三角形左边的数字之间的规律为(−2)n，
三角形右边的数字之间的规律为(−2)n+2，
∴第⑥个三角形中，a=(−2)6=64，b=(−2)6+2=66，c=−(−2)6−1=32，
∴a−b−c=64−66−32=−34；
故选：A．
由题意易得三角形最下面的数字之间的规律为−(−2)n−1，三角形左边的数字之间的规律为(−2)n，三角形右边的数字之间的规律为(−2)n+2，然后问题可求解．
本题主要考查数字规律问题，解题的关键是找出数字之间的规律．
6.【答案】B
【解析】解：由所给图形可知，
第1个图中，灰色正方形纸片的张数为：3=1×2+1；
第2个图中，灰色正方形纸片的张数为：5=2×2+1；
第3个图中，灰色正方形纸片的张数为：7=3×2+1；
…，
所以第n个图中，灰色正方形纸片的张数为(2n+1)个，
当n=50时，
2n+1=101(张)，
即第50个图中，灰色正方形纸片的个数为101张．
故选：B．
根据所给图形，依次求出图形中灰色正方形纸片的张数，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰色正方形纸片的张数依次增加2是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：，第1个图案中有4+(1−1)×3=4个基础图形，
第2个图案中有4+(2−1)×3=7个基础图形，
第3个图案中有4+(3−1)×3=10个基础图形，
第4个图案中有4+(4−1)×3=13个基础图形，
……，
以此类推，可知第n个图案中有4+3(n−1)=(3n+1)个基础图形，
∴第12个图案中的基础图形个数为3×12+1=37，
故选：C．
观察可知后面一个图形比前面一个图形多3个基础图形，据此规律求解即可．
本题主要考查了图形类的规律探索，发现规律是关键．
8.【答案】A
【解析】本题主要考查了图形变化的规律及数轴，根据题中所给翻转方式，依次得出数轴上表示1，2，3，4，⋯，由此可见，点B，C，A依次与数轴上表示1，2，3等整数的点重合且每3个数一个循环，又因为2026÷3=675⋯1，所以经过675个循环后又翻转一次，读懂题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：由题知，翻转一次后点B所对应的数为1，
翻转二次后点B所对应的数为1，点C所对应的数为2，
翻转三次后点A所对应的数为3，
翻转四次后点B所对应的数为4，
翻转五次后点B所对应的数为4，点C所对应的数为5，
翻转六次后点A所对应的数为6，
由此可见，点B，C，A依次与数轴上表示1，2，3等整数的点重合且每3个数一个循环，
又因为2026÷3=675⋯1，
所以经过675个循环后又翻转一次，
所以翻转2026次后点B所对应的数为2025+1=2026，
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：由所给图形可知，
第①个图案中正方形个数为4×1+1=5，
第②个图案中正方形个数为4×2+1=9，
第③个图案中正方形个数为4×3+1=13，
第④个图案中正方形个数为4×4+1=17，
…，
所以第n个图案中正方形个数为(4n+1)个．
当n=10时，
4n+1=4×10+1=41(个)，
即第⑩个图案中正方形的个数为41．
故选：C．
根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加4是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由−2，4，−8，16，−32，…，可知，后一个数是前一个数的(−2)倍，
所以，第n个数是(−2)n．
故选：B．
观察不难发现，后一个数是前一个数的(−2)倍，根据此规律写出即可，再根据指数与序数的关系写出第n个数即可．
本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出后一个数是前一个数的(−2)倍是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：由题知，
拼第1个图形需要的小木棒根数为：6=1×8−2；
拼第2个图形需要的小木棒根数为：14=2×8−2；
拼第3个图形需要的小木棒根数为：22=3×8−2；
…，
所以拼第n个图形需要的小木棒根数为(8n−2)根．
当n=100时，
8n−2=8×100−2=798(根)，
即拼第100个图形需要的小木棒根数为798根．
故选：B．
根据所给图形，依次求出所需小木棒的根数，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小木棒根数的变化规律是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题；解决本题的难点在于找出各个数之间的关系．
分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题。
【解答】
解：根据规律可得，2b=18，
∴b=9，
∴a=b−1=8，
∴x=2b2+a=162+8=170，
故选：C．
13.【答案】(2n−1)(2n+1)=(2n)2−1
【解析】解：根据题意可得：
规律为(2n−1)(2n+1)=(2n)2−1，
故答案为(2n−1)(2n+1)=(2n)2−1．
分析可得：发现的规律为相邻两个奇数的积等于它们平均数的平方减1，故(2n−1)(2n+1)=(2n)2−1．
本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案，关键规律为：相邻两个奇数的积等于它们平均数的平方减1．
14.【答案】3n+1
【解析】解：由所给图形可知，
第1个图案中基础图形的个数为：4=1×3+1，
第2个图案中基础图形的个数为：7=2×3+1，
第3个图案中基础图形的个数为：10=3×3+1，
…，
所以第n个图案中基础图形的个数为(3n+1)个．
故答案为：3n+1．
根据所给图形，依次求出基本图案的个数，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现基础图形的个数依次增加4是解题的关键．
15.【答案】②③④
【解析】解：根据题意有，
第1行第n列与n的关系式为：2n；
同列，第2行比第1行多1，
∴第2行第n列与n的关系式为：2n+1；
第3行第n列与n的关系式为：2n−1；
当n=8时，2n=28=256，故选项①错误，不符合题意；
第2行第n列与n的关系式为：2n+1，故选项②正确，符合题意；
a=x，即a=x=2n，d=2n+1+1，e=2n−1，
∴a+d+e=2n+2n+1+1+2n−1=2n−1(2+4+1)+1=7×2n−1+1；72x+1=72×2n+1=7×2n−1+1，
∴a+d+e=72x+1，故选项③正确，符合题意；
从第3行中任意选取连续的三个数，即2n−1，2n，2n+1，n≥1，
2n−1+2n+2n+1，=2n−1(1+2+4)=7×2n−1，
∴从第3行中任意选取连续的三个数相加的和一定是7的整数倍，故选项④正确，符合题意；
综上，符合题意的选项为：②③④．
故答案为：②③④．
同列，第2行比第1行多1；分别计算出第1行，第2行，第3行第n列的表达式，计算求值．
本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出其规律，再求出其表达式是解本题的关键，难度适中，应仔细审题计算．
16.【答案】3
−1

【解析】解：分析表格中数字可知：3+a+b=a+b+c，a+b+c=b+c−1，
∴c=3，a=−1．
令表中−1与2之间的空格数分别为d，e，f，则d+e+f=e+f+2，
∴d=2．
同理，b=2，e=3，f=−1．
于是，知数组为3，−1，2依次循环．
200=3×66+2，所以第200个格子中的数字为−1．
故答案为：3；−1．
分析表格中数字，总结规律，数组为3，−1，2依次循环．
本题考查数字规律探索；根据表格中已知数据探索出3个一循环的规律是解题的关键．
17.【答案】−14，−17，72；
(−1)n⋅2n−3和(−1)n2n−4；
20
【解析】(1)由题意得：第一组的第n个数为：(−1)n⋅2n，
第二组的数等于第一组相应的数减3，即：(−1)n⋅2n−3；
第三组的数等于第一组的相应的数除以(−4)，即：(−1)n2n−4，
∴第一组第7个数是：−14，
第二组第7个数是：−14−3=−17，
第三组第7个数是：72，
故答案为：−14，−17，72；
(2)由(1)可得：第二组的第n个数是：(−1)n⋅2n−3，
第三组第n个数是：(−1)n2n−4，
故答案为：(−1)n⋅2n−3和(−1)n2n−4；
(3)设第一组的第k个数为x，则第二组的第k个数为x−3，第三组第k个数为x−4，
列方程得：x+x−3−x4=67，
解得x=40，
∴(−1)k⋅2k=40，
解得：k=20．
(1)由所给的数不难得出，第一组的第n个数为：(−1)n⋅2n，第二组的数等于第一组相应的数减3，第三组的数等于第一组的相应的数除以(−4)，从而可求解；
(2)结合(1)进行求解即可；
(3)分别表示出各组的数，得出关于k的方程，解方程即可．
本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是分析清楚所给的数字之间的规律．
18.【答案】解：(1)45×10−(4+5)=9×(11×4+5)；
(2)(10a+b)×10−(a+b)=9(11a+b)；
(3)(10a+b)×10−(a+b)
=100a+10b−a−b
=99a+9b
=9(11a+b)；
【解析】(1)仿照所给的等式，写出符合条件的等式即可；
(2)通过观察可得(10a+b)×10−(a+b)=9(11a+b)；
(3)利用整式的运算进行证明即可；
本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出一般规律，并用整式的运算加以证明是解题的关键．
19.【答案】23；
第n个“大”字所需围棋颗数为(4n+3)颗，第100个“大”字所需围棋颗数为403颗；
520
【解析】(1)由所给图形可知，
第1个“大”字所需围棋颗数为：7=1×4+3；
第2个“大”字所需围棋颗数为：11=2×4+3；
第3个“大”字所需围棋颗数为：15=3×4+3；
…，
所以第n个“大”字所需围棋颗数为(4n+3)颗．
当n=5时，
4n+3=23(颗)，
即第5个“大”字所需围棋颗数为23颗．
故答案为：23．
(2)由(1)知，
第n个“大”字所需围棋颗数为(4n+3)颗．
当n=100时，
4n+3=403(颗)，
即第100个“大”字所需围棋颗数为403颗．
(3)令4n+3=2083，
解得n=520，
所以n的值为520．
(1)根据所给图形，依次求出图形中围棋子的颗数，发现规律即可解决问题．
(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
(3)根据(1)中发现的规律进行计算即可．
本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需围棋子的颗数依次增加4是解题的关键．
20.【答案】25；
9；
(n+1)2
【解析】(1)第1个图形中的点的个数为4，
第2个图形中的点的个数为9，
第3个图形中的点的个数为16，
第4个图形中的点的个数为25，
故答案为：25；
(2)第1个图形中的点的个数为：1+3=4=22，
第2个图形中的点的个数为：1+3+5=9=32，
第3个图形中的点的个数为：1+3+5+7=16=42，
第4个图形中的点的个数为：1+3+5+7+9=25=52，
⋯；
第9个图形中的点的个数为：1+3+5+7+9+⋯+19=100=102，
故答案为：9；
(3)第1个图形中的点的个数为：1+3=4=22，
第2个图形中的点的个数为：1+3+5=9=32，
第3个图形中的点的个数为：1+3+5+7=16=42，
第4个图形中的点的个数为：1+3+5+7+9=25=52，
⋯；
第n个图形中的点的个数为：1+3+5+7+9+⋯+(2n−1)=(n+1)2，
故答案为：(n+1)2．
(1)第1个图形中的点的个数为22，第2个图形中的点的个数为32，第3个图形中的点的个数为42，找出规律即可求解；
(2)第1个图形中的点的个数为22，第2个图形中的点的个数为32，第3个图形中的点的个数为42，找出规律即可求解；
(3)第1个图形中的点的个数为22，第2个图形中的点的个数为32，第3个图形中的点的个数为42，找出规律即可求解．
本题考查了图形的变化规律，观察图形，找出规律是解题的关键．
21.【答案】12 3n
【解析】解：每次搭积木时积木数量的规律找到通项公式为：3n，
故答案为：12；3n．
先分析每次搭积木时积木数量的规律，找到通项公式，再代入计算．
本题主要考查了找规律问题，熟练掌握通过分析前几次的数量关系得出通项公式的方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)252−212=8×23；
(2)(4n+1)2−(4n−3)2=8(4n−1)；
(3)8×11+8×15+⋯+8×95+8×99
=(132−92)+(172−132)+⋯+(972−932)+(1012−972)
=132−92+172−132+⋯+972−932+1012−972
=1012−92
=10201−81
=10120．
【解析】解：(1)由题意可得，
第6个等式：252−212=8×23，
故答案为：252−212=8×23；
(2)由题意可得，
第n个等式：(4n+1)2−(4n−3)2=8(4n−1)，
故答案为：(4n+1)2−(4n−3)2=8(4n−1)；
(3)见答案
(1)根据题目中的等式变化的规律，可以写出第6个等式；
(2)根据题目中的等式变化的规律，可以写出第n个等式；
(3)根据(2)中的结果，将所求式子变形，可得值．
本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，解题的关键是找出变化的规律，利用规律解题．
23.【答案】21；
(3n+3)；
能摆放成功，理由：
由题可得：3n+3=2025，
解得：n=674，
∵n=674为整数，
∴2025个圆形棋子在第674个图形中，能够按照题中的规律一次性摆放
【解析】(1)第一个图形有6个圆形棋子，
第二个图形有9个圆形棋子，
第三个图形有12个圆形棋子，
第四个图形有15个圆形棋子，
⋯，
以此类推，
第六个图形有(6+1)×3=21个圆形棋子，
故答案为：21．
(2)由(1)得：第n个图形中(n+1)×3=(3n+3)有个圆形棋子；
故答案为：(3n+3)．
(3)能摆放成功，理由如下：
由题可得：3n+3=2025，
解得：n=674，
∵n=674为整数，
∴2025个圆形棋子在第674个图形中，能够按照题中的规律一次性摆放．
(1)根据题意可得到规律：每个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得到答案；
(2)根据(1)中的过程，总结规律即可得到答案；
(3)根据(2)中总结出的规律，列出式子即可得到答案．
本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的计算是解题的关键，
24.【答案】5x；
小明的观点不正确，理由如下：
根据题意得：5x=2015，
解得：x=403，
又∵403不是偶数，
∴小明的观点不正确
【解析】(1)∵十字数是x，
∴十字框内另外的四个数分别为x−10，x−2，x+2，x+10，
∴十字框内五个数的和是x−10+x−2+x+x+2+x+10=5x；
(2)小明的观点不正确，理由如下：
根据题意得：5x=2015，
解得：x=403，
又∵403不是偶数，
∴小明的观点不正确．
(1)由十字数是x，可找出十字框内另外的四个数，将五个数相加，即可用含x的代数式表示出十字框内五个数的和；
(2)小明的观点不正确，由(1)的结论结合十字框内五个数的和等于2015，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，由该值不为偶数，可得出小明的观点不正确．
本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出十字框内五个数的和；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25.【答案】【小题1】
解：根据题意可得52×58符合该类乘法的速算方法，
5×5+1=30，2×8=16，
则52×58=3016．
【小题2】
10a+b
10a+10−b
【小题3】
解：根据(2)可知一个因数的十位数字是a，个位数字是b，则这个因数可以表示为10a+b，另一个因数可以表示为10a+10−b，
∴这样的速算方法的规律是：10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b．
证明：10a+b10a+10−b
=100a2+100a−10ab+10ab+10b−b2
=100a2+100a+10b−b2．
100aa+1+b10−b=100a2+100a+10b−b2，
∴10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b．

【解析】1.
该题考查了新定义，多项式乘法，理解题意是解题的关键．
根据速算方法计算即可．
2.
根据题意列代数式表示即可．
解：设一个因数的十位数字是a，个位数字是b，
则这个因数可以表示为10a+b，
另一个因数的十位数字是a，个位数字是10−b，
另一个因数可以表示为10a+10−b．
3.
根据题意列出规律是：10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b，再根据多项式乘多项式法则计算等式左边和右边证明即可．
输入
1
2
3
4
5
…
输出
−12
25
−310
417
−526
…
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
…
第n列
第n+1列
第1行
2
4
8
16
32
…
a
b
第2行
3
5
9
17
33
…
c
d
第3行
1
2
4
8
16
…
e
f
3
a
b
c
−1
2
…