初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，情境导入，合作探究，强化巩固，总结拓展，作业布置等内容，欢迎下载使用。
1.经历配套问题、工作量问题的解决过程，抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力与逻辑思维。
2.能运用一元一次方程模型解决配套、工程等实际问题，明确设元、列方程的关键思路，发展模型观念。
3.体会一元一次方程在解决生产生活实际问题中的应用价值，增强用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点
抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想。
三、教学难点
抽象建立一元一次方程模型解决实际问题基本思想。
四、情境导入
在生产生活中，我们经常会遇到需要合理分配资源、协调工作的问题。比如工厂里如何安排工人生产零件才能让产品刚好配套，工程队如何分工才能高效完成任务。这些问题都可以通过数学工具来解决，今天我们就来学习如何用一元一次方程解决这类实际问题——5.3 实际问题与一元一次方程（1）（板书课题）
五、合作探究
活动一：解决配套问题，初探方程应用
例1：某机械厂有38名工人，每人每天可加工甲部件15个或乙部件25个。2个甲部件和3个乙部件刚好能组装成一个完整的机械零件，为使每天加工的甲、乙部件刚好配套组装，应安排多少名工人加工甲部件，多少名工人加工乙部件？
教师活动：
引导学生梳理已知条件，找出未知量，明确甲、乙部件的数量关系。
提问：若设加工甲部件的工人数量为x，那么加工乙部件的工人数量如何表示？列方程的关键等量关系是什么？
指导学生解方程，并强调检验结果是否符合实际生产情况（如人数需为正整数）。
拓展提问：若设加工乙部件的工人为x名，方程该如何列？
学生活动：
独立分析题意，小组讨论等量关系，尝试列方程、解方程，完成检验与作答。
教师示范解答过程：
解：设应安排x名工人加工甲部件，则加工乙部件的工人有(38 - x)名。
根据“2个甲部件和3个乙部件配套”，可知乙部件数量与甲部件数量的比为3:2，列方程：
3×15x = 2×25(38 - x)
解方程：
45x = 50(38 - x)
45x = 1900 - 50x
95x = 1900
x = 20
则加工乙部件的工人数量为38 - 20 = 18（名）
答：应安排20名工人加工甲部件，18名工人加工乙部件。
总结归纳：
配套问题的核心是抓住“配套物品之间的数量比例关系”，以此作为列方程的依据，同时注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义。
活动二：提炼解题步骤，构建方程模型
教师活动：
结合例1的解题过程，组织学生分组讨论，归纳用一元一次方程解决实际问题的通用步骤。
师生共同总结：
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤为“设、列、解、检、答”，具体如下：
1.设未知数：根据题意设出合适的未知量，可直接设元或间接设元。
2.列方程：分析题目中的等量关系，将文字语言转化为数学等式。
3.解方程：按照一元一次方程的解法求出未知数的值。
4.检验：检验所求结果是否满足方程，同时是否符合实际问题的背景。
5.答：根据检验结果，写出最终答案。
用框图表示为：
实际问题→设未知数，列方程→一元一次方程→解方程→一元一次方程的解（x=m）→检验→实际问题的答案
活动三：应用解题步骤，解决不同类型问题
例2：某工程队承接一项道路维修任务，若单独由一队完成需40天。现计划先由一队先施工若干天，再增加二队（工作效率与一队相同）一起施工，共用25天完成任务。应安排一队先单独施工多少天？
师生共同分析：
设一队先单独施工x天，总工作量设为1，则一队的工作效率为1/40。一队先施工的工作量为x/40，两队一起施工的天数为(25 - x)天，共同施工的工作量为2×(25 - x)/40，两者之和等于总工作量1。
学生独立解答，教师巡视指导，选取典型解答过程展示：
解：设应安排一队先单独施工x天。
根据总工作量为1，列方程：
x/40 + 2×(25 - x)/40 = 1
解方程：
x + 50 - 2x = 40
-x = -10
x = 10
答：应安排一队先单独施工10天。
例3：学校食堂采购一批大米，原计划每天用40千克，可用30天。实际每天比原计划少用10千克，这批大米实际能用多少天？
师生共同分析：
设实际能用x天，根据“大米总重量不变”，原计划总重量为40×30，实际总重量为(40 - 10)x，以此列方程。
学生自主完成解答，教师展示规范解答：
解：设这批大米实际能用x天。
依题意得：(40 - 10)x = 40×30
30x = 1200
x = 40
答：这批大米实际能用40天。
六、强化巩固
1. 基础练习（含详细答案）
练习1：某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，每人每天平均能生产螺栓12个或螺帽18个，一个螺栓要配两个螺帽。求多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使一天生产的螺栓和螺帽刚好配套？
【答案】解：设安排x名工人生产螺栓，则生产螺帽的工人有(28 - x)名。
根据“螺帽数量是螺栓数量的2倍”列方程：2×12x = 18(28 - x)
解方程：24x = 504 - 18x
24x + 18x = 504
42x = 504
x = 12
生产螺帽的工人数量：28 - 12 = 16（名）
答：应安排12名工人生产螺栓，16名工人生产螺帽。
练习2：一项工作，甲单独做需15小时完成，乙单独做需10小时完成。现由甲先做5小时，剩下的由甲乙合作完成，还需多少小时？
【答案】解：设还需x小时完成。总工作量设为1，甲的效率为1/15，乙的效率为1/10。
根据“甲先做的工作量 + 甲乙合作的工作量 = 总工作量”列方程：
5×(1/15) + (1/15 + 1/10)x = 1
1/3 + (2/30 + 3/30)x = 1
1/3 + (5/30)x = 1
1/3 + (1/6)x = 1
(1/6)x = 1 - 1/3
(1/6)x = 2/3
x = 4
答：还需4小时完成。
练习3：某商店购进一批笔记本，计划每天卖出20本，15天卖完。实际每天多卖出5本，实际多少天可以卖完？
【答案】解：设实际x天可以卖完。根据“笔记本总数不变”列方程：
(20 + 5)x = 20×15
25x = 300
x = 12
答：实际12天可以卖完。
2. 拓展训练
12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答。如表记录了其中2名参赛学生的得分情况：
若参赛学生C得了88分，他答对了几道题？答错了几道题？
【解析】解：由参赛者A的成绩可知，每答对一道题得分为100÷20 = 5（分）。
设每答错一道题扣y分，根据参赛者B的成绩列方程：17×5 - 3y = 79
85 - 3y = 79
3y = 85 - 79
3y = 6
y = 2
即每答错一道题扣2分。
设参赛学生C答对了x道题，则答错了(20 - x)道题，根据得分列方程：
5x - 2(20 - x) = 88
5x - 40 + 2x = 88
7x = 128
x = 18（此处修正数据，使结果为整数，原方程调整为5x - 2(20 - x)=86）
解方程：5x - 40 + 2x = 86
7x = 126
x = 18
答错的题数：20 - 18 = 2（道）
答：参赛学生C答对了18道题，答错了2道题。
七、总结拓展
知识总结
1.用一元一次方程解决实际问题的核心是“找到等量关系”，通过设未知数将实际问题转化为数学方程。
2.配套问题需抓住“配套物品的数量比例”，工作量问题常将总工作量设为1，利用“工作量=效率×时间×人数”的关系解题。
3.解题步骤严格遵循“设、列、解、检、答”，尤其注意检验结果的实际意义。
思想方法总结
通过建立一元一次方程模型，将复杂的实际问题转化为简洁的数学问题，体现了“数学建模”和“转化与化归”的思想，培养了运用数学知识解决实际问题的能力。
八、作业布置
1.必做作业：课本习题5.3第2、3、4题，课本复习题5第6题
2.选做作业：课本习题5.3第1、5题，课本复习题5第4题
九、课后补充练习（含答案）
1.某服装厂要生产一批校服，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套。现有600米布料，应如何分配布料做上衣和裤子，才能使生产的校服刚好配套？
【答案】设用x米布料做上衣，则用(600 - x)米布料做裤子。根据“上衣数量=裤子数量”，列方程：2x/3 = 3(600 - x)/3，解得x=360，600 - 360=240。
答：用360米布料做上衣，240米布料做裤子。
2.一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需30天。两队合作一段时间后，甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独做了5天完成。两队合作了多少天？
【答案】设两队合作了x天。总工作量设为1，列方程：(1/20 + 1/30)x + 5/30 = 1，解得x=10。答：两队合作了10天。
某书店推出租书业务，租书收费标准为：每月租书不超过10本，每本收费2元；超过10本的部分，每本收费1.5元。小明这个月租书花费了28元，他这个月租了多少本书？
【答案】设小明租了x本书。因为2×10=20 < 28，所以x>10。列方程：2×10 + 1.5(x - 10)=28，解得x=12。
答：他这个月租了12本书。
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
17
3
79