人教版（2024）七年级上册数学第一章 有理数（高效培优单元测试·强化卷）（含答案+解析）

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第一章 有理数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行10次空翻记作+10，则人形机器人向后进行15次空翻记作（　　） A．+10 B．﹣10 C．+15 D．﹣15 【答案】D 【解答】解：若人形机器人向前进行10次空翻记作+10， 则人形机器人向后进行15次空翻记作﹣15， 故选：D． 2．下列说法中不正确的有（　　） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数；③一个有理数不是整数就是分数；④0的绝对值是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解： 绝对值最小的数是0，所以①不正确； 0既不是正负，也不是负数，所以②正确； 整数和分数统称有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，所以③正确； 0的绝对值是0，所以④正确； 所以不正确的只有①， 故选：A． 3．π﹣3.14的相反数是（　　） A．0 B．﹣π﹣3.14 C．π+3.14 D．3.14﹣π 【答案】D 【解答】解：π﹣3.14的相反数是3.14﹣π． 故选：D． 4．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A 【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数， ∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0， 又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝1，b＝2， a+b＝1+2＝3． 故选：A． 5．数轴上点H到表示﹣1的点的距离是3，则点H表示的数是（　　） A．2 B．﹣4 C．﹣4或3 D．﹣4或2 【答案】D 【解答】解：∵数轴上点H到表示﹣1的点的距离是3， ∴若点H在表示﹣1的点的左侧，则点H表示的数是﹣1﹣3＝﹣4， 若点H在表示﹣1的点的右侧，则点H表示的数是﹣1+3＝2， 综上所述，点H表示的数是﹣4或2． 故选：D． 6．如图，A，B，C、D四个点将数轴上﹣6与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【解答】解：∵﹣6到5的距离为：5﹣（﹣6）＝11，数轴上﹣6与5两点间的线段五等分， ∴每一份为11÷5＝2.2， ∴A点表示的数为﹣6+2.2＝﹣3.8，B点表示的数为：﹣6+2.2×2＝﹣1.6，C点表示的数为﹣6+2.2×3＝0.6，B点表示的数为：﹣6+2.2×4＝2.8， ∵|0.6|＜|﹣1.6|＜|2.8|＜|﹣3.8|， ∴点C表示的数最靠近原点． 故选：C． 7．若不为0的有理数a与b互为相反数，同学们化简a+b后得出了下列不同的结果：①﹣2b；②﹣2a；③2a；④0．其中结果错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵不为0的有理数a与b互为相反数， ∴a+b＝0， ∴①②③错误，④正确； 故选：C． 8．如果|m|＝n，则m，n的关系是（　　） A．互为相反数 B．m＝±n，且n≥0 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【解答】解：∵|m|＝n， ∴m＝±n，且n≥0， 故选：B． 9．若|a﹣3|＝3﹣a，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 【答案】D 【解答】解：∵|a﹣3|＝3﹣a， ∴a﹣3≤0， 解得：a≤3． 故选：D． 10．已知：有理数a，b满足ab≠0，则|a|a+|b|b的值为（　　） A．±2 B．±1 C．±2或0 D．±1或0 【答案】C 【解答】解：∵ab≠0， ∴a＞0，b＜0，此时原式＝1﹣1＝0； a＞0，b＞0，此时原式＝1+1＝2； a＜0，b＜0，此时原式＝﹣1﹣1＝﹣2； a＜0，b＞0，此时原式＝﹣1+1＝0， 故选：C． 11．定义：对于任意数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[10]＝10，[﹣π]＝﹣4．若[a]＝﹣6，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣6 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣7＜a≤﹣6 【答案】B 【解答】解：∵[a]＝﹣6， ∴a的取值范围是﹣6≤a＜﹣5； 故选：B． 12．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：∵比a小2的数用b表示， ∴b＝a﹣2， ∴|a|+|b| ＝|a﹣0|+|a﹣2|， 那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小， 显然这个点就是在0与2之间， 当a在区间0与2之间时， |a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值， ∴|a|+|b|的最小值为2， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．写一个比﹣1大的数 　0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：﹣1＜0． 故答案为：0（答案不唯一）． 14．某车间生产一批圆柱形机器零件，从中抽出了6件进行检验，把标准直径的长记为0，比标准直径长的记为正数，比标准直径短的记为负数，检查记录如下： 则第 　5　 个零件最符合标准． 【答案】5． 【解答】解：由题知， |+0.2|＝0.2，|+0.4|＝0.4，|﹣0.3|＝0.3，|+0.3|＝0.3，|﹣0.1|＝0.1，|﹣0.2|＝0.2． 且0.1＜0.2＝0.2＜0.3＝0.3＜0.4， 所以第5个零件最符合标准． 故答案为：5． 15．已知数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣1，点B在数轴的负半轴上，若AB＝3，则点B表示的数为 　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：设点B表示的数为x． ∵点B在数轴的负半轴上， ∴x＜0． ∵点A表示的数为﹣1，且AB＝3， ∴|﹣1﹣x|＝3． 当﹣1﹣x＝3时， 解得x＝﹣4． 当﹣1﹣x＝﹣3时， 解得x＝2，不符合要求，舍去． ∴点B表示的数为﹣4． 故答案为：﹣4． 16．绝对值大于3.5而小于9的所有整数的和等于 　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：绝对值大于3.5而小于9的整数包括±4，±5，±6，±7，±8， 故绝对值大于3.5而小于9的所有整数的和等于0． 故答案为：0． 17．在数轴上，a所表示的点总在b所表示的点的右边，且|a|＝6，|b|＝3，则a﹣b的值为 　3或9　 ． 【答案】3或9． 【解答】解：∵a所表示的点总在b所表示的点的右边，且|a|＝6，|b|＝3， ∴a＝6，b＝±3， ∴a﹣b＝6﹣3＝3，或 a﹣b＝6﹣（﹣3）＝9． 故答案为：3或9． 18．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 　7　 ，这样移动2019次后该点到原点的距离为 　3028　 ． 【答案】7，3028． 【解答】解：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动1个单位长度，即1＝3×（1﹣1）+1； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动4＝3×（2﹣1）+1个单位长度； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动7＝3×（3﹣1）+1个单位长度； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推， 移动5次后该点对应的数为1﹣4+7﹣10+13＝7； 由规律可知第n次移动（3n﹣2）个单位长度， n为奇数时向右移动，n为偶数时向左移动， 第2019次向右移3×2019﹣2＝6055个单位长度，（2019﹣1）÷2＝2018÷2＝1009， 即前2018次移动后该点表示的数1009×（﹣3）＝﹣3027，﹣3027+6055＝3028， 所以这样移动2019次后该点表示的数为3028，距离原点的距离为3028． 故答案为：7，3028． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）把下列各数填在相应的集合中： 15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14． 正数集合{ 　15，0.81，227，171，3.14　 …}； 负分数集合{ 　−12，﹣3.1　 …}； 非负整数集合{ 　15，171，0　 …}； 有理数集合{ 　15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14　 …}． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：正数集合{15，0.81，227，171，3.14…}； 负分数集合 {−12，﹣3.1…}； 非负整数集合{15，171，0…}； 有理数集合{15，−12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14…}； 20．（8分）已知下列各有理数：﹣2.5，0，|﹣3|，﹣（﹣2），12，﹣1… （1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点； （2）用“＜”号把这些数连接起来． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图， （2）﹣2.5＜﹣1＜0＜12＜−（﹣2）＜|﹣3|． 21．（8分）某生活超市购进标准重量为25千克的白菜5筐，可实际上每框都有误差，如果超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，那么这5筐白菜的误差如图（单位：千克）． （1）求这5筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ （2）求这5筐白菜实际总重量是多少千克？ 【答案】（1）这5筐白菜总计不足2.5千克．（2）这5筐白菜实际总重量是122.5千克． 【解答】解：（1）﹣3+2﹣0.5+1﹣2＝﹣2.5（千克）．答：这5筐白菜总计不足2.5千克． （2）5×25﹣2.5＝122.5（千克）．答：这5筐白菜实际总重量是122.5千克． 22．（8分）如图，数轴上的两点A，B所对应的数分别为﹣1，11，点M在数轴上，且点M对应的数为a． （1）若a＝1，求A、B、M三点对应数的和； （2）若M点在B点的左侧，且MB＝3AM，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点A，B所对应的数分别为﹣1，11，点M对应的数为a，a＝1， ∴A、B、M三点对应数的和为：﹣1+1+11＝11； （2）由于M点在B点的左侧，则MB＝11﹣a； 当M点在点A右侧时，则AM＝a+1， ∵MB＝3AM， ∴11﹣a＝3（a+1）， 解得，a＝2； 当M点在点A的左侧时，则AM＝﹣1﹣a， ∵MB＝3AM， ∴11﹣a＝3（﹣1﹣a）， 解得，a＝﹣7； ∴a的值为2或﹣7． 23．（10分）若|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0，计算： （1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|+|z|的值． 【答案】（1）x＝2，y＝﹣7，z＝9； （2）18． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0， 解得x＝2，y＝﹣7，z＝9； （2）当x＝2，y＝﹣7，z＝9时， 原式＝|2|+|﹣7|+|9| ＝2+7+9 ＝18． 24．（10分）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　49　 km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】（1）49； （2）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （3）估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省179.6元． 【解答】解：（1）由表格得：（+33）﹣（﹣16）＝49（km）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km， 故答案为：49； （2）（﹣8）+（﹣12）+（﹣16）+0+（+22）+（+31）+（+33） ＝﹣36+86 ＝50（km）， 50×7+50＝400（km）； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400km． （3）用汽油的费用：400100×6.5×8.2=213.2（元）， 用电的费用：400100×15×0.56=33.6（元）， 213.2﹣33.6＝179.6（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省179.6元． 25．（10分）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如： |7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；|34−12|=34−12；|12−34|=34−12． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|6﹣9|＝　9﹣6　 ； ②|3﹣π|＝　π﹣3　 ． （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝　b﹣a　 ； （3）请利用你探究的结论计算：|12−1|+|13−12|+|14−13|+⋯+|12025−12024|． 【答案】（1）①9﹣6，②π﹣3； （2）b﹣a； （3）20242025． 【解答】解：（1）①∵6﹣9＜0， ∴|6﹣9|＝9﹣6， 故答案为：9﹣6； ②∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|＝π﹣3， 故答案为：π﹣3； （2）∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a， 故答案为：b﹣a； （3）原式=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(12024−12025) =1−12+12−13+13−14+⋯+12024−12025 =1−12025 =20242025． 26．（10分）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道|x|=x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而在化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+l； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）|x+2|和|x﹣4|的零点值是 　﹣2和4　 ； （2）化简：|x+2|+|x﹣4|； （3）解方程：|x+2|+|x﹣4|＝10． 【答案】（1）﹣2和4； （2）当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2； 当﹣2≤x＜4时，原式＝（x+2）﹣（x﹣4）＝6； 当x≥4时，原式＝（x+2）+（x﹣4）＝2x﹣2； （3）x＝﹣4或x＝6． 【解答】解：（1）令x+2＝0和x﹣4＝0， 解得：x＝﹣2和x＝4， 故答案为：﹣2和4； （2）由x+2＝0得x＝﹣2，由x﹣4＝0得x＝4， ①当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2； ②当﹣2≤x＜4时，原式＝（x+2）﹣（x﹣4）＝6； ③当x≥4时，原式＝（x+2）+（x﹣4）＝2x﹣2； （3）①当x＜﹣2时，方程可化为：﹣2x+2＝10，解得：x＝﹣4； ②当﹣2≤x＜4时，方程可化为：6＝10，无解； ③当x≥4时，方程可化为：2x﹣2＝10，解得：x＝6． 序号123456与标准直径的差值+0.2+0.4﹣0.3+0.3﹣0.1﹣0.2第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）﹣8﹣12﹣160+22+31+33