专题2 绝对值的意义与非负性（解析版+原卷版）-2025-2026学年七年级数学上提优专题训练及试卷测试(人教版）

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专题2 绝对值的意义与非负性（解析版） 类型一 绝对值的非负性 1．（2023秋•扶沟县期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【思路引领】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数， ∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0， 又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝1，b＝2， a+b＝1+2＝3． 故选：A． 【总结提升】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零0是解题关键． 2．（2024秋•上杭县期中）已知x，a，b均为有理数，且满足|a﹣x|＝6，|x﹣b|＝4，那么|a﹣b|的最大值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【思路引领】根据绝对值的定义求解． 【解答】解：∵|a﹣x|＝6， ∴|x﹣a|＝6， ∵|x﹣b|＝4， ∴在数轴上，x表示的点到a表示的点的距离是6，x表示的点到b表示的点的距离是4， 当a，x，b表示的点在一条直线上，且a，b表示的点在x表示的点的两侧时，|a﹣b|最大，最大值为6+4＝10， 故选：C． 【总结提升】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握在数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值． 3．（1）当x＝　3　时，|x﹣3|+5有最小值为 　5　． （2）当x＝　−12　时，9−|x+12|有最大值为 　9　． 【思路引领】根据绝对值的非负性进行解答． 【解答】解：（1）∵|x﹣3|≥0， ∴|x﹣3|+5≥5， ∴当x＝3时，|x﹣3|有最小值5． 故答案为：3，5； （2）∵|x+12|≥0， ∴9﹣|x+12|≤9， ∴当x=−12时，9−|x+12|有最大值为9． 故答案为：12，9． 【总结提升】本题主要考查绝对值的非负性，熟练运用非负性进行作答是解题的关键． 类型二 绝对值的化简（代数意义） 4．（2024秋•泰兴市校级月考）若a表示一个有理数，且有|﹣3﹣a|＝3+|a|，则a应该是（　　） A．任意一个有理数 B．任意一个正数 C．任意一个负数 D．任意一个非负数 【思路引领】将等式两边平方后化简，即可得出答案． 【解答】解：由题意得：（﹣3﹣a）2＝（3+|a|）2， 开平方得：9+6a+a2＝9+6|a|+a2， 整理得：|a|＝a， 故可得a为非负数． 故选：D． 【总结提升】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是将两边平方后化简． 5．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，那么点B应在（　　） A．点A，C的右边 B．点A，C的左边 C．点A，C之间 D．以上三种情况都有可能 【思路引领】首先根据已知条件可得a＜b＜c或c＜b＜a；接下来分a＜b＜c与c＜b＜a两种情况对给出的式子的左边进行去绝对值化简，问题便可解答． 【解答】解：∵|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|， ∴a＜b＜c或c＜b＜a． 当a＜b＜c时，|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a＝|a﹣c|； 当c＜b＜a时，|a﹣b|+|b﹣c|＝a﹣b+b﹣c＝a﹣c＝|a﹣c|． 故点B在A，C之间． 故选：C． 【总结提升】本题是一道关于确定数轴上点的位置的题目，解答本题的关键是熟练掌握数轴与绝对值的相关知识． 6．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|＝1，则p﹣n＝　±1　． 【思路引领】由于|m﹣n|+|p﹣m|＝1，且m、n、p都是整数，那么只有两种情况：①|m﹣n|＝1，p﹣m＝0；②m﹣n＝0，|p﹣m|＝1；这两种情况都可以得出p﹣n＝±1；从而求解． 【解答】解：因为m，n，p都是整数，|m﹣n|+|p﹣m|＝1，则有： ①|m﹣n|＝1，p﹣m＝0；解得p﹣n＝±1； ②|p﹣m|＝1，m﹣n＝0；解得p﹣n＝±1． 综合上述两种情况可得：p﹣n＝±1． 故答案为：±1． 【总结提升】本题主要考查了非负数的性质，根据已知条件求出p、n的关系式是解答本题的关键． 7．学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题： （1）|2﹣3|＝　1　； （2）|3.14﹣π|＝　π﹣3.14　； （3）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝　b﹣a　； （4）请利用你探究的结论计算下面式子：|12−1|+|13−12|+|14−13|+…+|12021−12020|+|12022−12021|． 【思路引领】（1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）判断a﹣b的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【解答】解：（1）|2﹣3|＝3﹣2＝1； （2）|3.14﹣π|＝π﹣3.14； （3）∵a＜b，即a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a； （4）原式＝1−12+12−13+13−14+⋯+12021−12022=1−12022=20212022． 故答案为：（1）1；（2）π﹣3.14；（3）b﹣a． 【总结提升】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型三 利用绝对值的几何意义求最值 8．我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示a的点与原点的距离，即|a|＝|a﹣0|．这个结论可以推广为： ①|a﹣b|表示在数轴上表示数a、b的两点间的距离； ②|a+b|表示在数轴上表示数a、﹣b的两点间的距离． 根据以上结论探究： （1）|5﹣2|表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以|5﹣2|＝　3　；|5+2|表示5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以|5+2|＝　7　． （2）数轴上表示数x的点在1与3之间移动时，|x﹣1|+|x﹣5|的值是一个固定的值，为 　4　． （3）|x+1|可理解为x与 　﹣1　两数在数轴上所对应的两点之间的距离，要使|x﹣3|+|x+2|＝7，则x＝　﹣3或4　． （4）当式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，求出x的值． （5）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是多少？ 【思路引领】（1）5﹣2＝3，|3|＝3，5+2＝7，|7|＝7； （2）作数轴辅助，表示数x的点在1与3之间移动时，|x﹣1|+|x﹣5|表示x到1的距离加上x到5的距离； （3）|x+1|可理解为x与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x﹣3|+|x+2|＝7表示x到3的距离加上x到﹣2的距离等于7，可得x的值； （4）用奇点偶段法可得； （5）用奇点偶段法可得． 【解答】解：（1）|5﹣2|＝3，|5+2|＝7， 故答案为：3，7； （2）， 如图，表示数x的点在1与3之间移动时，|x﹣1|+|x﹣5|＝|5﹣1|＝4， 故答案为：4； （3）|x+1|可理解为x与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离， ， ∵|x﹣3|+|x+2|＝7， ∴x＝﹣3或x＝4， 故答案为：﹣1，﹣3或4； （4）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示x到﹣1的距离加上x到2的距离加上x到3的距离， 当式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2； （5）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值，即x＝3时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|＝6． 【总结提升】本题考查了数轴、绝对值，关键是掌握奇点偶段法． 9．（2024秋•东莞市校级月考）已知，乙数的绝对值是甲数绝对值的3倍，甲数，乙数在数轴上位于原点的两侧，甲数在乙数的左侧，且甲数乙数表示的两点的距离为8． （1）求甲数为 　﹣2　，乙数为 　6　． （2）数轴上有一个点丙，它到甲，乙的距离相等，求点丙所表示的数是 　2　． （3）一只昆虫A从甲表示的数出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只昆虫B从乙表示的数出发也向右运动．最终两只昆虫相遇于数轴上的C处，C表示的数是10．求昆虫B的速度是多少？ 【思路引领】（1）设甲数为x，可得﹣3x﹣x＝8，即可解得答案； （2）丙到甲，乙的距离相等，可得点丙所表示的数是−2+62=2； （3）设运动的时间为t秒，昆虫B速度为v个单位/秒，可得﹣2+2t＝10，解得t＝6，故6+6v＝10，解得v=23． 【解答】解：（1）设甲数为x，则乙数为﹣3x， 根据题意得：﹣3x﹣x＝8， 解得x＝﹣2， ∴﹣3x＝﹣3×（﹣2）＝6， ∴甲数为﹣2，乙数为6， 故答案为：﹣2，6； （2）∵丙到甲，乙的距离相等， ∴点丙所表示的数是−2+62=2， 故答案为：2； （3）设运动的时间为t秒，昆虫B速度为v个单位/秒，则昆虫A所在点表示的数是﹣2+2t，昆虫B所在点表示的数是6+vt， 根据题意得﹣2+2t＝10， 解得t＝6， ∴6+6v＝10， 解得v=23， 答：昆虫B的速度是23个单位/秒． 【总结提升】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．