专题1 数轴上的点（解析版+原卷版）-2025-2026学年七年级数学提优专题训练及试卷测试(人教版）

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专题1 数轴上的点（解析版） 类型一 数轴上两点之间的距离 1．（2024•南充）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【思路引领】一个数到原点的距离可以用绝对值表示，例如|x|表示数x表示的点到原点的距离．所以，表示数m和m+2的点到原点的距离相等可以表示为|m|＝|m+2|．然后，进行分类讨论，即可求出对应的m的值． 【解答】解：由题意得：|m|＝|m+2|， ∴m＝m+2或m＝﹣（m+2）， ∴m＝﹣1． 故选：D． 【总结提升】本题在根据绝对值的几何意义列出方程之后，在解方程的时候要注意分类讨论，除了同一个数的绝对值相等之外，相反数的绝对值也相等．并且，在解方程之后，会发现有一个方程是无解的．这是一个易错题． 2．如图，数轴上的六个点满足相邻两点之间距离相等，即AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近﹣10的点是（　　） A．点B B．点C C．点D D．点E 【思路引领】根据题意可知：AF＝﹣4﹣（﹣13）＝9，由于AB＝BC＝CD＝DE＝EF，所以每一段等于9÷5=95，进而求出每个点对应的数字． 【解答】解：根据题意可知：AF＝﹣4﹣（﹣13）＝9， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF， ∴每一段等于9÷5=95， ∴B、C、D、E分别表示的数为：﹣11.2，﹣9.4，﹣7.6，﹣5.8， 故选：B． 【总结提升】本题考查数轴的三要素，涉及线段计算问题以及有理数运算． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 　3　． ②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是 　4　． ③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是 　7　． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （3）应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|＝7，那么a＝　10或﹣4　． ②求|a+4|+|a﹣3|的最小值． 【思路引领】（1）根据两点间距离的求法直接求解即可； （3）①由题意可得，a﹣3＝7或a﹣3＝﹣7，求出a的值即可； ②根据绝对值的几何意义，当﹣4≤a≤3时，|a+4|+|a﹣3|的最小值是7． 【解答】解：（1）①表示5和2的两点之间的距离是|5﹣2|＝3， 故答案为：3； ②表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣6）|＝4， 故答案为：4； ③表示﹣4和3的两点之间的距离是|﹣4﹣3|＝7， 故答案为：7； （3）①∵|a﹣3|＝7， ∴a﹣3＝7或a﹣3＝﹣7， 解得a＝10或a＝﹣4， 故答案为：10或﹣4； ②∵|a+4|+|a﹣3|表示数轴上表示a的数与表示﹣4、3的数的点的距离之和， ∴当﹣4≤a≤3时，|a+4|+|a﹣3|的最小值是7． 【总结提升】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义，两点间距离的求法是解题的关键． 类型二 数轴上点的移动 4．数轴上点A先向右移动10个单位长度，再向左移动6个单位长度后达到点B，若点B表示的数为﹣2，则点A表示的数是（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【思路引领】设点A表示的数是x，根据题干中的点的变化找出等量关系列出方程，进而解决此题． 【解答】解：设点A表示的数是x． 由题意得：x+10﹣6＝﹣2． ∴x＝﹣6． 故选：D． 【总结提升】本题主要考查数轴上的点表示的数以及解一元一次方程，熟练掌握数轴上的点表示的数以及解一元一次方程是解决本题的关键． 5．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． （1）若点A所表示的数是﹣1，则点C所表示的数是 　7　； （2）若点A，B所表示的数互为相反数，则数轴的原点O对应直尺上的刻度为 　5　，此时p的值为 　5　； （3）若点C，O之间的距离为4，求p的值； （4）该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点O． ①将原点O沿数轴向左移动1厘米，p的值为 　8　，再将原点O向左移动1厘米，p的值为 　11　； ②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会如何变化． 【思路引领】（1）先求得A、C的距离，再用A点表示的数加上A、C表示的距离便可得C点表示的数； （2）根据AB＝8﹣2＝6，点A和B表示的数互为相反数，即可得到A、B两点表示的数，进而根据A点在刻度尺上的位置求得O点位置，以及C点表示的数，进而求得p的值； （3）由点C，O之间的距离为4，求得C点表示的数（两种情况），再根据A、B、C在刻度尺上的位置关系求得对应的A点、B点表示的数，进而求得p的值； （4）①根据O点移动的距离，结合A、O、B、C的距离关系求得对应的A点、B点、C点表示的数，便可求得p的值； ②根据O点向左移动1cm，则A、B、C三点表示的数均增大1，便可得出结论． 【解答】解：（1）∵A对应刻度2，C对应刻度10， ∴AC＝10﹣2＝8， ∵点A所表示的数是﹣1， ∴点C所表示的数﹣1+8＝7， 故答案为：7； （2）∵A对应刻度2，B对应刻度8， ∴AB＝8﹣2＝6， ∵点A与点B表示的数互为相反数，且A在B点左侧， ∴A表示﹣3，B表示3， ∴原点O对应直尺上的刻度为2+3＝5， ∵AC＝8， ∴点C在数轴上表示的数是﹣3+8＝5， ∵点A，B，C所表示的数的和是p， ∴p＝﹣3+3+5＝5， 故答案为：5；5； （3）∵点C，O之间的距离为4， ∴点C表示的数是±4， 当点C表示的数是4时， 则点A表示的数是4﹣8＝﹣4， 点B表示的数是4﹣2＝2， ∴p＝﹣4+2+4＝2； 当点C表示的数是﹣4时， 则点A表示的数是﹣4﹣8＝﹣12， 点B表示的数是﹣4﹣2＝﹣6， ∴p＝﹣12﹣6﹣4＝﹣22； 故p＝2或﹣22； （4）①∵原点O沿数轴向左移动1厘米， ∴点A表示的数为﹣3+1＝﹣2， 点B表示的数为3+1＝4， 点C表示的数为5+1＝6， ∴p＝﹣2+4+6＝8， 若再将原点O向左移动1厘米， 则点A表示的数为﹣3+2＝﹣1， 点B表示的数为3+2＝5， 点C表示的数为5+2＝7， ∴p＝﹣1+5+7＝11， 故答案为：8；11； ②根据题意得，原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会增大3． 【总结提升】本题考查利用数轴表示数，数轴上两点之间的距离，相反数，熟记数轴上点移动的规律进行计算是解题的关键． 类型三 数轴上点的规律运动 6．（2024秋•红河州期末）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合…），则数轴上表示﹣2023的点与圆周上表示数字 　2　的点重合． 【思路引领】根据题意得出每4个数为一个循环组依次循环，然后即可得出结果． 【解答】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环， ∵2023÷4＝505…3， ∴表示﹣2023的点是第506个循环组的第3个数2重合， 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了实数与数轴，关键在于观察出每4个数为一个循环组依次循环． 7．（2024秋•江阴市期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进4步后退3步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为一个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数．则下列结论中正确的有　①②③④　．（只需填入正确的序号） ①x3＝3；②x5＝3；③x101＜x102；④x2019＜x2024． 【思路引领】“前进4步后退3步”这7秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节末位的数即x7＝1，第二个循环节末位的数即x14＝2，第三个循环节末位的数即x21＝3，…，即第m个循环节末位的数即x7m＝m，然后再根据“前进4步后退3步”的运动规律来求取对应的数值． 【解答】解：根据题意可知： x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝3，x6＝2，x7＝1，x8＝2，x9＝3，x10＝4，x11＝5，x12＝4，x13＝3，x14＝2，x15＝3… 由上可知：第一个循环节末位的数即x7＝1，第二个循环节末位的数即x14＝2，第三个循环节末位的数即x21＝3，…，即第m个循环节末位的数即x7m＝m． ∵x98＝14， ∴x99＝15，x100＝16，x101＝17，x102＝18， 故x102＞x101， ∵x2016＝288， ∴x2017＝289，x2018＝290，x2019＝291，x2024＝292， 故x2019＜x2024， 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 【总结提升】本题考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．“前进4步后退3步”这7秒组成一个循环结构，找出规律，利用规律解决问题是本题的关键． 类型四 数轴上的折叠与旋转 8．（2024秋•历下区期中）【问题提出】在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决： 若将数轴折叠，使﹣2与4表示的点重合． （1）则﹣3表示的点与数 　5　表示的点重合； （2）若数轴上M、N两点之间的距离为2024，且M、N两点经过上述方法折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【反思生疑】解决这个问题后，小寻同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转180°，得到了如图2的“新数轴”： 晓晓同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴“吧！我来考考大家： （3）在这个“新数轴“上，a＝　﹣2　，b＝　4　，点A与点B之间的距离为 　6　； （4）在这个“新数轴”上，若点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向左移动，经过多少秒，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍？此时，点P在“新数轴”上对应的数是多少？ 【思路引领】（1）设和﹣3对应的数为x，根据﹣3和x与﹣2和4对称中心为同一个数列出方程，解方程即可； （2）先求出对折点所表示的数为1，然后根据MN的距离为2024，得出M，N到1的距离为1011，然后分两种情况求出M，N的值； （3）根据新数轴上点的表示方法得出结论； （4）点P在A、B之间和点P在B左侧两种情况根据PA＝2PB列方程求解即可． 【解答】解：（1）设和﹣3对应的数为x， 则−3+x2=−2+42， 解得x＝5， 故答案为：5； （2）∵将数轴折叠，使﹣2与4表示的点重合， ∴对折点对应的数值为1， 又∵数轴上M、N两点之间的距离为2024，且上述方法折叠后互相重合， ∴点M、N分别到1的距离为1011， 若M在N的左侧，则M点为1﹣1011＝﹣1010，N点为1+1011＝1012； 若M在N的右侧，则M点为1+1011＝1012，N点为1﹣1011＝﹣1010， ∴M，N两点表示的数﹣1010，1012或1012，﹣1010； （3）由数轴的表示方法得：a＝﹣2，b＝4， 点A与点B之间的距离为4+2＝6， 故答案为：﹣2，4，6； （4）①当点P在A、B之间时， ∵AB间距离为6，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍， ∴2t＝2（6﹣2t）， 解得t＝2， 点P表示的数为﹣2+2t＝﹣2+4＝2； ②当点P在B左侧时， ∵AB间距离为6，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍， ∴PA＝2PB＝2AB＝2×6＝12， ∴12÷2＝6（秒） 且点P表示的数为﹣2+2t＝10． 综上所述，经过2秒或6秒，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍，此时，点P在“新数轴”上对应的数是2或10． 【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用以及新数轴，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，中心对称． 9．（2023秋•兰山区期中）【问题提出】：在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决：若将数轴折叠，使﹣3与5表示的点重合． （1）则﹣2表示的点与数 　4　表示的点重合； （2）若数轴上M，N两点之间的距离为2024，且M，N两点经过上述方法（与已知对折点相同）折叠后互相重合，求M，N两点表示的数； 【反思生疑】：解决这个问题后，小强同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转180°，得到了如图2的“新数轴”； 小娜同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴“吧!我来考考大家： （3）在这个“新数轴“上，a＝　4　，b＝　﹣2　，点A与点B之间的距离为 　6　； （4）在这个“新数轴”上，若点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向左移动，设移动的时间为t s，则当t为多少时，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍？此时，点P在“新数轴”上对应的数是多少？ 【思路引领】（1）根据中点公式求解； （2）根据中点公式列方程求解； （3）根据数轴的特点求解； （4）根据“点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍”列方程求解． 【解答】解：（1）﹣3+5﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4； （2）设M表示的数为x， 当M在N的左边时，N表示的数为（x+2024），则：x+x+2024＝﹣3+5，解得：x＝﹣1011，∴x+2024＝1013， 当M在N的右边时，N表示的数为（x﹣2024），则：x+x﹣2024＝﹣3+5，解得：x＝1013，∴x﹣2024＝﹣1011， 答：M，N两点表示的数﹣1011和1013； （3）在这个“新数轴“上，a＝4，b＝﹣2，点A与点B之间的距离为：4﹣（﹣2）＝6， 故答案为：4，﹣2，6； （4）由题意得：2t＝2|2t﹣2﹣4|， 解得：t＝2或t＝6， 当t＝2时：﹣2+2t＝2， 当t＝6时：﹣2+2t＝10， 答：点P在“新数轴”上对应的数是2或10． 【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．