人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘方导学案

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知识点01 有理数的乘方的意义
有理数的乘方的意义：
求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： an ，读作： a的次n方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： a的次n幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。
特别提示：
当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。
当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 −22 ；
的四次方写成 232 。
（3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。
【即学即练1】
1．45表示（ ）
A．4个5相乘B．5个4相乘
C．5与4的积D．5个4相加的和
【答案】B
【解答】解：45表示5个4相乘．
故选：B．
【即学即练2】
2．对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（ ）
A．指数是﹣3B．底数是3
C．幂是9D．表示2个3相乘
【答案】C
【解答】解：A．（﹣3）2的指数是2，故选项A错误；
B．（﹣3）2的底数是﹣3，故选项B错误；
C．（﹣3）2的幂是9，故选项C正确；
D．（﹣3）2表示2个﹣3相乘，故选项D错误．
故选：C．
知识点02 有理数的乘方的计算
有理数的乘方的计算：
a·a·a·...·a（n个a） 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。
特别提示：
正数的任何次方都是 正数 。
负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。
0的任何正整数次方（除0外）都得 0 。
1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。
【即学即练1】
3．求下列各式的值：
（1）（﹣3）3 （2）（−12）3 （3）（﹣112）3 （4）﹣（﹣0.3）3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（﹣3）3＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣27，
（2）（−12）3＝（−12）×（−12）×（−12）=−18，
（3）原式＝（−32）3＝（−32）×（−32）×（−32）=−278，
（4）原式＝﹣（﹣0.3）×（﹣0.3）×（﹣0.3）＝0.027．
知识点03 有理数的偶次方
有理数的偶次方：
由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。
【即学即练1】
4．已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，则xy＝ ﹣8 ．
【答案】﹣8．
【解答】解：∵|x+2|+|y﹣3|＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝﹣2，y＝3，
故xy＝（﹣2）3＝﹣8．
【即学即练2】
5．如果a表示一个有理数，那么式子a2+3的最小值是 3 ，此时a＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a2≥0，
∴a＝0时，a2+3有最小值，是3．
故答案为：3；0．
知识点04 的区别与联系
三者的意义（区别）：
表示的意义是 n个a相乘的积 ，即 a·a·a·...·a（n个a） ，底数是 a 。
表示的意义是 n个a相乘的积的相反数 ，即 －a·a·a·...·a（n个a） ，底数是 a 。
表示的意义是 n个－a相乘的积 ，即 （−a）（−a）（−a）...（−a）（n个−a），底数是 －a 。
三者的联系
当为奇数时， －an 和 −an 相等，他们与互为 相反数 。
当为偶数时， an 和 −an 相等，他们与互为 相反数 。
【即学即练1】
6．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．23和32B．﹣33和（﹣3）3
C．﹣22和（﹣2）2D．﹣（23）3和−233
【答案】B
【解答】解：A、23＝8，32＝9，不相等；
B、﹣33＝（﹣3）3＝﹣27，相等；
C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等；
D、﹣（23）3=−827，−233=−83，不相等，
故选：B．
【即学即练2】
7．计算下列各题，并说说它们的区别．
（1）(35)3； （2）335； （3）353．
【答案】（1）27125；（2）275；（3）3125；区别见解答过程．
【解答】解：（1）(35)3=35×35×35=27125；
（2）335=3×3×35=275；
（3）353=35×5×5=3125．
区别：有理数的乘方运算，底数不同，第（1）题进行有理数的乘方运算，其底数是35，第（2）题分子部分进行有理数的乘方运算，其底数是3，第（3）题分母部分进行有理数的乘方运算，其底数是5．
知识点05 有理数的混合运算
有理数的混合运算法则：
先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。
【即学即练1】
8．计算：
（1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）； （2）（﹣1）2023−278×（13−1）÷（﹣3）2；
（3）（﹣2）4+（﹣4）×（12）2﹣（﹣1）3； （4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）×13×[2﹣（﹣3）2]．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）
＝﹣5+16﹣21
＝11﹣21
＝﹣10；
（2）（﹣1）2023−278×（13−1）÷（﹣3）2
＝﹣1−278×（−23）÷9
＝﹣1−278×（−23）×19
＝﹣1+14
=−34；
（3）（﹣2）4+（﹣4）×（12）2﹣（﹣1）3
＝16+（﹣4）×14−（﹣1）
＝16+（﹣1）+1
＝16；
（4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）×13×[2﹣（﹣3）2]
＝1−12×13×（2﹣9）
＝1−16×（﹣7）
＝1+76
=136．
题型01 有理数的幂的概念的理解
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A．﹣35的底数是﹣3B．23表示3个2相加
C．（﹣2）3与﹣23意义相同D．﹣23的指数是3
【答案】D
【解答】解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1】﹣23表示的意义是（ ）
A．3个﹣2相乘B．3个2相乘的相反数
C．2个﹣3相加D．2个3相乘的相反数
【答案】B
【解答】解：意义是3个2相乘的相反数，
故选：B．
【变式2】关于（﹣2）4说法正确的是（ ）
A．结果是﹣8B．底数是4，指数是﹣2
C．可以表示为﹣2×2×2×2D．底数是﹣2，指数是4
【答案】D
【解答】解：A、（﹣2）4＝16，故此选项不符合题意；
B、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项不符合题意；
C、（﹣2）4表示（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），故此选项不符合题意；
D、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式3】关于（﹣3）4的正确说法是（ ）
A．﹣3是底数，4是幂
B．﹣3是底数，4是指数，﹣81是幂
C．3是底数，4是指数，81是幂
D．﹣3是底数，4是指数，81是幂
【答案】D
【解答】解：（﹣3）4中，﹣3是底数，4是指数，81是幂．
故选：D．
题型02 有理数的乘方运算
【典例1】计算：（1）﹣（﹣3）3； （2）（−34）2； （3）（−23）3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）﹣（﹣3）3＝﹣（﹣33）＝33＝3×3×3＝27．
（2）（−34）2=34×34=916．
（3）（−23）3＝﹣（23×23×23）=−827．
【变式1】计算：（1）23； （2）﹣54； （3）−627； （4）﹣（13）3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）23＝8；
（2）﹣54＝﹣625；
（3）−627=−367；
（4）﹣（13）3=−127．
【变式2】计算：
（1）(−45)3； （2）−(−38)2； （3）﹣25； （4）−729．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式=−64125；
（2）原式=−964；
（3）原式＝﹣32；
（4）原式=−499．
【典例2】下列各对数中，数值相等的是（ ）
A．﹣27与（﹣2）7B．﹣32与（﹣3）2
C．3×23与32×2D．﹣（﹣3）2与（﹣2）3
【答案】A
【解答】解：A、﹣27＝（﹣2）7＝﹣128，相等，符合题意；
B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等，不合题意；
C、3×23＝24，32×2＝18，不相等，不合题意；
D、﹣（﹣3）2＝﹣9，（﹣2）3＝﹣8，不相等，不合题意，
故选：A．
【变式1】下列各组式子中，运算结果相等的是（ ）
A．﹣23与（﹣2）3B．﹣（﹣2）2与22
C．（﹣2）2与﹣23D．|﹣22|与﹣|22|
【答案】A
【解答】解：A、﹣23＝（﹣2）3＝﹣8，选项正确；
B、﹣（﹣2）2＝﹣4，22＝4，选项错误；
C、（﹣2）2，＝4，﹣23＝﹣8，故选项错误；
D、|﹣22|＝4，﹣|22|＝﹣4，故选项错误．
故选：A．
【变式2】下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．﹣22和（﹣2）2B．−122和（−12）2
C．（﹣2）2和22D．﹣（−12）2和−122
【答案】C
【解答】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22≠（﹣2）2，
∴选项A不符合题意；
∵−122=−12，（−12）2=14，−122≠（−12）2，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣2）2＝4，22＝4，（﹣2）2＝22，
∴选项C符合题意；
∵﹣（−12）2=−14，−122=−12，﹣（−12）2≠−122，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
题型03 偶次方与绝对值的非负性
【典例1】已知|y−2|+(x−12)2=0，则（xy）2024的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2024D．﹣2024
【答案】A
【解答】解：∵|y−2|+(x−12)2=0，
∴y﹣2＝0，x−12=0，
∴x=12，y＝2，
∴（xy）2024=(12×2)2024=1．
故选：A．
【变式1】已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）3的值是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
【答案】A
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
所以（a+b）3＝（﹣2+1）3＝﹣1．
故选：A．
【变式2】当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵（a﹣2）2≥0，
∴当a＝2时，（a﹣2）2有最小值，
∴当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝2．
故答案为：2．
【变式3】若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求（a+b）2022+a2021的值．
【答案】0．
【解答】解：由题意得，a+1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
所以（a+b）2022+a2021
＝（﹣1+2）2022+（﹣1）2021
＝1﹣1
＝0．
【变式4】x取什么值时，式子（x+3）2+15的值最小，这个最小值是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x+3）2＝0时即x＝﹣3时，值最小，这个最小值为15．
题型04 有理数的混合运算
【典例1】计算：
（1）(−12)×(−8)+(−6)2； （2）−14+(−2)÷(+13)+|−9|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝4+36
＝40；
（2）原式＝﹣1﹣2×3+9
＝﹣1﹣6+9
＝2．
【变式1】计算
（1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4 （2）（58−23）×24−14÷（−12）3﹣|﹣25|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4
＝1×5+（﹣8）÷4
＝5﹣2
＝3；
（2）（58−23）×24−14÷（−12）3﹣|﹣25|
＝15﹣16−14÷（−18）﹣25
＝15﹣16+2﹣25
＝﹣24．
【变式2】计算
（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）； （2）﹣9÷3+（12−23）×12+（﹣3）2；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）×13×[2﹣（﹣32）]； （4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（−13）2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）
＝﹣20﹣5+18
＝﹣7
（2）−9÷3+(12−23)×12+(−3)2
＝﹣3+6﹣8+9
＝4
（3）−14−(1−0.5)×13×[2−(−32)]
＝﹣1−12×13×（2+9）
＝﹣1−16×11
＝﹣1−116
=−176；
（4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（−13）2
＝﹣49+2×9+（﹣6）×9
＝﹣49+18﹣54
＝﹣85
【变式3】计算：
（1）18+32÷（﹣2）3﹣（﹣4）2×5； （2）−6÷2+(13−34)×12+(−3)2；
（3）（﹣1）2021+（﹣2）3÷4×[5﹣（﹣3）2]； （4）−12022+[23×(−6)−(−4)2]÷(−5)．
【答案】（1）﹣66；（2）1；（3）7；（4）3．
【解答】解：（1）原式＝18+32÷（﹣8）﹣16×5
＝18+（﹣4）﹣80
＝14﹣80
＝﹣66；
（2）原式＝﹣6÷2+13×12−34×12+9
＝﹣3+4﹣9+9
＝1；
（3）原式＝﹣1+（﹣8）÷4×（5﹣9）
＝﹣1+（﹣2）×（﹣4）
＝﹣1+8
＝7；
（4）原式＝﹣1+（﹣4﹣16）÷（﹣5）
＝﹣1+（﹣20）÷（﹣5）
＝﹣1+4
＝3．
题型05 有理数乘方的简单应用
【典例1】某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片．
（1）这批药共有多少箱？
（2）这批药共有多少片？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）10×10×10×10＝104（箱）；
（2）10×10×10×10×100×100＝108（片）．
答：（1）这批药共有104箱，（2）这批药共有108片．
【变式1】某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米）
（1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？
（2）经过多少分钟人会感到不适．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）0.01×1×105＝103（纳米）；
（2）∵第9分钟病毒数量长度是：0.01×1×109＝107（纳米）=1100（米）=110（分米），
第10分钟病毒数量长度是：0.01×1×1010＝108（纳米）=110（米）＝1（分米），
∴经过10分钟人会感到不适．
【变式2】当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）．
（1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？
（2）计算当你对折6次时，层数是多少；
（3）如果纸的厚度是0.1mm，求对折7次时，总厚度是多少．
【答案】（1）折纸的次数是n时，折得的层数是2n（1≤n≤7且n为正整数）；
（2）64；
（3）12.8mm．
【解答】解：（1）纸对折一次时，就得到2层，即21层；
当对折两次时，就得到4层，即22层；
当对折三次时，就得到8层，即23层；
当折纸的次数是n时，折得的层数是2n（1≤n≤7且n为正整数）；
（2）26＝64，
所以对折6次时，层数是64；
（3）0.1×27＝0.1×128＝12.8（mm），
所以对折7次时，总厚度是12.8mm
1．对于算式（﹣3）4，正确的说法是（ ）
A．3是底数，4是指数B．3是底数，4是幂
C．﹣3是底数，4是幂D．﹣3是底数，4是指数
【答案】D
【解答】解：在（﹣3）4中，﹣3是底数，4是指数，（﹣3）4是幂，
故选：D．
2．下列各组数相等的有（ ）
A．（﹣2）2与﹣22B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2
C．﹣|﹣0.3|与0.3D．|a|与a
【答案】B
【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意；
C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意；
D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．对于(−3)×(−3)×⋯×(−3)︸m个(−3)相乘，若m＝2025，则其结果为（ ）
A．正数B．负数C．0D．不能确定
【答案】B
【解答】解：(−3)×(−3)×⋯×(−3)︸m个(−3)相乘=（﹣3）m，
∵负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，
∴m＝2025时，（﹣3）m是负数，
故选：B．
4．计算的（﹣a）3•（﹣a）4结果是（ ）
A．a7B．﹣a12C．a12D．﹣a7
【答案】D
【解答】解：原式＝（﹣a）7＝﹣a7，
故选：D．
5．32×32+32×32+32×32的结果是（ ）
A．34B．35C．36D．38
【答案】B
【解答】解：原式＝3×（32×32）＝31+2+2＝35，
故选：B．
6．已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（ ）
A．25B．﹣25C．10D．﹣10
【答案】A．
【解答】解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣5，b＝2，
∴ab＝（﹣5）2＝25．
故选：A．
7．定义一种幂的新运算：xm*xn＝xm+n+xmn，则21*22的值为（ ）
A．32B．10C．12D．16
【答案】C
【解答】解：∵xm*xn＝xm+n+xmn，
∴21*22
＝21+2+21×2
＝23+22
＝8+4
＝12，
故选：C．
8．若33×36＝3m，则m的值为（ ）
A．18B．9C．5D．3
【答案】B
【解答】解：∵33×36＝33+6＝39，
∴m＝9，
故选：B．
9．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（ ）
A．16B．﹣2C．2或﹣2D．16或﹣16
【答案】C
【解答】解：∵（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，
∴（﹣2）2＝a，b3＝8，cb＝a，
∴a＝4，b＝2，
∴c2＝4，
∴c＝±2．
故选：C．
10．式子2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为lg28（即lg28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381，则lg381＝4，同理lg327＝3，lg33＝1．由此可以得到下列式子：lg381＝lg3（27×3）＝lg327+lg33，且若lgab＝lgac，则b＝c，根据以上的信息及运关系，若lg4（x+12）+lg4x＝2lg4（x+2），则x＝（ ）
A．12B．14C．7D．−116
【答案】A
【解答】解：设a＝lg3（x+12），b＝lg3x，c＝lg3（x+2），
∴3a+b＝x（x+12），32c＝（x+2）•（x+2）＝（x+2）2，
∴a+b＝lg3x（x+12），2c=lg3(x+2)2，
∴lg3x(x+12)=lg3(x+2)2，
∴x（x+12）＝（x+2）2，
解得：x=12．
故选：A．
11．若a，b为实数，且（a+3）2+|b﹣3|＝0，则(ba)2025= ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵（a+3）2+|b﹣3|＝0，
∴a+3＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴(ba)2025=(3−3)2025=−1．
故答案为：﹣1．
12．观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，
2009÷4＝502…1，
所以22006的个位数字是2，
故答案为：2．
13．（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝ 0 （n为正整数）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝1﹣1
＝0，
故答案为：0．
14．当a＝ 2 时，式子5+（a﹣2）2的值最小，最小值是 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当a＝2时，（a﹣2）2有最小值0，此时式子5+（a﹣2）2的值最小，最小值是5．
15．如图某种细胞经过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时这种细胞由1个分裂成 64 个．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵3÷3060=6（次），
∴1个分裂26＝64个．
故答案为：64
16．计算
（1）4−(−3)×(−1)−8×(−12)3×|−2−3|；
（2）(−5)3×(−35)−32÷(−2)2×(+54)．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝4﹣3﹣8×（−18）×5
＝4﹣3+5
＝6；
（2）原式＝﹣125×（−35）﹣32÷4×54
＝75﹣10
＝65．
17．观察下列各式，回答问题
1−122=12×32，1−132=23×43，1−142=34×54⋯．
按上述规律填空：
（1）1−11002= 99100 × 101100 ．
（2）计算：（1−122）×（1−132）×…×（1−120042）×（1−120052）＝ 10032005 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）1−11002=99100×101100；
（2）原式=12×32×23×43×34×54×⋯×20032004×20052004×20042005×20062005=12×20062005=10032005．
故答案为：（1）99100；101100；（2）10032005
18．已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M(n)=(−2)×(−2)×⋯×(−2)︸n个(−2)相乘（n为正整数）．
（1）求2M（2018）+M（2019）的值．
（2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．
【答案】（1）0；
（2）2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【解答】解：（1）2M（2018）+M（2019）
＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019
＝2×22018+（﹣2）2019
＝22019+（﹣2）2019
＝0；
（2）2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由如下：
因为2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，
所以2M（n）＝﹣M（n+1），
所以2M（n）与M（n+1）互为相反数．
19．请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．
13＝12
13+23＝9＝32＝（1+2）2
13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2
13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2
（1）13+23+33+…+103＝ 3025
（2）13+23+33+…+203＝ 44100
（3）13+23+33+…+n3＝ n2(n+1)24
（4）计算：113+123+133+…+203的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；
（2）13+23+33+…+203＝44100；
（3）13+23+33+…+n3=n2(n+1)24；
（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．
故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）n2(n+1)24；（4）41075．
20．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷a︸n个(a≠0)记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝ 12 ，(−12)④= 4 ．
（2）关于除方，下列说法错误的是 C ．
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数．
B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1．
C．3③＝4④．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ (13)2 ；5⑥＝ (15)4 ；(12)⑩= 28 ．
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 (1a)n−2 ．
（5）算一算：122÷(−13)④×(−12)③−(−13)④÷34．
【答案】（1）12，4．（2）C．（3）（13）2；（15）4；28.（4）（1a）n﹣2；（5）2899．
【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2=12，
（−12）④＝（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）
=12×2×2×2
＝4．
故答案为：12，4．
（2）∵3③＝3÷3÷3=13，
4③＝4÷4÷4÷4=116，
由于13≠116，
∴3③≠4③
所以选项C错误
故选C．
（3）（﹣3）④＝（−13）4﹣2
＝（−13）2
＝（13）2；
5⑥＝（15）6﹣2
＝（15）4；
（−12）⑩＝（﹣2）10﹣2
＝（﹣2）8
＝28；
故答案为：（13）2；（15）4；28；
（4）aⓝ＝a÷a÷…÷a
＝1×1a×⋯×1a
＝（1a）n﹣2
故答案为：（1a）n﹣2；
（5）原式＝144÷（﹣3）2×（﹣2）﹣（﹣3）2÷34
＝﹣144÷9×2﹣32÷34
=−2889−19
=−2899．
教学目标
掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。
掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。
掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。
教学重难点
重点
（1）有理数的乘方的意义及其运算；
（2）偶次方与绝对值的非负性；
（3）有理数的混合运算。
2. 难点
（1）有理数的乘方的运算（an、−an、−an的区别与联系）；
（2）偶次方与绝对值的非负性。