初中数学人教版（2024）七年级上册有理数的除法学案

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知识点01 有理数的倒数
倒数的定义：
乘积为 的两个数互为倒数（或分子分母刚好相反的两个数互为倒数）。若，则与互为 或是的 或是的 。一个数不能说是倒数。
求倒数：
符号不变，交换其分子分母即可求得一个数的倒数。
正数的倒数是 ，负数的倒数是 ， 没有倒数，倒数等于它本身的数有 。
求带分数的倒数时，先把带分数化成 ，求小数的倒数时，把小数化成 。
【即学即练1】
1．求下列各数的倒数：
（1）−38； （2）1.2； （3）113； （4）﹣0.08．
【即学即练2】
2．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．
根据已知条件请回答：
（1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ，cd= ．
（2）求：m3+ab+c+d4m−cd的值．
知识点02 有理数的除法
除法运算法则：
说法一：除以一个数，等于乘以这个数的 。即 。
说法二：两数相除，同号得 ，异号得 ，再把 相除。0除以任何一个不为0的数都得 。若两数相除的结果为1时，这两个数 ，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数 。
【即学即练1】
3．计算：
（1）0.9÷313； （2）（−34）÷5； （3）﹣18÷（−145）；
（4）227÷（﹣8）； （5）279÷（−279）； （6）2÷37÷（−423）．
【即学即练2】
4．化简下列分数：
（1）−217； （2）−336； （3）−54−8； （4）7−13； （5）−145； （6）−6−0.3．
知识点03 有理数的乘除混合运算
运算法则：
有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。
【即学即练1】
5．计算：
（1）（﹣8）÷23×（﹣7）； （2）−34×（−223）÷412；
（3）（﹣1）÷（﹣5）×（−15）； （4）（14−23）÷14÷（−35）；
（5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]； （6）﹣5×（−115）+13×（−115）﹣3×（−115）．
知识点04 有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算法则：
①先 ，后 ，有 的要先算 。先算 ，再算 ，最后算 。
②同级运算中，按照 的顺序计算。
能使用简便运算的使用简便运算。
【即学即练1】
6．计算：
（1）[（23−12）÷130]×（−15）； （2）﹣0.25÷（−23）×（−135）；
（3）﹣25×（−715）+13×（−715）﹣3×（−715）； （4）[423×（−514）+（﹣0.4）÷（−425）]×115．
题型01 有理数的倒数及其性质的应用
【典例1】16的倒数是（ ）
A．﹣6B．6C．−16D．16
【变式1】|﹣3|的倒数是（ ）
A．3B．13C．﹣3D．−13
【变式2】如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣3的“负倒数”等于 ．
【变式3】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值．
【变式4】已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．
求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．
题型02 有理数的除法及其混合运算
【典例1】计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②(−54)÷(−45)；
③(+513) ÷(−313)； ④(+1.25)÷(−0.5)÷(−58)； ⑤﹣18÷（+3.25）÷(−214)．
【变式1】计算：
（1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（−35）×(−312)÷(114)÷3
（3）5−3÷2×12−|−2|÷(−12) （4）（﹣24）÷(12−13)．
【变式2】计算：
（1）0÷（−3799）； （2）−35×(−312)÷(−114)÷3；
（3）(−81)÷94×49÷(−16)； （4）(213−312+1445)÷(−116)．
【变式3】计算：
（1）375÷（−23）÷（−23）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7；
（2）42×（−23）+（−34）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]．
题型03 繁分数的化简
【典例1】下列化简：①−217=−3；②−1.75−0.25=7；③−6−16=1；④7−63=−19；⑤−1236=13．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】化简下列分数：
（1）−54−8． （2）−60.3． （3）0−75．
【变式2】化简下列分数：
（1）−72−8； （2）−130.2； （3）0.2−13．
题型04 数轴与有理数的混合运算
【典例1】已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a（a+b）＜0B．a﹣b＜0C．ab＞0D．|a|＞|b|
【变式1】若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（ ）
A．a+b＜0B．a﹣b＜0C．ab＞0D．a÷b＞0
【变式2】如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（ ）
A．a+c＞0B．abc＜0C．a﹣b＞0D．ac＜0
【变式3】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④ab＞0，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式4】已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①ba＜0，
②ab＞0，
③a﹣b＞0，
④a+b＞0，
⑤﹣a＜﹣b，
⑥a＜|b|
A．2个B．3个C．4个D．5个
1．−113的倒数的相反数是（ ）
A．−311B．−113C．113D．311
2．将式子（﹣1）×（﹣112）÷23中的除法转化为乘法运算，正确的是（ ）
A．（﹣1）×（−32）×23B．（﹣1）×（−32）×32
C．（﹣1）×（−23）×32D．（﹣1）×（−23）×23
3．已知ab＝1，若a＝5，则b的值为（ ）
A．5B．﹣5C．15D．−15
4．若a+b＜0，ab＞0，则有（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a、b异号，且正数的绝对值较大
C．a＜0，b＜0
D．a、b异号，且负数的绝对值较大
5．在﹣2，﹣3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是（ ）
A．−12B．﹣2C．−34D．﹣4
6．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①ab＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b．
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则nm=（ ）
A．32B．−32C．32或−32D．23或−23
8．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（ ）
A．30秒B．60秒C．90秒D．120秒．
9．对于有理数x，y，若xy＜0，则|xy|xy+y|y|+|x|x的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
10．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
11．45×45÷45×45= ．
12．某同学在计算（﹣6）÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣3，则（﹣6）÷a的正确结果是 ．
13．已知x，y是有理数，且满足|x﹣1|+|y+2|＝0，则xy= ．
14．已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则a−ba+b的值为 ．
15．下列说法：①若a+b＝0，则ab=−1；②若a+b＜0，且ba＞0，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则|a|a+b|b|+|c|c=−1．其中正确的有 ．（填序号）
16．计算
（1）−1÷(−18)−3÷(−12)； （2）−81÷13−13÷(−19)．
（3）−1+5÷(−16)×(−6)； （4）(13−12)÷114÷110．
17．列式计算求值：
（1）﹣313的相反数与0.3的倒数的差；
（2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求m2﹣（﹣1）+2020(a+b)2023−cd的值．
18．阅读下列材料：
计算：124÷（13−14+112）．
解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124．
解法二：原式=124÷（412−312+112）=124÷212=124×6=14．
解法三：原式的倒数＝（13−14+112）÷124=（13−14+112）×24=13×24−14×24+112×24＝4．
所以，原式=14．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（−142）÷（16−314+23−27）．
19．数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象．
定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”．
例如：13÷3＝4……1，13÷4＝3……1，所以13是3和4的“公平数”：72÷5＝14……2，72÷7＝10……2，所以72是5和7的“公平数”．
（1）判断：60、35是否为7和8的“公平数”，请说明理由；
（2）求100以内3和8的所有“公平数”．
20．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T．
（1）若m与n互为相反数，则t＝ ；
（2）①若t＝﹣3，求m+n的值；
②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2．
教学目标
掌握有数的倒数的求法，能够熟练的求出一个有理数的倒数。
掌握有理数的除法运算法则能够熟练的进行运算。
掌握有理数的乘除以及加减乘除混合运算法则，并能够对有理数混合运算熟练的进行计算。
教学重难点
重点
（1）有理数的倒数；
（2）有理数的除法运算；
（3）有理数的混合运算。
2. 难点
（1）倒数及其性质的应用；
（2）数轴及其有理数的混合运算。