人教版（2024）七年级上册数学第二章 有理数的运算（高效培优讲义）（含答案+解析）

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第二章 有理数的运算 考点01 有理数的加法 有理数的加法运算法则： ①同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。 ②异号相加：异号相加，取绝对值较大的数的符号，再把绝对值做差。 ③与0相加：任何数与0相加都等于任何数本身。 在计算时，一定二求三加减：一定符号，二求绝对值，三进行绝对值加减。 有理数的加法运算定律及其运算技巧： ①加法交换律：。 ②加法结合律： 3. 有理数加法计算时的技巧： 相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 凑整结合：和为整数的数可先相加。 相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号一致） 考点02 有理数的减法： 减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 数轴上两点之间的距离： 数轴两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。若A、B表示的数是a、b，则之间的距离为|a－b|。 考点03 有理数的乘法： 乘法运算法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。 任何数与0相乘都等于0。 任何数与1相乘的积是原数，与﹣1相乘得到它的它的相反数。 在有理数的乘法计算时，小数化成分数，带分数化成假分数。 多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0；若没有0作为因数，则根据负因数的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为﹣，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正。再把所有因数的绝对值相乘。 乘法运算定律： 乘法交换律：。 乘法结合律：abc=abc 乘法分配律： 考点04 有理数的除法： 除法运算法则： 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。即 1b。 说法二：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 考点05 有理数的乘方： 有理数的乘方的意义： 求几个相同因数 的积的运算叫做乘方。即（个）=an。把看做的次方的结果则可读作：a的次n幂 ，其中是底数，是指数。 特别提示： （1）当指数是1时，指数省略不写。即直接写成。 （2）当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。 （3）任何数都可以看做是它本身的1次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作： 立方。 2. 有理数的乘方的计算： a·a·a·...·a（n个a）。把乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： 正数的任何次方都是正数。 负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。 0的任何正整数次方（除0外）都得0。 1的任何次方都得1 ，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 3. 的区别与联系 表示的意义是n个a相乘的积，即a·a·a·...·a（n个a），底数是a。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数，即－a·a·a·...·a（n个a），底数是a 。 表示的意义是n个－a相乘的积，即（−a）（−a）（−a）...（−a）（n个−a），底数是－a。 当为奇数时，－an和−an相等，他们与互为相反数。 当为偶数时，an和−an相等，他们与互为相反数。 考点06 有理数的混合运算： 有理数的混合运算法则： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 考点07 科学记数法： 科学计数法： 把一个大于10或小于﹣10的数用a×10n的形式来表示。这种表示数的方法就叫做科学计数法。其中 1≤＜10 。为正整数。 方法技巧： 确定：移动小数点到只有一位整数时得到的数就是。 确定：小数点移动了几位就是几。 特别提示：当数后面带有数级单位时，的值是由小数点的移动位数＋级数单位后的位数。万级是4位数，亿级是8位数。 科学计数法还原： 还原时，等于多少就将小数点向右移动多少位，若位数不够时添0补足。 题型01 有理数的加法 1．根据有理数加法法则，计算2+（﹣5）过程正确的是（　　） A．+（2+5） B．﹣（5﹣2） C．﹣（2+5） D．+（5﹣2） 【答案】B 【解答】解：2+（﹣5） ＝﹣（5﹣2） ＝﹣3， ∴计算2+（﹣5）过程正确的是：﹣（5﹣2）， 故选：B． 2．计算−27+(−57)的正确结果是（　　） A．37 B．−37 C．1 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：−27+(−57)=−（27+57）＝﹣1． 故选：D． 3．如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（　　） A．﹣10元 B．+10元 C．﹣5元 D．+5元 【答案】B 【解答】解：由题意得+15+（﹣5）＝+10（元）， ∴他当天微信零钱的最终收支情况是+10元． 故选：B． 4．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【答案】B 【解答】解：根据题意，得图2可列的算式为（+6）+（﹣8）＝﹣（8﹣6）＝﹣2， 故选：B． 5．已知|x|＝5，|y|＝2，且x＞y，则x+y的值是（　　） A．﹣7或2 B．7或3 C．﹣3或﹣2 D．﹣3或7 【答案】B 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2， ∴x＝±5，y＝±2， ∵x＞y， ∴x＝5，y＝2或x＝5，y＝﹣2， ∴x+y＝5+2＝7或x+y＝5+（﹣2）＝3， 故选：B． 6．已知|x|＝2，|y|＝1，那么|x+y|＝（　　） A．3 B．1 C．±3或±1 D．3或1 【答案】D 【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝1， ∴x＝±2，y＝±1， 当x＝2，y＝1时，|x+y|＝|2+1|＝3， 当x＝2，y＝﹣1时，|x+y|＝|2+（﹣1）|＝|1|＝1， 当x＝﹣2，y＝1时，|x+y|＝|﹣2+1|＝1， 当x＝﹣2，y＝﹣1时，|x+y|＝|﹣2+（﹣1）|＝|﹣3|＝3， 综上，|x+y|＝3或1． 故选：D． 嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、7、﹣8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣7或4 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【答案】A 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵﹣1+﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8＝﹣4，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是﹣2，横、竖的和也是﹣2， 则﹣4﹣6+b+7＝﹣2， 得b＝1， 由﹣6﹣2+b+c＝﹣2， 得c＝5， 由a+c﹣2+d＝﹣2， 得a+d＝﹣5， 当a＝3时，d＝﹣8，则a+b＝3+1＝4， 当a＝﹣8时，d＝3，则a+b＝﹣8+1＝﹣7， 故选：A． 8．2024年7月的月历排成如图所示的数表，平移表中带阴影的方框，方框中五个数的和不可能是（　　） 【答案】D 【解答】解：设中间的日期是x，上面是x﹣7，下面是x+7，左面是x﹣1，右面是x+1． x+x﹣7+x+7+x﹣1+x+1＝5x 对于A，当5x＝40，x＝8，此时满足题意， 对于B，当5x＝50，x＝10，此时满足题意， 对于C，当5x＝60，x＝12，此时满足题意， 对于A，当5x＝70，x＝14，此时14左边是13，不能框选，故不符合题意． 故选：D． 题型02 有理数的减法 1．计算：﹣4﹣1＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【答案】A 【解答】解：﹣4﹣1＝﹣4+（﹣1）＝﹣5， 故选：A． 2．小华想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣7℃，最高气温为3℃，则该地这天的最高气温与最低气温的差为（　　） A．﹣4℃ B．﹣10℃ C．4℃ D．10℃ 【答案】D 【解答】解：3﹣（﹣7）＝3+7＝10（℃）， 这天的最高气温与最低气温的差为10℃， 故选：D． 3．若a的相反数是2，|b|＝3，且a，b异号，求a﹣b的值（　　） A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5 【答案】D 【解答】解：∵a的相反数是2， ∴a＝﹣2， ∵|b|＝3，且a，b异号， ∴b＝3， ∴a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5． 故选：D． 4．已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值为（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．0 D．﹣12或0 【答案】D 【解答】解：∵|a﹣1|＝9，|b+2|＝6， ∴a﹣1＝9或a﹣1＝﹣9， b+2＝6或b+2＝﹣6， 解得a＝10或a＝﹣8， b＝4或b＝﹣8， ∵a+b＜0， ∴a＝﹣8，b＝4或b＝﹣8， ∴a﹣b＝（﹣8）﹣4＝﹣12， 或a﹣b＝（﹣8）﹣（﹣8）＝﹣8+8＝0， 综上所述，a﹣b的值为﹣12或0． 故选：D． 5．若|x|＝3，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　） A．﹣5或﹣1 B．5或1 C．±1 D．±5 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，|x|＝3，|y|＝2， ∴x＝±3，y＝±2， ∵|x﹣y|＝y﹣x， ∴x﹣y≤0， ∴当x＝﹣3，y＝2时，当x＝﹣3，y＝﹣2时， 即x+y＝﹣3+2＝﹣1或x+y＝﹣3﹣2＝﹣5． 故选：A． 6．如果数轴上的点M表示﹣1，将M向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，最后M表示的数是　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：规定向左为负，向右为正， 根据正负数的意义列算式：﹣1﹣2+7＝4； 即最后M表示的数是4． 题型03 有理数的加减混合运算 1．把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 【答案】C 【解答】解：﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） ＝﹣6﹣7﹣2+9， 故选：C． 2．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示﹣1的点重合，圆沿着数轴滚动2周，此时点A表示的数是（　　） A．﹣1+4π B．﹣1+2π C．﹣1+4π或﹣1﹣4π D．﹣1+2π或﹣1﹣2π 【答案】C 【解答】解：圆的周长为：2π×1＝2π， 沿着数轴正方向滚动2周后，A点表示的数是：﹣1+4π， 沿着数轴负方向滚动2周后，A点表示的数是：﹣1﹣4π， 故选：C． 3．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|，得（　　） A．π﹣3 B．2b﹣4a﹣π﹣3 C．π+3 D．3﹣π﹣2a 【答案】D 【解答】解：由数轴知：a﹣b＜0，π+2a＜0，b﹣a＞1﹣（﹣2）＝3， 所以3﹣b+a＝3﹣（b﹣a）＜0， 所以|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|＝﹣a+b﹣π﹣2a+3﹣b+a＝﹣2a﹣π+3；故选：D． 4．如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a﹣b+c﹣d+e﹣f的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：由题意得：4﹣1+a＝d+3+a， 解得d＝0． ∵4+b+0＝b+3+c， ∴c＝1． ∵4﹣1+a＝a+1+f， ∴f＝2． ∴a﹣1+4＝4+3+2，b+3+c＝4+3+2，﹣1+3+e＝4+3+2， ∴a＝6，b＝5，e＝7． ∴a﹣b+c﹣d+e﹣f ＝6﹣5+1﹣0+7﹣2 ＝7． 故选：C． 5．计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）−358+3112−198−2512； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）； （4）（−52）+56+（﹣0.5）+（+76）． 【答案】（1）﹣29；（2）﹣5；（3）﹣10；（4）﹣1． 【解答】解：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 ＝﹣20+（﹣14）+（﹣13）+18 ＝﹣47+18 ＝﹣29； （2）−358+3112−198−2512 =−298−198+(3712−2512)＝﹣6+1 ＝﹣5； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4） ＝﹣3+（﹣5）+（﹣6）+4 ＝﹣14+4 ＝﹣10； （4）（−52）+56+（﹣0.5）+（+76） ＝﹣2.5+（﹣0.5）+（56+76） ＝﹣3+2 ＝﹣1． 6．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）根据数轴化简：|a|＝　﹣a　 ；|a+b|＝　﹣a﹣b　 ；|c﹣a|＝　c﹣a　 ． （2）|a|＝6，|b|＝2.5，|c|＝414，求a﹣b+c的值． 【答案】（1）﹣a；﹣a﹣b；c﹣a；（2）﹣4.25． 【解答】解：（1）根据数轴可知：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|， ∴|a|＝﹣a，|a+b|＝﹣a﹣b，|c﹣a|＝c﹣a． 故答案为：﹣a；﹣a﹣b；c﹣a； （2）根据数轴可知：a＜0＜b＜c， ∵|a|=6， |b|=2.5， |c|=414， ∴a＝﹣6，b＝2.5，c=414， ∴a−b+c=−6−2.5+414=−4.25． 7．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为550km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　50　 km； （2）小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少km？ （3）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示。【答案】（1）50；（2）小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了413km；（3）行车电脑不会发出充电提示． 【解答】解：（1）由表格可知最多的一天为第七天，最少的一天为第三天， 最多的一天比最少的一天多行驶33﹣（﹣17）＝50km； 故答案为：50； （2）（﹣8﹣12﹣17+21+19+27+33）+50×7＝413km， 答：小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了413km； （3）剩余续航里程所占百分比与15%比较可得： 550−413550×100%≈25%＞15%， 所以行车电脑不会发出充电提示． 题型04 有理数的乘法 1．计算（﹣4）×（﹣3）的结果为（　　） A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8 【答案】A 【解答】解：原式＝+（4×3）＝12， 故选：A． 2．已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．ab＞0 B．|a|＞|b| C．a+b＞0 D．|a+b|＞|a|+|b| 【答案】B 【解答】解：根据题意，得 a＜0，b＞0且|a|＞|b|， 所以ab＜0，故A选项错误； 因为|a|＞|b|，故B选项正确； 因为a+b＜0，故C选项错误； 因为|a+b|＜|a|+|b|，故D选项错误． 故选：B． 3．有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示：①abc＞0；②（b﹣a）（a﹣c）（c﹣b）＜0；③|b|＜1+ac；④|b﹣a|+|a﹣c|＝c+b其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【解答】解：根据题意可得：b＜0，0＜a＜c＜1， ∴abc＜0， 故①错误； ∵b＜0，0＜a＜c＜1， ∴b﹣a＜0，a﹣c＜0，c﹣b＞0， ∴（b﹣a）（a﹣c）（c﹣b）＞0， 故②错误； ∵﹣1＜b＜0，0＜a＜c＜1， ∴|b|＜1，ac＞0， ∴1+ac＞1， ∴|b|＜1+ac， 故③正确； ∵b﹣a＜0，a﹣c＜0， ∴|b﹣a|+|a﹣c|＝﹣（b﹣a）+[﹣（a﹣c）]＝﹣b+a﹣a+c＝c﹣b， 故④错误； ∴正确的有1个， 故选：A． 4．已知|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，则xy的值为（　　） A．6或﹣6 B．﹣5或﹣1 C．5或1 D．﹣6或﹣5 【答案】A 【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2， ∴x＝3或x＝﹣3，y＝2或y＝﹣2， ∵x+y＞0， ∴x＝3，y＝2或y＝﹣2， 当x＝3，y＝2时，xy＝6； 当x＝3，y＝﹣2时，xy＝﹣6； 综上，xy的值为6或﹣6， 故选：A． 5．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣1 D．a的值小于3 【答案】D 【解答】解：如图，设5a的十位数字是m，个位数字是n， ∴b=2+4a+1=a+mb−1=n， ∴b=6m=1n=5，a＝15÷5＝3， ∴乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b﹣1＝101b+10（a+1）﹣1． ∴A，B，C正确，D错误． 故选：D． 6．规定“♠”是一种特殊的运算符号，且（﹣1）♠＝﹣1，（﹣2）♠＝（﹣2）×（﹣1），（﹣3）♠＝（﹣3）×（﹣2）×（﹣1），…，则(−11)♠(−8)♠的值为（　　） A．90 B．﹣11 C．900 D．﹣990 【答案】D 【解答】解：(−11)♠(−8)♠ =(−11)×(−10)×⋯⋯×(−2)×(−1)(−8)×(−7)×⋯⋯×(−2)×(−1) ＝（﹣11）×（﹣10）×（﹣9） ＝﹣990 故选：D． 7．我们知道，同底数幂的乘法法则为am×an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），若f（2）＝5，则f（4）＝f（2+2）＝f（2）•f（2）＝5×5＝25，请根据这种新运算解决以下问题： （1）若f（1）＝﹣3，则f（2）＝　9　 ； （2）若f（2）＝16，则f（1）＝　±4　 ． 【答案】（1）9； （2）±4． 【解答】解：（1）∵f（1）＝﹣3， ∴f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝﹣3×（﹣3）＝9， 故答案为：9； （2）设f（1）＝x， ∴f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝x•x＝x2， ∵f（2）＝16， ∴x2＝16， ∴x＝±4， 即f（1）＝±4， 故答案为：±4． 8．已知a、b、c、d是有理数，且a+b+c+d＝0，abcd＜0，求b+c+d|a|+a+c+d|b|+a+b+d|c|+a+b+c|d|的值． 【答案】2或﹣2． 【解答】解：∵a+b+c+d＝0， ∴a+b+c＝﹣d，a+b+d＝﹣c，a+c+d＝﹣b，b+c+d＝﹣a， ∵abcd＜0， ∴a、b、c、d三数中有1个负数或3个负数， ∴原式＝﹣1+1+1+1＝2， 或原式＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2． 综上所述，原式＝2或﹣2． 题型05 有理数的除法 1．把（−34）÷（−23）转化为乘法是（　　） A．（−34）×23 B．（−34）×32 C．（−34）×（−23） D．（−34）×（−32） 【答案】D 【解答】解：（−34）÷（−23）＝（−34）×（−32）， 故选：D． 2．计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C．−13 D．13 【答案】B 【解答】解：（﹣21）÷（﹣7）＝21÷7＝3， 故选：B． 3．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　） A．1 B．3 C．13 D．19 【答案】A 【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）] ＝9×19 ＝1， 故选：A． 4．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则nm=（　　） A．32 B．−32 C．32或−32 D．23或−23 【答案】C 【解答】解：∵|m|＝2，|n|＝3， ∴m＝±2，n＝±3， ∵|m+n|＝m+n， ∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3， 当m＝2，n＝3时，nm=32； 当m＝﹣2，n＝3时，nm=3−2=−32， 故选：C． 5．若|x|＝4，|y|=12，且xy＜0，则xy的值等于（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【答案】B 【解答】解：根据题意得：x＝±4，y＝±12， ∵xy＜0， ∴x＝4，y=−12；x＝﹣4，y=12， 则xy=−8． 故选：B． 6．下列说法：①若a、b互为相反数，则ab=−1；②若a为有理数，且a≠0，则|a|＜a2；③若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝|b|﹣|a|，④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则|﹣a|＝﹣a，⑤若三个有理数a，b，c满足|a|a+|b|b+|c|c=1，则|abc|abc=−1．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵若a、b互为相反数，当a≠b时，ab=−1； 当a＝b＝0时，ab无意义， ∴说法①不正确； ∵若a为有理数，且a≠0， 则当0＜|a|≤1时，|a|≥a2； 当|a|＞1时，|a|＜a2， ∴说法②不正确； ∵若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝|b|﹣|a|， ∴说法③正确； ∵若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0， ∴a＜0，b＜0， 则|﹣a|＝﹣a， ∴说法④正确； ∵若三个有理数a，b，c满足|a|a+|b|b+|c|c=1，则|abc|abc=−1． ∴说法⑤正确， ∴其中正确的有3个， 故选：C． 题型06 有理数的乘方 1．对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【解答】解：A．（﹣3）2的指数是2，故选项A错误； B．（﹣3）2的底数是﹣3，故选项B错误； C．（﹣3）2的幂是9，故选项C正确； D．（﹣3）2表示2个﹣3相乘，故选项D错误． 故选：C． 2．下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【答案】D 【解答】解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【答案】B 【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意； C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意； D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．已知a2＝9，b3＝﹣8，求|a+b|的值为（　　） A．1 B．5 C．1或5 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵a2＝9，b3＝﹣8， ∴a＝±3，b＝﹣2， 当a＝3时，|a+b|＝|3﹣2|＝1， 当a＝﹣3时， |a+b|＝|﹣3﹣2|＝5， 综上，原式的值为1或5， 故选：C． 5．若33×36＝3m，则m的值为（　　） A．18 B．9 C．5 D．3 【答案】B 【解答】解：∵33×36＝33+6＝39， ∴m＝9， 故选：B． 6．计算9+9+⋯⋯+933+33+33（m个9）＝（　　） A．81 B．9m C．m3 D．m9 【答案】D 【解答】解：原式=9m33×3 =m9． 故选：D． 7．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（　　） A．16 B．﹣2 C．2或﹣2 D．16或﹣16 【答案】C 【解答】解：∵（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b， ∴（﹣2）2＝a，b3＝8，cb＝a， ∴a＝4，b＝2， ∴c2＝4， ∴c＝±2． 故选：C． 题型07 偶次方与绝对值的非负性 1．已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．25 B．﹣25 C．10 D．﹣10 【答案】A． 【解答】解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣5，b＝2， ∴ab＝（﹣5）2＝25． 故选：A． 2．若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2024 D．无法计算 【答案】A 【解答】解：由题意得：a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， 所以（a+b）2024＝（﹣3+2）2024＝（﹣1）2024＝1． 故选：A． 3．若（a﹣2）2+|b﹣1|＝0，则a+b＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣1|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝2，b＝1， ∴a+b＝2+1＝3． 故选：B． 4．若x，y为有理数，且|x+5|+（y﹣5）2＝0，则(xy)2024的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2023 D．2023 【答案】B． 【解答】解：∵|x+5|+（y﹣5）2＝0， ∴x+5＝0，y﹣5＝0， ∴x＝﹣5，y＝5， ∴(xy)2024=(−55)2024=1． 故选：B． 题型08 有理数的混合运算 1．按如图所示的程序输入﹣4进行计算，则输出结果为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：当输入﹣4时， （﹣4）2÷（﹣2）+6 ＝16÷（﹣2）+6 ＝16×（−12）+6 ＝﹣8+6 ＝﹣2＜2； 当输入﹣2时， （﹣2）2÷（﹣2）+6 ＝4÷（﹣2）+6 ＝4×（−12）+6 ＝﹣2+6 ＝4＞2； 由上可得，输入﹣4进行计算，则输出结果为4， 故选：A． 2．定义运算：a※b＝ab+a﹣b，如1※2＝1×2+1﹣2＝1．则：3※（﹣2）＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵a※b＝ab+a﹣b， ∴3※（﹣2） ＝3×（﹣2）+3﹣（﹣2） ＝﹣6+3+2 ＝﹣1， 故选：B． 3．计算： （1）（﹣3）×（﹣4）+（﹣8）÷2﹣|﹣1|； （2）−14+(−3)2×|−29|−42÷(−2)4． 【答案】（1）7；（2）0． 【解答】解：（1）原式＝12﹣4﹣1＝7； （2）原式＝﹣1+9×29−16÷16 ＝﹣1+2﹣1 ＝0． 4．（1）计算：﹣16﹣（﹣5）+23﹣|﹣2|； （2）计算：−12012÷(−12)3+(−36)×(19−14+16)． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝﹣16+5+23﹣2＝10； （2）原式=−1×(−8)+(−36)×19−(−36)×14+(−36)×16 ＝8﹣4+9﹣6 ＝7． 5．计算： （1）(14−56+78)×(−24)； （2）−12020−|−6|×13+(−2)2÷12． 【答案】（1）﹣7； （2）5． 【解答】解：（1）原式=14×(−24)−56×(−24)+78×(−24) ＝﹣6+20+（﹣21） ＝﹣7； （2）原式=−1−6×13+4×2 ＝﹣1﹣2+8 ＝5． 6．定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4． （1）求（﹣4）*2的值． （2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值． 【答案】（1）8；（2）2． 【解答】解：（1）（﹣4）*2 ＝（﹣4）2+（﹣4）×2 ＝16﹣8 ＝8； （2）因为a*2＝1，a≠0，所以a2+2a＝1， 所以1﹣a2＝2a， 所以a*（﹣1） ＝a﹣1+a×（﹣1） =1a−a =1−a2a =2aa ＝2． 题型09 科学记数法 1．2024年10月10日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将卫星互联网高轨卫星03星送入预定轨道．高轨道卫星基本上和地球同步转动，其速度大约为3100米/秒，数据3100用科学记数法表示为（　　） A．0.31×104 B．3.1×104 C．31×102 D．3.1×103 【答案】D． 【解答】解：3100＝3.1×103． 故选：D． 2．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2024年我国粮食总产量预计再创新高，将首次突破1.4万亿斤．该数据可用科学记数法表示为（　　） A．1.4×1011斤 B．1.4×1012斤 C．1.4×108斤 D．1.4×1013斤 【答案】B． 【解答】解：1.4万亿＝1400000000000＝1.4×1012． 故选：B． 3．西双版纳傣族自治州属热带季风气候，全区低山连绵、河流纵横、四季常青，是中国热带原始森林保存较好的地区，各级自然保护区面积约6228000亩，以“动植物王国”闻名中外．6228000用科学记数法可以表示为（　　） A．622.8×104 B．62.28×105 C．6.228×106 D．6228×103 【答案】C． 【解答】解：6228000＝6.228×106． 故选：C． 4．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1011 C．1750×108 D．1.75×1012 【答案】B 【解答】解：1750亿＝175000000000＝1.75×1011． 故选：B． 教学目标熟练掌握有理数全章知识点； 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；教学重难点重点 （1）有理数的加减乘除及其乘方运算； （2）科学记数法。 2. 难点 （1）有理数的运算与数轴、绝对值的综合应用； （2）乘方运算中an，−an及−an的区别与联系。第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程/km﹣8﹣12﹣17+21+19+27+33