第二章 有理数的运算【章末复习】（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

第二章 有理数的运算 章末复习有理数的运算是初中数学的基础内容，涵盖了从简单的加减乘除到复杂的混合运算，以及科学记数法、近似数和进位制等拓展知识。本章的学习不仅需要掌握具体的运算规则，更要理解运算的本质和逻辑，培养严谨的计算能力和应用意识。通过章末复习，我们将系统梳理知识脉络，巩固重点难点，提升综合运用能力。一、知识框架梳理有理数的基本运算加法：同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值较大的符号，用较大绝对值减较小绝对值；互为相反数的两数相加得\(0\)；一个数加\(0\)仍得原数。减法：减去一个数等于加这个数的相反数，即\(a - b = a + (-b)\)。乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘\(0\)得\(0\)；多个非零数相乘，负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负。除法：除以一个不为\(0\)的数等于乘它的倒数，即\(a÷b = a×\frac{1}{b}(b≠0)\)；两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；\(0\)除以非零数得\(0\)。乘方运算定义：求\(n\)个相同因数\(a\)的积的运算，记为\(a^n\)（\(a\)为底数，\(n\)为指数），结果称为幂。符号规律：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正；\(0\)的正整数次幂为\(0\)。注意：\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别（前者是\(a^n\)的相反数，后者是\(n\)个\(-a\)相乘）。混合运算顺序三级运算优先：先算乘方，再算乘除，最后算加减。括号优先：有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。同级运算：从左到右依次进行。科学记数法与近似数科学记数法：把大于\(10\)的数表示为\(a×10^n\)（\(1≤a＜10\)，\(n\)为正整数）；小于\(1\)的正数表示为\(a×10^{-n}\)（\(1≤a＜10\)，\(n\)为正整数）。近似数：与精确数接近的数，精确度可表示为 “精确到某一位” 或 “保留几个有效数字”；取近似数的方法有四舍五入法、进一法、去尾法。进位制基本概念：基数（计数符号的个数）、数位（数字位置）、权值（基数的数位序号次方）、进位规则（逢基进一）。常见进位制：十进制（基数\(10\)）、二进制（基数\(2\)）、八进制（基数\(8\)）、十六进制（基数\(16\)）。转换规则：非十进制与十进制互转（按权展开 / 除基取余）；二进制与八进制 / 十六进制互转（分组对应）。二、重点难点突破运算符号的处理有理数运算的核心是符号规则，计算前需先确定结果的符号，再计算绝对值。例如：乘法 / 除法：先根据负因数个数判断符号，再算绝对值乘积 / 商。乘方：负数的乘方需关注指数奇偶性，避免符号错误（如\((-2)^4 = 16\)，\(-2^4 = -16\)）。混合运算的分步拆解复杂算式需按顺序分步计算，每步只处理一种运算，避免跳步导致错误。例如计算\(-1^4 - (1 - 0.5)×\frac{1}{3}×[2 - (-3)^2]\)：① 乘方运算：\(-1^4 = -1\)，\((-3)^2 = 9\)；② 括号内运算：\(1 - 0.5 = 0.5\)，\(2 - 9 = -7\)；③ 乘除运算：\(0.5×\frac{1}{3}×(-7) = -\frac{7}{6}\)；④ 加减运算：\(-1 - (-\frac{7}{6}) = \frac{1}{6}\)。科学记数法的精确度用科学记数法表示的数，精确度由\(a\)的最后一位数字所在数位决定。例如\(3.05×10^4\)（即\(30500\)）精确到百位，有效数字为\(3\)、\(0\)、\(5\)。进位制转换的关键非十进制转十进制：严格按权展开，确保权值计算正确（如十六进制的\(A\)对应\(10\)，\(F\)对应\(15\)）。十进制转非十进制：整数部分 “除基取余” 需逆序排列余数，小数部分 “乘基取整” 需顺序排列整数。三、易错点警示符号错误常见错误：\((-3)×(-2) = -6\)（正确应为\(6\)）；\(-3^2 = 9\)（正确应为\(-9\)）；异号相加时符号判断错误（如\(5 + (-8) = 3\)，正确应为\(-3\)）。规避方法：牢记 “同号得正，异号得负”，乘方运算前明确底数是否含负号。运算顺序错误常见错误：\(10 - 6÷2 = 4÷2 = 2\)（正确应为\(10 - 3 = 7\)）；同级运算未从左到右（如\(8÷(-2)×(-4) = 8÷8 = 1\)，正确应为\(-4×(-4) = 16\)）。规避方法：用序号或箭头标注运算顺序，优先标记乘方和括号内运算。近似数的有效数字误解常见错误：认为\(0.025\)的有效数字是\(0\)、\(2\)、\(5\)（正确应为\(2\)、\(5\)，左边的零不是有效数字）；\(1.20×10^3\)的有效数字是\(1\)、\(2\)（正确应为\(1\)、\(2\)、\(0\)，末尾的零是有效数字）。规避方法：从左起第一个非零数字开始数有效数字，末尾的零若在小数点后且表示精确度则算有效数字。进位制转换的分组错误常见错误：二进制转八进制时未补零分组（如\(1011B\)直接分为\(10 11B\)，正确应为\(010 11B = 26O\)）。规避方法：分组时确保整数部分高位补零、小数部分低位补零，凑足基数的幂的位数（\(3\)位二进制对应\(1\)位八进制，\(4\)位对应\(1\)位十六进制）。四、典型例题解析有理数混合运算计算：\(2×(-3)^2 - 5÷(-\frac{1}{2})×(-2)\)解：① 乘方运算：\((-3)^2 = 9\)；② 乘除运算：\(2×9 = 18\)，\(5÷(-\frac{1}{2})×(-2) = 5×(-2)×(-2) = 20\)；③ 加减运算：\(18 - 20 = -2\)。科学记数法与近似数（1）用科学记数法表示\(5670000\)并保留两位有效数字；（2）将\(3.14159×10^2\)精确到十位。解：（1）\(5670000 = 5.7×10^6\)（保留两位有效数字）；（2）\(3.14159×10^2 = 314.159\)，精确到十位为\(310 = 3.1×10^2\)。进位制转换（1）将二进制数\(11010B\)转换为十进制数；（2）将十进制数\(45D\)转换为十六进制数。解：（1）\(11010B = 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26D\)；（2）\(45÷16 = 2\)余\(13\)（即\(D\)），\(2÷16 = 0\)余\(2\)，逆序排列得\(2DH\)。实际应用题某商店一周的收支情况如下（收入为正）：\(+500\)元、\(-200\)元、\(+300\)元、\(-150\)元、\(+400\)元。求该商店一周的总收入、总支出和净利润。解：总收入：\(500 + 300 + 400 = 1200\)元；总支出：\(200 + 150 = 350\)元；净利润：\(1200 - 350 = 850\)元（或直接计算代数和：\(500 - 200 + 300 - 150 + 400 = 850\)元）。五、复习总结与提升建议知识关联：有理数的运算本质是在整数、分数运算基础上引入负数后的扩展，符号规则是区别于小学运算的核心；乘方是乘法的特殊形式，科学记数法和进位制是乘方运算的实际应用。能力培养：通过每日适量练习提升运算速度和准确性，重点关注符号处理和顺序规则；结合实际问题理解运算的意义，避免机械计算。拓展应用：尝试用有理数运算解决生活中的收支、行程、工程等问题；探究进位制在计算机、密码学等领域的应用，感受数学的实用性。有理数的运算贯穿整个初中数学学习，是后续学习代数式、方程、函数等知识的基础。通过本章复习，需确保对每个知识点的概念清晰、规则熟练、应用灵活，同时养成规范书写、细致检查的良好习惯，为后续学习奠定坚实基础。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 能表述出本章的知识结构和有关概念、法则.能熟练把握有理数的运算顺序和运算技巧. 联系第一章有理数的学习，请你梳理从非负有理数系扩充到有理数系的过程，并谈谈对数系扩充的认识.一、本章知识结构图加 法同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得 0.一个数与 0 相加，仍得这个数.减 法减去一个数，等于加这个数的相反数.a－b = a + (－b)乘 法两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.任何数与 0 相乘，都得 0.倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数.0 没有倒数，倒数和相反数一样都是成对出现的.除 法除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.乘 方求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方.负数的奇次幂是负数.负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数.0 的任何正整数次幂都是 0.混合运算先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.运算律加法交换律：a + b = b + a加法结合律：(a + b)+ c = a + (b + c)乘法交换律：ab = ba乘法结合律：(ab)c = a(bc)分配律：a(b + c) = ab + ac科学记数法把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 a 大于或等于 1， 且 a 小于 10，n 是正整数），使用的是科学记数法.复习巩固1. 计算：【教材P61】（1）-150 + 250； （2）-15+(-23)；（5）(-6)×(-16)； （6）(- )×27；（3）-5-65； （4）-26-(-15)；100-38-70-1196-92. 计算：（1）6 + (- )-2-(-1.5)；（2）(-0.02)×(-20)×(-5)×4.5； （3）(-6.5)×(-2)÷(- )÷(-5)；（4）(-66)×4-(-2.5)÷(-0.1)；-95.3-289（5）(-2)2×5-(-2)3÷4；（6）-(3-5)+ 32×(1-3).22-163. 互为相反数的两个数的和是多少？互为倒数的两个数的积是多少？解：互为相反数的两数的和是 0，互为倒数的两数的积是 1.4. 用科学记数法表示下列各数：（1）100 000 000；（2）4 500 000；（3）692 400 000 000.解：（1）100 000 000 = 1×108（2）4 500 000 = 4.5×106（3）692 400 000 000 = 6.924×10115. 用四舍五入法对下列各数取近似数：（1）245.635（精确到 0.1）；（2）175.65（精确到个位）；（3）12.004（精确到百分位）；（4）6.537 8（精确到 0.01）.245.635 ≈ 245.6175.65 ≈ 17612.004 ≈ 12.006.5378 ≈ 6.546. 计算：（1）-2-|-3|； （2）|-2-(-3)|.-51综合运用7. 红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜 黄队，比分为 4∶2；蓝队胜黄队，比分为 3∶1；红队 负蓝队，比分为 2∶3. 如果进球数记为正，失球数记为 负，那么三队的净胜球数各是多少？红队：(4-2) + (2-3) = 1黄队：(2-4) + (1-3) = -4蓝队：(3-1) + (3-2) = 38. 下列各数是十名学生的数学检测成绩：82，83，78，66，95，75，61，93，82，81.先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值能力.解：估算他们的平均成绩是 75，再重新记写他们的成绩：将成绩超过 75 的部分记作正数，低于 75 的部分记作负数，等于 75 的记作 0. 他们的成绩如下：7，8，3，-9，20，0，-14，18，7，6.[7 + 8 + 3 + (-9) + 20 + 0 + (-14) + 18 + 7 + 6]÷10 = 4.6，平均成绩是 75 + 4.6 = 79.69. 某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）.表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈利还是亏损，金额是多少.458-(-27.8-70.3 + 200 + 138.1-8 + 188) = 38 (元)答：星期六盈利，盈利了 38 元.【教材P62】10. 巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先向东走了 7 km，又向东走了 3 km，然后折返向西走了 11.5 km. 此时他在驻地的什么方向？与驻地的距离是多少千米？7 km3 km11.5 km11.5-7-3 = 1.5（km）答：他在驻地的西方，与驻地的距离是 1.5 km.11. 在 0~40 ℃ 范围内，当温度每上升 1 ℃ 时，某种金属丝约伸长 0.002 mm；反之，当温度每下降 1 ℃ 时，金属丝约缩短 0.002 mm. 把 20 ℃ 的这种金属丝加热到 30 ℃，再使它冷却降温到 5 ℃，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度约伸长多少毫米？解：把 20℃ 的金属丝加热到 30℃，其伸长的长度约为0.002×(30-20) = 0.002×10 = 0.02(mm)；再把 30℃ 的金属丝冷却降温到 5℃，其缩短的长度约为0.002×(30-5) = 0.002×25 = 0.05(mm).最后的长度比原长度约伸长 0.02 + (-0.05) = -0.03(mm).12. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1 个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为 1.496 亿千米. 试用科学记数法表示 1 个天文单位是多少千米.1.496 亿千米 = 149 600 000 km = 1.496×108 km答：一个天文单位是 1.496×108 千米。13. 结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后 比较下列数的大小：拓广探索（1）小于 1 的正数 a，a 的平方，a 的立方；（2）大于 -1 的负数 b，b 的平方，b 的立方.解:（1）当a = 0.1时，a2= 0.01，a3 = 0.001，a>a2>a3.（2）当b = -0.2 时，b2 = 0.04，b3 = -0.008，b2>b3>b.14. 结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法 是否正确. 如果认为正确，请说明理由；如果认为错误， 请举出反例.（1）任何数都不等于它的相反数；错， 0 的相反数是其本身.（2）互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等；（3）如果 a 大于 b，那么 a 的倒数小于 b 的倒数.对，因为互为相反数的两个数的同一偶数次方符号相同，绝对值相等.错，例如 a = 1，b = -1，则a > b，其倒数15. 用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：1×1=________； 11×11=_______；111×111=________； 1111×1111=__________.（1）你发现了什么？1121123211234321（2）不用计算器，你能直接写出 111 111 111×111 111 111 的结果吗？12345678987654321考点1 倒数1. 下列说法中，正确的是( )BA. 任何数都有倒数B. 互为倒数的两个数的积为1C. 一个数的倒数一定比这个数小D. 互为倒数的两个数的和为零 返回考点2 有理数的加减运算 CA. 加法交换律 B. 加法结合律C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对 返回   返回考点3 有理数的乘除运算 CA. 段① B. 段②C. 段③ D. 段④ 返回5.［2025温州期中］小明有5张卡片，如图.请你按要求抽出卡片，完成下列各题.（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，最大是___;（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小，最小是____;8    返回6.用简便方法计算：     返回考点4 有理数的乘方7. 下列各组数中，不相等的一组是( )A  返回 C   返回考点5 有理数的混合运算9.计算：     返回考点6 科学记数法10. ［2024达州］大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上，将2亿用科学记数法表示为( )B  返回 8 返回考点7 近似数 百万 返回思想1 数形结合思想  ①④   返回思想2 分类讨论思想  B6        返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！