3.1.2列代数式表示数量关系（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

3.1.2 列代数式表示数量关系列代数式是将实际问题中的数量关系用代数式表示出来的过程，是代数学习中从具体到抽象的关键环节。它要求我们准确理解文字描述的含义，抓住数量之间的运算关系，并用规范的代数式进行表达。这一技能不仅是解决数学问题的基础，也是用数学语言描述现实世界的重要工具。一、列代数式的基本步骤列代数式需要经历 “理解题意 — 分析关系 — 确定运算 — 规范表达” 四个核心步骤，具体如下：理解题意，明确数量：仔细阅读题目，找出题目中涉及的所有数量，区分已知量和未知量。已知量通常是具体的数字或明确的描述，未知量则需要用字母表示（通常用\(x,y,a,b\)等字母）。例如：“一个数的 3 倍与 5 的和” 中，未知量是 “一个数”，可设为\(x\)。分析关系，确定运算：梳理数量之间的关系，明确它们之间的运算类型（加、减、乘、除、乘方等）。关键是抓住题目中的关键词，如 “和、差、倍、分、积、商、平方、倒数、比…… 多、比…… 少” 等，这些词语直接决定了运算的种类和顺序。例如：“\(a\)比\(b\)的 2 倍少 3” 中，包含乘法（\(b\)的 2 倍）和减法（比…… 少 3）。确定顺序，分层表达：当数量关系较复杂时，需要按照运算顺序分层构建代数式。若涉及多层运算，需合理使用括号明确优先级。例如：“\(x\)与\(y\)的差的平方” 需先算差（\(x - y\)），再算平方，即\((x - y)^2\)，而非\(x - y^2\)。规范书写，检查验证：按照代数式的书写规则（如数字在前、字母在后，乘号省略，除法写成分数形式等）整理式子，并通过反向翻译（将代数式用文字描述）验证是否与原题意一致。例如：列代数式表示 “\(m\)的倒数与\(n\)的平方的和”，结果应为\(\frac{1}{m} + n^2\)，翻译验证为 “\(m\)的倒数加\(n\)的平方”，与题意一致。二、常见数量关系的代数式表示根据数量关系的类型，可分为以下几类进行分析：和差倍分关系：这类关系是列代数式的基础，核心是抓住 “加、减、乘、除” 的关键词：和：“\(a\)与\(b\)的和” 表示为\(a + b\)；“比\(x\)大 5 的数” 表示为\(x + 5\)。差：“\(m\)与\(n\)的差” 表示为\(m - n\)；“比\(y\)小 3 的数” 表示为\(y - 3\)；“\(a\)减去\(b\)的差” 表示为\(a - b\)。倍：“\(x\)的 3 倍” 表示为\(3x\)；“\(a\)的一半”（即\(\frac{1}{2}\)倍）表示为\(\frac{1}{2}a\)；“\(b\)的\(n\)倍与 2 的和” 表示为\(nb + 2\)。分：“\(p\)除以\(q\)的商” 表示为\(\frac{p}{q}\)（\(q≠0\)）；“\(m\)的倒数” 表示为\(\frac{1}{m}\)（\(m≠0\)）；“\(x\)与\(y\)的和的三分之一” 表示为\(\frac{x + y}{3}\)。乘方与开方关系：涉及平方、立方、平方根等运算时，需明确底数和指数（或根指数）：“\(a\)的平方” 表示为\(a^2\)；“\(x\)的立方与 2 的差” 表示为\(x^3 - 2\)。“\(m\)与\(n\)的和的平方” 表示为\((m + n)^2\)；“\(a\)的平方与\(b\)的平方的和” 表示为\(a^2 + b^2\)（注意与 “和的平方” 区分）。“\(x\)的算术平方根” 表示为\(\sqrt{x}\)（\(x≥0\)）；“\(y\)的立方根的 2 倍” 表示为\(2\sqrt[3]{y}\)。数量增减与倍数变化：这类关系常涉及 “增加了”“减少了”“增长到”“缩小为” 等描述：“原来的数是\(a\)，增加 20% 后的值” 表示为\(a + 20\%a = 1.2a\)；“一件商品原价\(x\)元，打八折后的售价” 表示为\(0.8x\)元；“某厂去年产值为\(m\)万元，今年比去年增长\(n\%\)，今年产值” 表示为\(m(1 + n\%)\)万元。几何图形中的数量关系：结合几何图形的周长、面积、体积公式，用字母表示未知量：长方形：若长为\(a\)，宽为\(b\)，则周长为\(2(a + b)\)，面积为\(ab\)；若宽比长短 3，长为\(x\)，则宽为\(x - 3\)，面积为\(x(x - 3)\)。三角形：若底为\(a\)，高为\(h\)，则面积为\(\frac{1}{2}ah\)；若高是底的 2 倍，底为\(y\)，则高为\(2y\)，面积为\(\frac{1}{2}y·2y = y^2\)。圆：若半径为\(r\)，则周长为\(2\pi r\)，面积为\(\pi r^2\)；若直径为\(d\)，则半径为\(\frac{d}{2}\)，面积为\(\pi(\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}\)。长方体：若长、宽、高分别为\(a,b,c\)，则体积为\(abc\)；若长和宽都是\(x\)，高比长多 1，则体积为\(x·x·(x + 1) = x^2(x + 1)\)。实际问题中的数量关系：结合生活场景（如行程、工程、购物等）提炼数量关系：行程问题：路程 = 速度 × 时间。若速度为\(v\)千米 / 小时，时间为\(t\)小时，则路程为\(vt\)千米；若甲速度为\(a\)，乙速度为\(b\)，同时出发相向而行，\(t\)小时后相遇，则总路程为\(at + bt = (a + b)t\)。工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间。若甲每天完成\(x\)件，乙每天完成\(y\)件，则两人合作 3 天完成\(3(x + y)\)件。购物问题：总价 = 单价 × 数量。若苹果单价为\(m\)元 / 千克，买了\(n\)千克，付款\(50\)元，则应找回\((50 - mn)\)元。数字问题：若一个两位数的十位数字为\(a\)，个位数字为\(b\)，则这个两位数表示为\(10a + b\)；将其十位与个位数字对调后，新数为\(10b + a\)，两数之和为\((10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)\)。三、列代数式的关键技巧抓住关键词，明确运算顺序：题目中的关键词直接决定运算类型和顺序，常见关键词与对应运算如下表：关键词对应运算示例和、加、加上加法\(a\)与\(b\)的和：\(a + b\)差、减、减去减法\(m\)比\(n\)少 5：\(n - 5\)倍、乘乘法\(x\)的 3 倍：\(3x\)分、商、除以除法\(p\)与\(q\)的商：\(\frac{p}{q}\)平方、立方乘方\(a\)的平方：\(a^2\)倒数除法（\(1\)除以该数）\(x\)的倒数：\(\frac{1}{x}\)用字母表示未知量，化抽象为具体：当题目中未明确未知量时，需自行设字母表示。通常设 “比、是、为” 后面的量为字母，或设问题中的核心未知量为字母。例如：“一个数的 5 倍与它的一半的差”，设这个数为\(x\)，则代数式为\(5x - \frac{1}{2}x\)。分层处理复杂关系，先局部后整体：对于多层嵌套的数量关系，可先表示局部关系，再逐步构建整体代数式。例如：“\(a\)的 2 倍与\(b\)的差的平方的 3 倍”，先表示 “\(a\)的 2 倍与\(b\)的差” 为\(2a - b\)，再表示 “差的平方” 为\((2a - b)^2\)，最后表示 “平方的 3 倍” 为\(3(2a - b)^2\)。注意单位和实际意义，确保代数式有意义：在实际问题中，列代数式需考虑字母的取值范围（如分母不为 0，边长、时间等为正数）。例如：“长方形的宽为\(x\)米，长比宽多 2 米”，则长为\(x + 2\)米，需满足\(x＞0\)且\(x + 2＞0\)（即\(x＞0\)）。四、常见错误与规避方法运算顺序混淆：常见错误：将 “\(a\)与\(b\)的差的平方” 表示为\(a - b^2\)（正确应为\((a - b)^2\)）；将 “\(x\)的 2 倍与\(y\)的和的 3 倍” 表示为\(2x + 3y\)（正确应为\(3(2x + y)\)）。规避方法：遇到 “的…… 的” 结构时，从后往前逐层分析，必要时用括号明确运算顺序，可通过画横线标注优先级（如 “\(a\)与\(b\)的差的平方”：先算\(\underline{a与b的差}\)，再算\(\underline{差的平方}\)）。关键词理解偏差：常见错误：将 “\(a\)比\(b\)大 5” 表示为\(a + 5 = b\)（混淆代数式与等式，正确应为\(a = b + 5\)或代数式\(b + 5\)）；将 “减少到原来的\(\frac{1}{3}\)” 表示为\(x - \frac{1}{3}x\)（“减少到” 是指最终结果为原来的\(\frac{1}{3}\)，正确应为\(\frac{1}{3}x\)，而 “减少了\(\frac{1}{3}\)” 才是\(x - \frac{1}{3}x\)）。规避方法：区分 “代数式” 与 “等式”，代数式中不含等号；明确 “减少了”（减去部分量）与 “减少到”（最终量为目标值）、“比\(A\)多\(B\)”（\(A + B\)）与 “\(A\)比\(B\)多”（\(A - B\)）的差异。字母表示不规范或遗漏：常见错误：未明确字母含义，如 “某数的 3 倍” 直接表示为\(3x\)但未说明\(x\)表示该数；几何问题中未标注字母对应的图形元素（如未说明\(a\)表示长方形的长）。规避方法：列代数式前先明确 “设…… 为\(x\)”，在实际问题中注明字母的单位和含义（如 “设长方形的长为\(x\)米，则宽为\(x - 2\)米”）。忽略实际意义导致取值错误：常见错误：在 “除数为某数的倒数” 中未注明除数不为 0（如 “\(x\)的倒数与\(y\)的和” 应表示为\(\frac{1}{x} + y\)，并注明\(x≠0\)）；在面积问题中出现边长为负数的代数式（如 “边长为\(a - 3\)的正方形” 未注明\(a＞3\)）。规避方法：列代数式后检查是否存在分母为 0、开偶次方数为负、长度 / 时间为负等不合理情况，必要时标注字母的取值范围。五、典型例题解析基础数量关系：用代数式表示下列数量关系：（1）\(x\)的\(\frac{1}{2}\)与\(y\)的 3 倍的差；（2）\(a\)与\(b\)的平方和的倒数；（3）比\(m\)的相反数大 2 的数。解：（1）“\(x\)的\(\frac{1}{2}\)” 为\(\frac{1}{2}x\)，“\(y\)的 3 倍” 为\(3y\)，差为\(\frac{1}{2}x - 3y\)；（2）“\(a\)与\(b\)的平方和” 为\(a^2 + b^2\)，倒数为\(\frac{1}{a^2 + b^2}\)（\(a^2 + b^2≠0\)）；（3）“\(m\)的相反数” 为\(-m\)，比其大 2 的数为\(-m + 2\)。几何图形问题：一个梯形的上底长为\(a\)，下底长是上底的 2 倍，高比上底小 1，用代数式表示该梯形的面积。解：下底长为\(2a\)，高为\(a - 1\)（需满足\(a＞1\)）；梯形面积公式为\(\frac{1}{2}×(上底 + 下底)×高\)，因此面积为\(\frac{1}{2}(a + 2a)(a - 1) = \frac{3a(a - 1)}{2}\)。实际应用问题：某班有男生\(x\)人，女生人数比男生的\(\frac{3}{4}\)多 2 人，（1）用代数式表示该班的总人数；（2）若男生有 20 人，求该班总人数。解：（1）女生人数为\(\frac{3}{4}x + 2\)，总人数为 (x + (\frac {3}{4} x + 2) = \frac {72024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 会列代数式表示数量关系2. 会列代数式表示规律.橡皮擦的单价是 3 元，钢笔的单价比橡皮擦的 2 倍还多 2.5 元，则钢笔的单价为多少元？列出算式：2×3 + 2.5橡皮擦的单价是 x 元，钢笔的单价比橡皮擦的 2 倍还多 2.5 元，则钢笔的单价为多少元？2x + 2.5 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式.新知探索思 考如何用代数式表示 a，b 两数的和与差的积？可以按下面的步骤列代数式：a + ba - b(a+b)(a-b)在本套书中，如无特别说明，a，b 两数的差，a 与 b 的差，都指“a－b”.用代数式表示：（1）a 与 b 的积的 5 倍； （2）a 与 b 的 5% 的差；（3）x 与 y 的和的平方； （4）x，y 两数的平方和.5aba - 5%b(x + y)2x2 + y2例 题【教材P72】例 3 用代数式表示：（1）购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数.所需的钱数为(2a + 3b)元 （2）把 a 元钱存入银行，存期 3 年，年利率为 2.75%，到期时的利息是多少元？根据题意，得 a×2.75%×3 = 8.25%a到期时的利息为 8.25%a 元. （3）某商品的进价为 x 元，先按进价的 1.1 倍标价，后又降价 80 元出售，现在的售价是多少元？现在的售价为(1.1x - 80)元列代数式时的注意点：1. 认真审题，将问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算. 如：“大”“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”“分”“比”“几分之几”“平方”“除以”等都是表示数量关系的常用词语.2. 注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般是“先读先写”.列代数式时的注意点：3. 要掌握各类实际问题中的基本量的关系和公式.4. 根据运算顺序及与数量关系有关的“与”“的”等字，将句子分成几个层次，逐层分析，一步步地列出代数式.例 题【教材P72】 例 4 甲、乙两地之间公路全长 240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为 v km/h.（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ （2）如果汽车的行驶速度增加 3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？列代数式表示规律有一组按规律排列的数：1，-2，3，-4，5，-6，… .（1）这组数的第 100 个数是_______；（2）用代数式表示第 n 个数为_____________.（3）2026 在这组数中吗？数符号规律绝对值规律偶数位上的数符号为负，奇数位上的数符号为正第 n 个数的符号为(-1)n+1第 n 个数的绝对值为n-100(-1)n+1·n2026 不在这组数中观察一组数： … .根据你发现的规律，用代数式表示这组数中的第 n 个数为 _______________.练 习【教材P73】1. 用代数式表示：（1）比 a 的 2 倍大 1 的数；（2）a 的相反数与 b 的一半的差；（3）a 的平方除以 b 的商.2a + 12. 某种商品每袋 4.8 元，一个月内销售了 m 袋，用代数式 表示这个月内销售这种商品的收入.4.8m D  返回 C  返回 A   返回 A  返回   返回列代数式时要厘清运算顺序，一般按先读先写的原则确定其先后顺序.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！