3.1.3反比例关系（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

3.1.3 反比例关系在现实生活中，我们常常会遇到这样的数量关系：当一个量增大时，另一个量反而减小，且它们的乘积始终保持不变。这种特殊的数量关系就是反比例关系。反比例关系是继正比例关系之后又一重要的函数关系，它在数学、物理、经济等多个领域都有着广泛的应用。理解反比例关系的本质、表达式及图像特征，能帮助我们更好地分析和解决实际问题。一、反比例关系的定义核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。例如：路程一定时，速度和时间成反比例关系（速度 × 时间 = 路程，路程不变）；总价一定时，单价和数量成反比例关系（单价 × 数量 = 总价，总价不变）。关键词解析：相关联的量：两种量之间存在依赖关系，一种量的变化会引起另一种量的变化。例如 “工作总量一定时，工作效率和工作时间”，工作效率变化会导致工作时间变化，二者相关联。乘积一定：这是反比例关系的本质特征。若用字母\(x\)和\(y\)表示两种相关联的量，用\(k\)表示它们的乘积（定值），则有\(x×y = k\)（\(k\)为常数，且\(k≠0\)）。与正比例关系的区别：正比例关系的核心是 “比值一定”（\(\frac{y}{x}=k\)），而反比例关系的核心是 “乘积一定”（\(x×y=k\)）；正比例关系中两种量变化方向相同（同增同减），反比例关系中两种量变化方向相反（一增一减）。二、反比例关系的数学表达式基本形式：若两种量\(x\)和\(y\)成反比例关系，则它们的关系可表示为：\( x \times y = k \quad (\text{其中}\ k \text{是常数，且}\ k \neq 0) \)也可变形为：\( y = \frac{k}{x} \quad (\text{或}\ x = \frac{k}{y}) \)其中\(k\)叫做反比例系数，它表示两种量相对应的乘积定值。表达式的意义：在\(y = \frac{k}{x}\)中，当\(k＞0\)时，\(x\)增大，\(y\)减小；\(x\)减小，\(y\)增大（如路程为正数时，速度和时间的关系）。当\(k＜0\)时，\(x\)为正数时\(y\)为负数，\(x\)增大，\(y\)（负数）反而减小（绝对值增大），这在实际问题中需结合具体情境判断合理性（如涉及相反意义的量时可能出现）。字母取值范围：由于分母不能为\(0\)，且乘积\(k≠0\)，因此\(x\)和\(y\)都不能为\(0\)，即\(x≠0\)，\(y≠0\)。在实际问题中，\(x\)和\(y\)通常为正数（如时间、数量、长度等）。三、反比例关系的判断方法判断两种量是否成反比例关系，需遵循以下步骤：确定是否相关联：分析两种量是否存在依赖关系，一种量变化是否会引起另一种量的变化。计算相对应的乘积：列出两种量相对应的几组数值，计算每组数值的乘积。验证乘积是否一定：若所有组的乘积都相等（为同一个常数），则这两种量成反比例关系；否则不成反比例关系。示例：判断下表中\(x\)和\(y\)是否成反比例关系。\(x\)12345\(y\)6321.51.2计算乘积：\(1×6 = 6\)，\(2×3 = 6\)，\(3×2 = 6\)，\(4×1.5 = 6\)，\(5×1.2 = 6\)。所有组的乘积均为\(6\)（定值），因此\(x\)和\(y\)成反比例关系，表达式为\(x×y = 6\)或\(y = \frac{6}{x}\)。四、反比例关系的图像特征反比例关系的图像是双曲线，它具有以下特征：分布区域：当\(k＞0\)时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当\(k＜0\)时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。与坐标轴的关系：双曲线永不与\(x\)轴、\(y\)轴相交（因为\(x\)和\(y\)都不能为\(0\)）。变化趋势：在每一支上，\(y\)随\(x\)的增大而减小（\(k＞0\)时）或增大（\(k＜0\)时），但图像不会与坐标轴重合。对称性：双曲线关于原点对称，即若点\((a,b)\)在图像上，则点\((-a,-b)\)也在图像上（\(k＞0\)时）。示例：反比例关系\(y = \frac{6}{x}\)（\(k=6＞0\)）的图像在第一、三象限，当\(x\)从\(1\)增大到\(6\)时，\(y\)从\(6\)减小到\(1\)，呈现典型的双曲线形态。五、反比例关系的实际应用场景行程问题：当路程\(s\)一定时，速度\(v\)和时间\(t\)成反比例关系，即\(v×t = s\)。例如：从\(A\)地到\(B\)地的路程为\(120\)千米，若速度为\(60\)千米 / 小时，时间为\(2\)小时；若速度变为\(40\)千米 / 小时，时间则变为\(3\)小时（\(60×2 = 40×3 = 120\)）。工程问题：当工作总量\(W\)一定时，工作效率\(p\)和工作时间\(t\)成反比例关系，即\(p×t = W\)。例如：一项工程总量为\(600\)个工时，若\(10\)人合作（每人效率为\(1\)工时 / 天），需\(60\)天完成；若增加到\(15\)人，只需\(40\)天完成（\(10×60 = 15×40 = 600\)）。经济问题：当总价\(C\)一定时，单价\(p\)和数量\(n\)成反比例关系，即\(p×n = C\)。例如：用\(300\)元买笔记本，若单价为\(15\)元，可买\(20\)本；若单价降至\(10\)元，则可买\(30\)本（\(15×20 = 10×30 = 300\)）。几何问题：当长方形面积\(S\)一定时，长\(a\)和宽\(b\)成反比例关系，即\(a×b = S\)。例如：面积为\(24\)平方厘米的长方形，若长为\(8\)厘米，宽为\(3\)厘米；若长变为\(6\)厘米，宽则变为\(4\)厘米（\(8×3 = 6×4 = 24\)）。物理问题：在物理学中，压强\(p\)、压力\(F\)和受力面积\(S\)的关系为\(p = \frac{F}{S}\)，当压力\(F\)一定时，压强\(p\)和受力面积\(S\)成反比例关系（\(p×S = F\)）。例如：压力为\(100\)牛时，受力面积为\(2\)平方米，压强为\(50\)帕；若受力面积变为\(5\)平方米，压强则变为\(20\)帕（\(50×2 = 20×5 = 100\)）。六、反比例关系的计算与应用求反比例系数\(k\)：若已知一组对应值\((x_0,y_0)\)，则\(k = x_0×y_0\)，进而可确定反比例关系表达式。示例：已知\(x\)和\(y\)成反比例关系，且当\(x = 3\)时，\(y = 4\)，求表达式。解：\(k = 3×4 = 12\)，因此表达式为\(x×y = 12\)或\(y = \frac{12}{x}\)。根据表达式求对应值：已知反比例关系表达式和其中一个量的值，可求出另一个量的值。示例：若\(y = \frac{10}{x}\)，当\(x = 5\)时，\(y = \frac{10}{5} = 2\)；当\(y = 0.5\)时，\(x = \frac{10}{0.5} = 20\)。解决实际问题：步骤：① 确定两种相关联的量，判断是否成反比例关系；② 设表达式为\(x×y = k\)，根据已知条件求\(k\)；③ 利用表达式解决问题。示例：一批货物，若用载重量为\(8\)吨的卡车运输，需\(15\)辆；若改用载重量为\(10\)吨的卡车，需多少辆？解：货物总量一定，载重量和卡车数量成反比例关系。设需\(x\)辆，\(8×15 = 10×x\)，解得\(x = 12\)，即需\(12\)辆。七、常见错误与规避方法混淆正比例与反比例：常见错误：认为 “一种量增大另一种量减小就是反比例关系”（忽略 “乘积一定” 的核心条件）。例如：身高和体重的关系，身高增大体重不一定按乘积定值变化，不成反比例。规避方法：严格按照定义判断，关键看两种量的乘积是否为定值，而非单纯看变化方向。忽略实际意义中的取值范围：常见错误：在实际问题中未考虑\(x\)和\(y\)的正数限制，如计算人数、时间时出现负数或零。规避方法：结合具体情境，明确字母的实际含义，确保取值符合现实意义（如时间、数量为正数）。图像理解错误：常见错误：认为反比例图像会与坐标轴相交，或认为在不同象限中\(y\)随\(x\)的变化趋势一致。规避方法：牢记反比例图像是双曲线，永不与坐标轴相交，且不同象限的变化趋势需结合\(k\)的符号判断。八、典型例题解析判断反比例关系：下列两种量是否成反比例关系？为什么？（1）长方形的周长一定，长和宽；（2）总页数一定，每天看的页数和看完书的天数。解：（1）不成反比例。长方形周长\(= 2×(长 + 宽)\)，周长一定时，长和宽的和一定，但乘积不一定，因此不成反比例。（2）成反比例。总页数\(= 每天看的页数×天数\)，总页数一定，即乘积一定，因此成反比例。求反比例表达式及对应值：已知\(y\)与\(x\)成反比例关系，且当\(x = 2\)时，\(y = -6\)，（1）求\(y\)与\(x\)的表达式；（2）当\(x = -3\)时，求\(y\)的值；（3）当\(y = 4\)时，求\(x\)的值。解：（1）设表达式为\(y = \frac{k}{x}\)，代入\(x = 2\)，\(y = -6\)得\(-6 = \frac{k}{2}\)，解得\(k = -12\)，因此表达式为\(y = \frac{-12}{x}\)；（2）当\(x = -3\)时，\(y = \frac{-12}{-3} = 4\)；（3）当\(y = 4\)时，\(4 = \frac{-12}{x}\)，解得\(x = -3\)。实际应用问题：某工厂要生产一批零件，原计划每天生产\(50\)个，\(20\)天完成；实际每天生产的数量是原计划的\(1.25\)倍，实际多少天完成？解：零件总数一定，每天生产数量和天数成反比例关系。原计划每天生产\(50\)个，实际每天生产\(50×1.25 = 62.5\)个。设实际\(x\)天完成，\(50×20 = 62.5×x\)，解得\(x = 16\)，即实际\(16\)天完成。反比例关系是描述两种量反向变化且乘积一定的重要数学模型，它通过简洁的表达式\(x×y = k\)揭示了数量之间的内在规律。在学习过程中，需重点把握 “乘积一定” 的核心特征，学会区分反比例与正比例关系，熟练运用表达式解决实际问题。通过分析反比例关系的图像和应用场景，能进一步加深对其本质的理解，为后续学习反比例函数奠定坚实基础。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 知道反比例关系的概念2. 掌握反比例关系的表示3.会判断两个量是否成反比例关系 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比的量. 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 m3. 解答下列问题：（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表格.525040（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们这间有什么关系？525040每天造雪量变大造雪天数变小5 000×52 = 5 200×50 = 6 500×40 = 260 000造雪天数随着每天造雪量的变大而变小造雪天数与每天造雪量的乘积一定525040（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们这间有什么关系？反比例关系两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k ≠ 0），反比例关系可以 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数.y = kx（k是一个确定的值，且 k ≠ 0） xy = k（k是一个确定的值，且 k ≠ 0） 特别提醒理解成反比例关系的两个量应注意以下两点:（1）一个量随着另一个量的变化而变化，且变化的方向相反，即一个量随着另一个量的变大而变小；（2）这两个量的乘积一定.例 题【教材P74】 例 5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水.（1）四个容器中的高度分别是多少厘米？分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积 = 底面积×高例 题【教材P74】 例 5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水.（1）四个容器中的高度分别是多少厘米？解：四个容器中水的高度分别为 （2）分别用 x（单位：cm2）和 y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 y 与 x 的关系，y 与 x 成什么比例关系？xy = 300. y 与 x 成反比例关系.思 考 生活中，成反比例关系的例子是很常见的. 例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系. 你还能举出一些例子吗？铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数判断两个量是否成反比例关系的方法：练 习【教材P75】1. 如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？成反比例关系速度×时间 = 路程2. 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：（1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量；（2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高；（3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用.成反比例关系成反比例关系不成反比例关系3. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数 与运输的天数之间的关系如下表所示.（1）这批货物共有多少吨？500 吨（2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？运输的天数对着每天运输的吨数减少而增多（3）用 t 表示运输的天数，用 a 表示每天运输的吨数，用式子表示 t 与 a 的关系. t 与 a 成什么比例关系？t 与 a 成反比例关系1. 用代数式表示：【习题3.1教材P75~77】（1）m 的 2 倍； （2）n 的 ；2m（3）比 x 的 2 倍少 1 的数； （4）a 的立方除以 b 的商.2x -12. 说出下列代数式的意义：（1）3x + 6；（2）5(m - 2)；（3）a2 + b2；（4） .x 的 3 倍与 6 的和m 与 2 的差的 5 倍a 的平方与 b 的平方的和n 与 1 的和除以 n 与 1 的差的商3. 用代数式表示：（1）棱长为 a 的正方体的表面积.（2）位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观者 a 万人，预计今后每年平均接待参观者 b 万人，c 年后累计接待的总人数为多少万人？6a2a + bc（3）设某银行一年定期存款的利率是 1.5%，存入 a 元钱，一年后得到的利息是多少元？本息和（存入的钱与利息的和）是多少元？1.5%a（1+ 1.5%）a（4）甲、乙两地相距 s km. 李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时 t h；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前 1 h 到达乙地. 公交车的速度是多少？4. 判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：（1）200 名同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数；（2）三角形的面积是 6 cm2，它的一条边的长与这条边上的高；成反比例关系成反比例关系（3）张华每小时可以制作 120 朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间.不成反比例关系5. 糖果厂生产一批水果糖. 把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表所示.（1）这批水果糖共有多少颗？（2）总袋数是怎样随着每袋数的颗数的变化而变化的？3600 颗总袋数随着每袋数的颗数的变大而变小.（3）用 n 表示总袋数，m 表示每袋装的颗数，用式子表示 n 与 m 的关系. n 与 m 成什么比例关系？n 与 m 成反比例关系综合运用6.（1）如图，一个手工串珠作品由 5 颗红色珠子与 5 颗黑色珠子串成，红色珠子每颗 a 元，黑色珠子每颗 b 元，购买这些珠子共花费___________元.5(a + b)（2）甲、乙两车间生产同一种化工产品，甲车间每天生产 a t，乙车间每天生产 b t. 两车间各生产 5 天，一共生产___________t 化工产品.5(a + b)7. 说出下列各组代数式的意义有什么不同，并举例说明它们表示的实际问题中的数量关系：（1）2m-1 与 2(m-1)；2m-1 表示 m 的 2 倍与 1 的差，2(m-1) 表示 m 与 1 的差的 2 倍.（2） 与 .8. 观察一组数：5，10，15，20，25，… .（1）你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能得排列规律.（2）根据（1）中的规律，用代数式表示第 n 个数.每个位置的数为所处位置的序数的 5 倍.5n9. 甲、乙、丙 3 名同学阅读同一本书，丙的阅读时间最长.（1）甲读完这本书用了 14 天，每天读 18 页. 乙读完这本书用了 21 天，每天读多少页？丙读完这本书用了 x 天，每天读多少页？他们读的天数和每天读的页数之间有什么关系？14×18 = 252，252÷21 = 12.（2）两星期内，照这样的速度阅读 t 天，他们各读了多少页？还剩多少页？已读的页数和剩下的页数成反比例关系吗？为什么？甲读了 18t 页，还剩 (252-18t)页；乙读了 12t 页，还剩(252-12t)页；已读的页数和剩下的页数不成反比例关系，理由：它们的乘积不是定值.10.（1）设 n 表示任意一个整数，用含 n 的代数式表示任意一个偶数及任意一个奇数；拓广探索（2）一个三位数的个位上的数字为 a，十位上的数字为 b，百位上的数字为 c，用含 a，b，c 的代数式表示这个三位数.偶数：2n； 奇数：2n+1（或2n-1）100c + 10b + a11. 3 支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数是多少？4 支球队呢？5 支球队呢？n 支球队呢？3 支球队总的比赛场数是 3 场4 支球队总的比赛场数是 6 场5 支球队总的比赛场数是 10 场两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！