初中人教版（2024）正数和负数学案及答案

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知识点01 正数和负数的定义
正数和负数的定义：
像我们小学学过的1，20，，5.5，120%...这样一些 0的数叫做正数，可以在前面添加一个正号，即“＋”，也可以省略。在正数前面添加一个负号，即“－”，变成﹣1，﹣20，﹣5.5，﹣120%...这样就变成了一些 0的数，我们把它们叫做负数。负号不能省略。
总结：大于0的数是正数，小于0的数是负数。
0 正数，也 负数。
【即学即练1】
如图，两个圈分别表示负数和整数，请把−1，5，−80%，−7，0，−0.2，27，−10这些数填在适当的位置．
知识点02 正数和负数表示具有相反意义的量
1．正数和负数表示具有相反意义的量：
正数和负数可以表示 个具有 的量。 若规定其中一个用正数来表示，则另一个必须用 来表示。此时，0的意义为表示这两个量的 。
拓展：正数和负数表示一个量的范围：
正数与负数可以表示一定的 。表示形式为 ，表示范围是 。
【即学即练1】
2．下列各对量中，不具有相反意义的是（ ）
A．胜2局与负3局
B．盈利3万元与亏损3万元
C．气温升高4℃与气温升高10℃
D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈
【即学即练2】
3．月球表面的白天平均温度零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度零下150℃，应记作（ ）
A．+150℃B．﹣150℃C．150℃D．﹣126℃
【即学即练3】
4．一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．25.30kgB．24.80kgC．25.51kgD．24.70kg
知识点03 “0”的意义
1．“0”的意义：
由正数和负数的概念可得0 正数， 负数。0是正数与负数的分界，在实际意义中，0不仅仅表示“没有”。如0℃表示一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度等。
【即学即练1】
5．下列对“0”的说法正确的个数是（ ）
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数．
A．2B．3C．4D．5
题型01 判断识别正数和负数
【典例1】下列四个数中，是负数的是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【变式1】在数﹣1，8，2.5，−12，0，﹣0.01，7.5，﹣4.3中，负数的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2】下列各数：0，+5，−312，+3.1，﹣2.4，2020，﹣20%，其中不是负数的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
3.2，−12，23，−156，+2.009，﹣108，+4925，81．
题型02 用正数和负数表示具有相反意义的量
【典例1】中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作+17米，则﹣5米表示（ ）
A．上升5米B．下降5米C．下降17米D．上升17米
【变式1】如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5，那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作（ ）
A．﹣2B．+2C．+7D．﹣7
【变式2】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．“意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果风车顺时针旋转45°记作+45°，那么逆时针旋转60°记作（ ）
A．﹣45°B．45°C．﹣60°D．60°
【变式3】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入60元记作+60元，则﹣20元表示（ ）
A．收入20元B．收入40元C．支出40元D．支出20元
题型03 用正数和负数表示量的范围
【典例1】2024年巴黎奥运会乒乓球比赛已经圆满落幕，中国乒乓球队再次展现了其王者之师的风采，更以史无前例的壮举——包揽全部五块金牌，为这场体育盛宴划上了最为辉煌的句号．比赛中，所采用的乒乓球的标准尺寸是40mm±0.05mm，下列尺寸的乒乓球中哪一个是不合格的（ ）
A．40.06mmB．40.02mmC．39.97mmD．39.95mm
【变式1】铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为（3±2）℃，以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（ ）
A．﹣1℃B．1℃C．2℃D．3℃
【变式2】一种大米的质量标记为“（10±0.1）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A．10.08千克B．10.09千克C．9.98千克D．9.89千克
【变式3】某零件标明的要求是Φ50−0.03+0.04（单位：mm，Φ表示直径），这种产品合格的最大直径是多少？最小直径是多少？直径是50.2mm的产品，是否合格？
题型04 正数和负数的其他应用
【典例1】下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．
2025年元月6日19：00，我国中央广播电视总台综合频道CCTV﹣1《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（ ）
A．纽约是2025年元月6日6：00
B．巴黎是2025年元月6日11：00
C．东京是2025年元月6日20：00
D．上海是2025年元月6日19：00
【变式1】第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）（带“+”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数）：
奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（ ）
A．北京时间7月27日3时30分
B．伦敦时间7月26日18时30分
C．纽约时间7月26日14时30分
D．首尔时间7月27日5时30分
【变式2】埃及与北京的时差为﹣6小时（“+”表示同一时刻埃及时间比北京时间早，“﹣”表示同一时刻埃及时间比北京时间晚），当北京时间是13：00时，埃及时间是 ．
【变式3】下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称．
题型05 “0”的认识
【典例1】对﹣0的正确说法是（ ）
A．是0B．不是0C．正数D．负数
【变式1】下列对于0的说法错误的是（ ）
A．0是整数
B．0既不是正数也不是负数
C．0的倒数是0
D．0的任何正整数次幂是0
【变式2】下列对“0”的说法正确的个数是（ ）
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数．
A．1B．2C．3D．4
【变式3】对于“0”的说法：①0℃是一个确定的温度；②0为正数；③0不是负数；④0为自然数．正确的有 ．
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A．2B．﹣3C．0D．1
2．下列对“0”的说法不正确的是（ ）
A．0只表示“什么也没有”
B．0是正数和负数的分界点
C．0可以表示特定的意义，如0℃
D．0是自然数
3．某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局B．输给对手
C．打赢了对手D．无法确定
4．在﹣9，0，﹣2，13，+100，﹣0.5中，负数的个数有几个（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．下列具有相反意义的两个量是（ ）
A．向东走20米和向南走20米
B．盈利200元和赚了200元
C．零上25℃和零下25℃
D．支出30元和标价30元
6．已知上周五（周末不开市）股市指数以1900点报收，本周内股市涨跌情况如下（“+”表示比前一天涨，“﹣”表示比前一天跌），则本周三的股市指数为（ ）
A．1910点B．1930点C．1950点D．1990点
7．某种食品包装袋上显示净含量：“150±3g”说明这袋饼干的质量是（ ）
A．147gB．153gC．147∼153gD．150∼153g
8．某用品公司检测排球的质量，超过标准质量的克数记为正数．下列四个球的质量最接近标准质量的是（ ）
A．﹣0.6B．﹣3.5C．﹣2.5D．+0.7
9．在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线OA的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（0°～180°），顺时针方向旋转为负角度（0°～﹣180°），特别地，OA的反向延长线所在的方向记为180°．由于OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km，因此点B可以用有序数对记为（90°，1），类似地，点C可以记为（﹣15°，4）．以下点的位置标记正确的是（ ）
A．点D（4，150°）B．点E（45°，3）
C．点F（﹣120°，3）D．点G（60°，2）
10．已知巴黎时间与北京时间相差﹣6小时（即巴黎时间比北京时间晚6个小时）．巴黎时间2024年8月10日15：00开始进行巴黎奥运会乒乓球女子团体决赛，则比赛开始的时间是北京时间（ ）
A．8月10日9：00B．8月10日21：00
C．8月9日9：00D．8月9日21：00
11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入200元记作+200元，则支出50元记作 元．
12．一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为198g，则该面包厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为．
13．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示﹣723，则“”所表示的数是 ．
14．六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼．下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计．他将150个记为0，超出150个的部分用正数表示，不足150个的部分用负数表示．《国家学生体质健康标准》规定：六年级男生一分钟跳绳个数在147个以上（含147个）记为优秀．该同学这一周有 次一分钟跳绳成绩为优秀．
15．在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”等等．现有5位同学验光记录如下：“﹣0.50D”，“﹣2.50D”，“﹣1.75D”，“﹣2.25D”，“﹣3.50D”，通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有 位．
16．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数．
5，−57，0，−3.5，113，−0.01，+2.5，−700．
17．“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：﹣5个．
下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况：
（1）从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？
（2）小李这周一共生产了多少个毛绒玩具．
18．现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了．
在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？
通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是ϕ30±时，ϕ表示直径，单位是毫米（mm）．这样标注表示零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是（30+0.03）mm，最小可以是（30﹣0.02）mm，在这个范围内的产品都是合格的．如果生产了一个零件的直径是29.97mm，它合格吗？这里的±给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出．
（1）直径为30.03mm和直径为29.97mm的零件是否合格？为什么？
（2）你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明．
19．观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，…．
（1）请写出这一列数中的第100个数和第2011个数；
（2）在前2012个数中，正数和负数分别有多少个？
（3）2013和﹣2013是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由．
20．项目式学习
【项目主题】去露营基地野餐
【项目背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等．
【项目素材】
【项目任务】
任务一：求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务二：李明驾车沿该路线行驶，电动车的耗电总成本是多少元？
教学目标
掌握正数和负数的定义并能够熟练的进行识别。
掌握正数和负数表示的意义，并能够熟练的用正数和负数表示相关的量以及量的范围。
3. 掌握0的意义并能够熟练应用。
教学重难点
重点
（1）正数与负数的认识与判断；
（2）正数与负数的意义；
（3）0的意义。
2. 难点
（1）利用正数和负数表示时间差；
（2）0的实际意义。
城市
纽约
巴黎
东京
与北京的时差/h
﹣13
﹣7
+1
城市
纽约
伦敦
巴黎
首尔
时差
﹣13
﹣8
﹣7
+1
城市
纽约
悉尼
伦敦
罗马
时差/h
﹣13
+2
﹣8
﹣7
星期
一
二
三
四
五
指数变化（点）
+50
﹣30
+10
﹣20
+50
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
﹣10
+5
0
+15
﹣2
﹣8
+5
星期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
计数/个
+3
+1
﹣3
﹣2
+4
素材一
路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地．
素材二
这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+5，+2，﹣4，﹣11．
素材三
李明驾驶的汽车为新能源电动车，已知电动车每千米耗电成本为0.2元．