人教版（2024）七年级上册绝对值学案

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知识点01 绝对值的定义与数的绝对值
绝对值的定义：
一般地，数轴上表示数的点到 的距离就是数的绝对值。数的绝对值记作 ，读作 。
求一个数的绝对值：
由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。
【即学即练1】
1．﹣2025的绝对值是（ ）
A．﹣2025B．2025C．−12025D．12025
【即学即练2】
2．|−16|＝（ ）
A．−16B．16C．﹣6D．6
知识点02 绝对值的性质
绝对值的非负性：
由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为 。所以绝对值是一个 ，所以绝对值具有 。即若|| 0。
考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。
即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有 。
绝对值与数轴：
在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就 ，一个数离原点越远，绝对值 。
绝对值与相反数：
①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 。即若与互为相反数，则|| ||。
②绝对值等于某个正数的数一定有 ，它们 。即若||=，则
＝
③绝对值相等的两个数要么 ，要么 。即若||＝||，则有
或 。
【即学即练1】
3．若|x﹣3|+|y﹣4|＝0，x＝ ，y＝ ．
【即学即练2】
4．式子|x+1|+2取最小值时，x等于（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
【即学即练3】
5．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）
A．pB．qC．mD．n
【即学即练4】
6．|x|＝2，则这个数是（ ）
A．2B．2和﹣2C．﹣2D．以上都错
【即学即练5】
7．如果点M、N在数轴上表示的数分别是a，b，且|a|＝3，|b|＝1，试确定M、N两点之间的距离．
【即学即练6】
8．若|−m|=|−12|，则m的值为 ．
知识点03 求式子的绝对值
求一个式子的绝对值：
正数的绝对值等于它 ，0的绝对值等于 ，负数的绝对值等于 。求一个式子的绝对值先判断式子与 的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于 ，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于 。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数 0，解||=，则 0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数 0。||=﹣，则 0。
【即学即练1】
9．如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a≥0C．a≤0D．a＜0
【即学即练2】
10．若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤1
知识点04 有理数的大小比较
有理数的大小比较：
①定义法：正数 0，0 负数，所以正数 负数。负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而 。
②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定 数轴上左边所表示的数。
③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而 。
【即学即练1】
11．把﹣（﹣1），−23，﹣|−45|，0．用“＞”连接正确的是（ ）
A．0＞﹣（﹣1）＞﹣|−45|＞−23B．0＞﹣（﹣1）＞−23＞−|−45|
C．﹣（﹣1）＞0＞−23＞−|−45|D．﹣（﹣1）＞0＞﹣|−45|＞−23
【即学即练2】
12．如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ）
A．c＞a＞0＞bB．a＞b＞0＞cC．b＞0＞a＞cD．b＞0＞c＞a
题型01 求数或式子的绝对值
【典例1】﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．12024D．−12024
【变式1】计算|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．−12C．12D．2
【变式2】若a，b都是有理数，且ab≠0，则|a|a+b|b|的取值不可能是（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
【变式3】若ab＞0，则a|a|+b|b|+ab|ab|的值为（ ）
A．3B．﹣1C．±1或±3D．3或﹣1
题型02 绝对值的非负性
【典例1】若|m﹣2|+|n﹣4|＝0，则m+n＝ ．
【变式1】若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求2x﹣y的值．
【变式2】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．
计算：（1）x，y，z的值．
（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．
【变式3】如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2023B．4046C．20D．0
【变式4】当a＝ 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 ．
题型03 根据绝对值的意义求字母范围
【典例1】已知|a|＝﹣a，则a的值是（ ）
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
【变式1】若|x|＝x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≤0C．x≥0D．x＜0
【变式2】若|a﹣1|＝a﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a≤1C．a＜1D．a＞1
【变式3】如果|x﹣2|+x﹣2＝0，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
题型04 绝对值与相反数
【典例1】若一个数的绝对值是4，则这个数是（ ）
A．4B．±14C．±4D．−14
【变式1】若|x|＝3，则x＝ ．
【变式2】下列判断正确的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若|a|＝|b|，则a＝﹣b
C．若a＝b，则|a|＝|b|D．若a＝﹣b，则|a|≠|b|
【变式3】如果|m|＝|﹣3|，那么m＝ ．
题型05 绝对值与数轴
【典例1】绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是8，则这两个数分别是（ ）
A．8和﹣8B．0和﹣8C．0和8D．﹣4和4
【变式1】若有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a＞bC．a＜bD．a＝b
【变式2】已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 绝对值的化简
【典例1】若a＞3，化简|a|﹣|3﹣a|的结果为（ ）
A．3B．﹣3C．2a﹣3D．2a+3
【变式1】如图，数轴上的点A所表示的数为k，化简|k|+|1﹣k|的结果为（ ）
A．1B．2k﹣1C．2k+1D．1﹣2k
【变式2】如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝ ．
【变式3】化简|a﹣1|+a﹣1＝（ ）
A．2a﹣2B．0C．2a﹣2或0D．2﹣2a
题型04 有理数的大小比较
【典例1】下列比较大小正确的是（ ）
A．−|−110|＞−(−29)B．−(−73)＞2
C．﹣0.01＜﹣1D．−34＜−45
【变式1】有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，﹣a，1的大小关系正确的是（ ）
A．﹣a＜a＜1B．a＜﹣a＜1C．1＜﹣a＜aD．a＜1＜﹣a
【变式2】a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（ ）
A．a＜﹣a＜b＜﹣bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜b＜﹣b＜aD．﹣b＜a＜b＜﹣a
【变式3】把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来．
0，112，﹣3，﹣（﹣5），−|−32|，+(−412)，
1．数轴上表示−13的点到原点的距离是（ ）
A．−13B．13C．﹣3D．3
2．如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是（ ）
A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数
3．数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（ ）
A．5B．﹣5C．5或﹣5D．不能确定
4．如果|a|a=−1，则a的取值（ ）
A．a＜0B．a≤0C．a≥0D．a＞0
5．a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
7．|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（ ）
A．a，b的绝对值相等
B．a，b异号
C．a+b的和是非负数
D．a，b同号或其中至少一个为零
8．a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（ ）
A．﹣b＜a＜﹣a＜bB．a＜﹣b＜﹣a＜bC．a＜b＜﹣a＜﹣bD．﹣b＜﹣a＜a＜b
9．已知|x|表示数轴上某一点到原点的距离，|x﹣3|表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，|x+2|表示数轴上某一点到表示数﹣2的点的距离．设S＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（ ）
A．S没有最小值
B．有限个x（不止一个）使S取最小值
C．只有一个x使S取最小值
D．有无穷个x使S取最小值
10．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|+|c﹣a|＝1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．比较大小：−(+34) −|−56|（填“＞”、“＝”、“＜”号）．
12．如果|n|＝5，且n＜0，那么n＝ ．
13．要通过举反例说明“如果a＞b，那么|a|＞|b|”是错误的，请写出一组a，b的值：a＝ ，b＝ ．
14．若m为任意实数，则|m+2019|的最小值是 ．
15．若非零有理数a、b同号，求|a|a+|b|b的值为 ．
16．已知有理数a，b，且1＜a＜b＜3．化简：|a﹣1|+|b﹣a|+|3﹣b|．
17．若|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0，计算：
（1）x，y，z的值．
（2）求|x|+|y|+|z|的值．
18．分类讨论式子a|a|+b|b|+c|c|的不同结果．
19．有理数：−312，﹣|﹣1|，3.2，0，2，﹣5．
（1）在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点；
（2）把这6个数用“＜”连接起来；
（3）这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个；
（4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算）
20．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x的值．
（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．
教学目标
掌握绝对值的定义并能够熟练的求一个数的绝对值。
掌握绝对值的性质并解决相关题目。
掌握求式子的绝对值的方法并能够熟练的求式子的绝对值。
掌握有理数比较大小的方法，能够熟练的比较有理数的大小。
教学重难点
重点
（1）绝对值的认识与应用；
（2）绝对值的非负性与化简；
（3）有理数的大小比较。
2. 难点
（1）绝对值的非负性及根据意义求范围；
（2）绝对值与相反数、与数轴的综合应用。