初中15.1.2 线段的垂直平分线第2课时课时作业

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14567" 类型一、根据作图轨迹求解 PAGEREF _Tc14567 \h 1
\l "_Tc28714" 类型二、作垂线6
\l "_Tc25408" 类型三、作垂直平分线11
TOC \ "1-3" \h \u
类型一、根据作图轨迹求解
1．如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，，根据角平分线的性质，，再逐项判断即可．
【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，
∴，A不符合题意；C不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，D不符合题意；
无法证明，B符合题意；
故选：B．
2．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．顶角B的角平分线B．边的垂直平分线
C．边的中线D．边的高线
【答案】D
【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可．
【详解】解：由作图可知，故线段是的高．
故选：D．
3．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由作图可知：平分，由线段垂直平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：由作图可知：平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B
4．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
故选：．
5．在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可．
【详解】解：②的痕迹是作的垂直平分线交于点D，连接，不能得到是的角平分线；①的痕迹是作的平分线；③④均可通过证三角形全等得是的平分线．
故选D．
6．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（ ）
A．14B．15C．17D．23
【答案】C
【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案．
【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
故选：C
7．通过如下尺规作图，能得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断．
【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形．
故选：C．
8．如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积为，则 （用含和的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了尺规作垂线、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作垂线的步骤是解题的关键．由作图可知，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：由作图可知，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
9．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∴的周长为:；
故答案为：14．
类型二、作垂线
10．如图，点C是线段外一点．借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段的垂直平分线上．（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法．）
【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质定理，熟练掌握以上知识点是关键．
法一：以为圆心，的长为半径画弧，若弧过点，则证明点C在线段的垂直平分线上；
法二：直接利用尺规作图—作的中垂线，观察点是否在中垂线上即可．
【详解】解：如图所示，两种方法确定点C在线段的垂直平分线上．
11．如图，在四边形中，，．
(1)若点是边上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点作，交于点．
(2)在（1）的作图下，若，平分，求的度数．解答过程如下，请你补充完整．
解：∵（已知），
∴（_____①______）
∵平分（已知）
∴，
∴______②_____（等量代换）
∵，，
∴
∴
∵（已知），（作图），
∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）
【答案】(1)图见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键：
（1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，以这两点为圆心，以大于两点形成的线段的长为半径画弧，交与一点，连接该点与点形成的直线即为所求；
（2）根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，等量代换，进行作答即可．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分（已知）
∴，
∴（等量代换）
∵，，
∴
∴
∵（已知），（作图），
∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）
12．如图，在中，在上作一点Q，连接，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图．过点B作于点Q，则点Q即为所求．
【详解】解：如图，过点B作于点Q，
则点Q即为所求．
，
．
13．如图，在中，是边上一点，按要求完成下列问题：
(1)借助三角尺，过点作，垂足为；
(2)借助圆规和无刻度的直尺，过点作的平行线；（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作垂线，作平行线，解题关键是熟练掌握作图方法．
（1）利用三角尺的直角作垂线即可；
（2）依据平行线的判定定理作图即可．
【详解】（1）解：如图，，垂足为，
（2）解：如图，，
14．如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C作于点D；
(2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答．
（2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，如图所示：
（2）解：依题意，点E如图所示．
15．在学习了全等三角形的判定和性质后，小明进行了更深入的研究，他发现时， 若与的高分别为， 则一定有，，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他的想法和思路完成以下作图和填空：
(1)如图， 在与中，是的高，用尺规做直线的垂线，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知，与的高分别为，求证：
证明:∵ ，
∴， _______①_____，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴____②_____．
∴（ ③ ）．
∴．
将上述已证明的结论用文字可表述为： ④
【答案】(1)作图见解析
(2)；；；全等三角形的对应高线相等
【分析】本题主要考查了尺规作垂线，全等三角形的性质和判定，
对于（1），以点D为圆心，为半径画弧，交于点G，H，再分别以点G，H为圆心，为半径画弧，两弧交于点K，作射线，交于点N，则即为所求作；
对于（2），先根据全等三角形的性质得，再说明，然后根据证明，即可得．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）证明:∵ ，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴（）．
∴．
将上述已证明的结论用文字可表述为：全等三角形的对应高线相等．
故答案为：；；；全等三角形的对应高线相等．
类型三、作垂直平分线
16．如图，在中，．
(1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论）
(2)推理填空：
已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：．
证明：是边的垂直平分线，
①______°．
（②______）；
③______（等式的性质）．
，（已知），
（等量代换）．
④______（等量代换）．
（⑤______）．
【答案】(1)见解析
(2)①90；②三角形的内角和等于；③；④；⑤同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，求得的度数，再利用平行线的判定定理证明．
【详解】（1）如图：
（2）证明：是边的垂直平分线，
．
（三角形的内角和等于）；
（等式的性质）．
，（已知），
（等量代换）．
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
17．尺规作图：在图中画出边上的中线、及的平分线
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形的中线的概念，尺规作图---作线段的垂直平分线和角的平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键．
作线段的垂直平分线与线段的交点即为线段的中点，连接中点与点即为中线；以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以该两交点为圆心，大于两交点之间的距离的一半长为半径画弧，两弧在内部交于一点，以点为顶点，过该交点作射线，即为所求．
【详解】解：如图，中线，射线即为所求：
18．尺规作图：四边形是平行四边形，请在边上找一个点．使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，作出线段的垂直平分线，交于点，由线段垂直平分线的性质可知，故点即为所求，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：如图所示，点即为所求．
19．如图为某地一个长方形旅游景区，点为景区内部一座“红色文化”展览馆（大小忽略不计），为一条小路，现景区管理员欲在上确定一点作为游客休息区，使点到点的距度与点到展览馆的距离相等．请运用尺规作图的方法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求．
20．如图，在中
(1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可；
（2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：连接，
∵线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长=,
∴的周长．
21．如图，在中，是钝角．
(1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的做法以及性质是解题的关键．
（1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D．
（2）由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，再根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：∵为的垂直平分线
∴,
∴，
∵，
∴，
∴
1．如图，已知，点是边的中点，请利用尺规作图在内部求作一点，使点到所在直线的距离等于的长度（保留作图痕迹，不写做法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，作垂线，角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理以及尺规作角平分线和垂线的步骤是解题的关键．
作的角平分线，过点作的垂线，射线与直线交点即为所求，根据角平分线的性质定理可得此时点到所在直线的距离等于的长度．
【详解】解：如图，点即为所求，
2．如图，有一块五边形草坪，现要在草坪内部修建一处便民活动中心，使得便民活动中心到边、边的距离相等，且便民活动中心到点的距离与便民活动中心到点的距离相等，请你找出便民活动中心的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质以及常见的尺规作图是解题的关键．作的平分线和的垂直平分线相较于点Q即可．
【详解】解：如图，
3．如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长；
(2)利用尺规作图，作出（1）中的线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，垂线的作法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P即可；
（2）作于点D即可．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：如图所示，线段为所求．
平分，，，
．
4．在一次抓捕贩毒分子的行动中，一贩毒分子从两条公路的交点O处沿着到两条公路距离相等的一条小路逃窜（如图，在内），要使埋伏在A，B两处的公安人员在相等的距离同时抓住贩毒分子，请你帮助公安人员在图中标出抓捕点，并简述你的理由．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理，掌握角平分线的性质及中垂线的性质是解题的关键．
角平分线上的点到角两边的距离相，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，两线交点即为所求．
【详解】解：如图，作的平分线，连接，作线段的垂直平分线与交于点P，则点P为抓捕点．
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在的角平分线上，点P也在其上），
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段的垂直平分线上）．
∴两线的交点，即点P符合要求．
5．如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求．
【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点．
6．商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】图见解析
【分析】本题考查了作图一应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
连接，作线段的垂直平分线，作的角平分线交于点，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求．
7．如图，已知，为射线上一点，请用尺规作图法，在内部求作一点，使是一个等腰三角形，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查基本尺规作图-作中垂线、作角平分线等，根据是一个等腰三角形，且，得到，从而确定先作的角平分线，保证，再作线段垂直平分线交于的角平分线，即可得到答案，读懂题意，掌握基本尺规作图-作中垂线、作角平分线是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
点即为所求．（作法不唯一）
8．如图，A，B，C三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划新建一个综合超市，要使超市到三个居民区距离相等，请你在图中用尺规确定超市位置．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质的应用，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等知，作出的中垂线相交于点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为超市位置．
1．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法）
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)在上找一点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键；
（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，问题得解；
（2）按照（1）的方法作答即可；
（3）作的垂直平分线交于点，即可求解．
【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图，
高即为所作；
（2）如图所示：
垂线即为所作；
（3）如图，点即为所求；
2．请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题．
(1)如图1，已知，求作边上的高．小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，长为半径作弧；②以B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E；③连接，交于点D．所以线段就是所求的边上的高．
（i）请用直尺和圆规，完成小明的作图（保留作图痕迹）；
（ii）分别连接，再将该作图的证明过程补充完整．
证明：∵；∴点A在线段的垂直平分线上．（________）（填推理依据）
∵；∴点B在线段的垂直平分线上．
∴垂直平分线段．（________）（填推理依据）
∴．即是边上的高．
(2)如图2，已知中，是边上的高，，求作边上的高．
小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧．
①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）；
②根据小红的作法，求证：是边上的高．
【答案】(1)①见解析②到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线
(2)①见解析②见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）①根据题意画出图形即可；
②证明A，B到线段的两个端点的距离相等，可得结论；
（2）①以H为圆心，为半径作弧交于点T，连接，延长交于点D，线段即为所求；
②证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：①如图，即为所作；
②证明：∵；
∴点A在线段的垂直平分线上（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵；
∴点B在线段的垂直平分线上．
∴垂直平分线段．（两点确定一条直线）（填推理依据）
∴．即是边上的高．
故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
（2）解：①图形如图所示；
以H为圆心，为半径作弧交于点T，连接，延长交于点D，线段即为所求
②证明：∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即是的边上的高．
3．如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：
(1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P．
(2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键．
（1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段的垂直平分线，即可作图；
（2）点P关于m的对称点落在上，可得直线m为的平分线所在的直线，即可作图．
【详解】（1）解：如图①，连接，作线段的垂直平分线l，
则直线l即为所求．
（2）解：如图②，作的平分线，
则的平分线所在的直线m即为所求．
4．请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）．
(1)已知，是钝角，，
①在图1中求作点P，使得：点P在边上，且；
②在图2中求作，使得：点M、N在边上，且的周长等于的长；
(2)如图3，已知线段，求作，使得：直角边在线段上，且的周长等于的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，作一线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，掌握这些基本作图是解题的关键．
（1）①作线段的垂直平分线，则；②分别作边的垂直平分线与交点为，则；
（2）在上取点，过点作的垂线，在垂线上取点使，连接，作的垂直平分线交于点，则，则即为所求．
【详解】（1）解：①解：如图，点即为所求：
②如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：