苏科版（2024）八年级上册（2024）1.5 等腰三角形习题

这是一份苏科版（2024）八年级上册（2024）1.5 等腰三角形习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（ ）
A . 120°，60° B . 95.1°，104.9° C . 30°，60° D . 90°，90°
2.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 6和 12两部分，则等腰三角形的底边长（ ）
A . 6 B . 10 C . 2 D . 2或10
3.△ABC的三边分别是 a、 b、 c ， 且满足 a−b2+a2+b2−c2=0 ， 则 △ABC的形状是（ ）
A . 等腰三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等腰三角形或直角三角形
4.木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A . 角平分线定理
B . 等腰三角形的三线合一
C . 线段垂直平分线定理
D . 两直线垂直的性质
5.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）
A . 等腰三角形两底角相等
B . 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
C . 等腰三角形是轴对称图形
D . 等腰三角形的对称轴为底边上的中线
6.下列能确定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A . ∠A=50°、∠B=80°
B . ∠A=42°、∠B=48°
C . ∠A=2∠B=70°
D . AB=4、BC=5，周长为15
7. 如下图，PQ为Rt△MPN斜边上的高， ∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
8.正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A . 60° B . 90° C . 120° D . 150°
9.如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）
A . 等边三角形
B . 等腰三角形
C . 不等边三角形
D . 不等腰钝角三角形
10.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点 C ， 使得 △ABC是等腰三角形，且 AB为其中一腰．这样的 C点有（ ）个．
A . 7个 B . 8个 C . 9个 D . 10个
二、填空题
1.王华在学习中遇到了这样的问题：如图所示的三角形纸片 △ABC中， ∠C=90° ， AC=6 ， BC=8 ， 将 △ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，王华发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助王华写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积为 ________ ．
2.小明现在有两根 5cm ， 10cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根 ________ cm长的木棒．
3.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝ 12 AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为 ________ ．
4.如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了 ________ cm.
5.底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是 ________
6.如图 ， 已知直线 l：y=x+2交x轴于A，交y轴于点 A1 ， 点 A2 ， A3 ， …在直线l上 ，点 B1，B2，B3 ， …在x轴的正半轴上 ，若 △A1OB1 ， △A2B1B2 ， △A3B2B3 ， …均为等腰直角三角形 ，且直角顶点都在x轴上，则 △A2025B2024B2025的面积为 ________ ．
7.如图，用两根拉线固定竖直电线杆的示意图，其中拉线的长 AB=AC ， 若 ∠ABD=50∘ ， 则 ∠CAD= ________ ．
8.如图，点D 是 ABC的边 BC上一点，连接AD，取AD的中点E，连接BE，过点E作BE的垂线，恰好交于点 C，取CE的中点F，连接BF，交AD于点G，若点G恰好为BF的中点， EG=3,BE=4,则 ABC的面积为 ________ .
9.已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= ________ （度）
三、作图题
1.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
2.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上。以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形?
3.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
四、综合题
1.已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中 ∠ACB=∠DFE=90° ， E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N．
（1） 如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证： AM=MC；
（2） 如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；
（3） 如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由．
2.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1） 如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2） 如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
3.如图所示，某轮船于上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东 60°方向，该轮船以每小时 10n mile的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东 30°方向，且C处与海岛B相距 20n mile ， 继续航行到D处，观测到海岛B在北偏西 30°方向．请确定轮船到达C处和D处的时间．
五、解答题
1.试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果ab＜0，那么a+b＜0
反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0，而a+b=4+（﹣3）=1＞0
所以，这个命题是假命题．
（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：
（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：
（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：
（画出图形，并加以说明）
2.直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足 (m−n)2+n−4=0 ．
（1） m= ， S △ ABO= ；
（2） 如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
（3） 如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）
3.一次函数 y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点 Aa,0 ， 点 B0,b ． 过B点作垂直于直线 AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段 OB于点D，交直线 BC于点E．其中实数a、b满足 a+2+b2+8b+16=0 ．
（1） 求直线 AB解析式；
（2） 如图1，当 BE=DE时，求E点坐标；
（3） 如图2，当 BD=DE时，F为直线 BC上一点，且位于E点右侧，过点F作平行于y轴的直线交直线 AD于点G，点H为直线 AB上的动点，当 △FGH为等腰直角三角形时，求点H坐标．
4.如图是屋架设计图的一部分，其中等腰△ABC（AB=BC）的顶角∠ABC为120°，DE垂直平分斜梁AB于D，交横梁AC于E.DE＝2m，
（1） 求∠EBC的度数
（2） 求BE的长
（3） 求横梁AC的长
六、阅读理解
1.请阅读材料并填空：
如图1，在等边三角形 ABC内有一点 P ， 且 PA=2 ， PB=3 ， PC=1 ， 求 ∠BPC的度数和等边三角形 ABC的边长．
李明同学的思路是：
将 △BPC绕点 B逆时针旋转 60° ， 画出旋转后的图形（如图 2) ， 连接 PP' ．
（1） 根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 ∠BPC= ° ， 等边 △ABC的边长为 ．
（2） 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形 ABCD内有一点 P ， 且 PA=5 ， BP=2 ， PC=1 ． 求 ∠BPC度数和正方形 ABCD的边长．
（3） 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口， ∠A=75° ， AB=22km ， AC=4km ， 工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 PA+PB+PC的最小值是 km ．
2.在学习乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2的运用时，我们常用配方法求最值．
例如：求代数式 x2+4x+5的最小值．总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1
∵ (x+2)2≥0，∴当 x=−2时， (x+2)2的值最小，最小值是0，
∴ (x+2)2+1≥1，∴当 x=−2时， (x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴ x2+4x+5的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1） 填空： m2+8m+_=(m+4)2；
（2） 若 y=x2+2x−3 ， 当 x= 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3） 已知a、b、c是 △ABC的三边长，满足 a2+b2=12a+8b−52 ， 且c的值为代数式 −x2+6x−5的最大值，判断 △ABC的形状，并说明理由．