苏科版（2024）八年级上册（2024）1.5 等腰三角形教学设计

这是一份苏科版（2024）八年级上册（2024）1.5 等腰三角形教学设计，共20页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
经历探索等腰三角形的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，培养几何直观能力.
探索并证明等腰三角形的性质定理.
会用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
在“操作-探究-归纳-证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力.
【教学重点】
探索并证明等腰三角形的性质定理.
【教学难点】
利用等腰三角形的性质定理解决问题.
创设情境：
说说你对等腰三角形的认识.
学生预设：
两条边相等的三角形是等腰三角形；
等腰三角形是轴对称图形；

探究新知：
活动一：探究“等边对等角”
剪一个等腰三角形，记为△ABC，其中AB和AC是腰.
将△ABC沿顶角∠BAC的平分线折叠，你有什么发现？
发现：
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；
△ABD和△ACD全等；
∠B=∠C；
BD=CD.
归纳总结：
等腰三角形的性质定理1：
等腰三角形的两底角相等.（简称“等边对等角”）
活动二：探究“三线合一”
由BD=CD可知，点D是BC的中点，从而AD是BC边上的中线.
由△ABD和△ACD全等，可知∠ADB=∠ADC，又因为
∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°. 从而，AD⊥BC，即AD是BC边上的高.
归纳总结：
等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）
活动三 基本作图作三角形
已知线段a、h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC使底边BC=a，高AD=h.
例题精讲：
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD.
求证：∠ADB=∠BAC.
例2 如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
练习：
1．如图，在中，，，，则（ ）

第1题 第3题 第4题
A．5B．6C．7D．8
2．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（ ）
A．B．或C． D．或
3．我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．4或6B．5C．4D．6
4．如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个 D．5个
5．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ．

第5题 第6题 第8题
6．如图，，的顶点C在直线m上，若，，，则 ．
7．若一个等腰三角形的两边长分别为7和15，则这个等腰三角形的周长为 ．
8．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ．
9．如图，中，，，是的角平分线，以 为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ．

第9题 第11题 第12题
10．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ．
11．如图：O是等边内一点，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，连接、、、，若，当是等腰三角形，则 度．
12．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，M，的垂直平分线分别交，于点E，N，连接，，则的度数为 ．
13．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ．
14．如图1，△ABC，△AED是等腰直角三角形，∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的数量关系为______；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜90°），则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由．
15．如图，平分，垂直平分，分别交，于点，，与平行吗？
解：平分（已知）
_____（角平分线定义）
垂直平分
_____（_____）
（_____）
_____（等量代换）
（______）
16．如图，已知：，，．求度数．
17．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC和AB上，若AD=BD=AE，BE=DE=DC，求∠CAD的度数．
18．如图，在中，，用尺规作图法在边上求作一点，使．（保留作图痕迹、不写作法）
19．如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由．
20．在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接．
(1)发现问题
如图①，当点D在边上时，
①请直接写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②请直接写出、、三者之间的数量关系
(2)尝试探究
如图②，当点 D 在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸
如图③，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，直接写出线段的长为 ．
参考答案
例1证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠C=∠BAD.
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-2∠B
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2∠B
∴∠ADB=∠BAC
例2（1）证明：∵，是边上的中线，
∴，，
，
，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知，，那么，
在和中，
，
∴，
∴，
是边上的中线
，
∴．
练习
1．解：∵，，
∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分，
∴，
故选：A．
2．解：当为顶角时，答案就是本身；
当为底角时，另一个底角为，顶角为，
故顶角为或．
故选：D．
3．解：当为等腰三角形时，
∴或；
当时
满足，
在满足；
当时，
在中，，不满足条件，舍掉；
∴；
故选：C．
4．解∵在中，是的角平分线，
∴
∴，，，故①②④正确；
∴，故⑤正确；
无法证明，故③错误．
综上所述，正确的有4个．
故选：C．
5．解：，，
，
故答案为：．
6．解：作，如图，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：50．
7．解：若等腰三角形的三边长为7，7，15，，故不符合题意；
若等腰三角形的三边长为7，15，15，，则周长为；
综上所述，这个等腰三角形的周长为37．
故答案为：37．
8．解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵在中，是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
9．解：作交的延长线于点F，
是的角平分线，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：16．
10．解：①如图1，当是钝角时，
由题意：，
∴，
②如图2，当是锐角时，
由题意：，
∴，
∴，
综上，该等腰三角形的底角的度数为或，
故答案为：或．
11．解：是等边三角形，
，，
线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，，
，
在和中，
，
≌，
，
当是等腰三角形，且时，则，
，
，且，
，
，
；
当是等腰三角形，且时，则，
，
，
；
当是等腰三角形，且时，则，
，
，
，
综上所述，的度数为或或，
故答案为：110或125或140．
12．解：∵，
∴，
∵垂直平分垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．解：如图，连接，交于点，连接，
∵直线垂直平分，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴的最小值为线段，
∵等腰中,点为的中点，，，
∴，，
∴，
即：，解得，
∴，
故答案为：4．
14．解：（1）BE=CD，
理由：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
∴AE-AB=AD-AC，
∴BE=CD，
故答案为：BE=CD；
（2）成立，
理由：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD．
15．解：平分（已知），
（角平分线定义），
垂直平分，
（垂直平分线上的点到线段两端点的距离 ），
（等边对等角），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
16．解：延长到点E，使得，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即点C为的中点，
，
，
是等腰三角形，
是底边上的中线，
，
．
17．解：∵AD=BD=AE，
∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠AED，
∵BE=DE，
∴∠B=∠EDB，
设∠B=∠BAD=∠EDB=α，
∴∠AED=∠ADE=2α，
∴∠ADB=3α，
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴α+α+3α=180°，
∴α=36°，
∴∠ADB=108°，∠ADE=2α=72°，∠ADC=180°-∠ADB=72°，
∴∠ADE=∠ADC，
在△AED与△ACD中，，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠C=∠AED=72°，
∴∠CAD=180°-72°-72°=36°．
18．解：如图所示：
点即为所求．
19．猜想：；
解法一：过点A作交于点．
，，
．
，，
，
，
．
解法二：，
，
，
，
，
即．
在和中
，
，
．
20．（1）解：①如图1，由题意，，，，，，
，
在和中，
，
，
，，
，即；
故答案为：，；
②由①得，
，
；
（2）解：不成立，存在的数量关系为．
理由：如图，由（1）同理可得，
在和中，
，
，
，
，
∴；
（3）解：如图3，由(1)同理可得，
在和中，
，
，
，
，
，，
．