初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.1 一元二次方程复习ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.1 一元二次方程复习ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了一元二次方程，根的判别式，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根与系数的关系，一般形式，–5–4，提公因式法等内容，欢迎下载使用。
知识模块一　一元二次方程的解法
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）
1. 方程 (2x + 1)(x – 3) = x2 + 1 化成一般形式为_______________，二次项系数、一次项系数和常数项分别是____________.
x2 – 5x – 4 = 0
2. 已知 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k2 – 2)x + 2k + 4 = 0 的一个根，则 k 的值为_____.
把方程化为 (x + n)2 = p 的形式
(mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0)
适用于一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
解一元二次方程的方法中，哪些体现了化归的思想方法？
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.
配方法：将一元二次方程配成完全平方式，转化成可直接开平方求解的方程.
因式分解法：将一元二次方程因式分解，转化成两个一元一次方程.
1. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上 4 的是（ ）A. x2 – 2x = 5 B. 2x2 – 4x = 5C. x2 + 4x = 5 D. x2 + 2x = 5
2. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2 + 6x + 7 = 0；（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
（3）x2 + 4x = 5(x + 4).
解：（1）移项，得 x2 + 6x = –7
配方，得 x2 + 2×3x + 9 = –7 + 9
则 (x + 3)2 = 2
（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
（2）∵ a = 2，b = – 3，c = – 5，
∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×2×(– 5) = 49 > 0.
因此，有 x – 5 = 0 或 x + 4 = 0.
x2 + 4x – 5(x + 4) = 0.
(x – 5)(x + 4) = 0.
3. 对于实数 p，q，我们用符号 min{p，q}表示 p，q 两数中较小的数，如 min{1，2} = 1，min{– 2，– 3} = – 3. 若 min{(x – 1)2，x2} = 1，则 x 的值为________.
① (x – 1)2 = 1，且 (x – 1)2 < x2
② x2 = 1，且 x2 < (x – 1)2
仿例：若a(a≠0)是关于x的方程x2＋bx－2a＝0的根，则a＋b的值为( )A．1 B．2 C．－1 D．－2
范例2：用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1仿例1：方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是( )A．1，－2 B．3，－2 C．0，－2 D．1仿例2：已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为　　.
知识模块二　一元二次方程根的判别式和根与系数 的关系
Δ = b2 – 4ac
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
1. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 + 2x – 1 = 0 有两个不等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）A. a ≠ 0 B. a > – 1 且 a ≠ 0C. a ≥ – 1 且 a ≠ 0 D. a > – 1
（1）求 k 的取值范围；
解：（1）根据题意，得 Δ = (–2)2 – 4×1×(2k – 1) = 8 – 8k.
因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0，即 8 – 8k ≥ 0.
所以当 k ≤ 1 时，方程有实数根.
3. 已知关于 x 的方程 x2 – 2x + 2k – 1 = 0 有实数根.
（2）因为 x1，x2 是方程的两根，所以 x1 + x2 = 2，x1x2 = 2k – 1 .
范例3：不解方程，判断所给方程：①x2＋3x＋1＝0；②x2＋4＝0；③－x2＋x－1＝0中有实数根的方程有　　.仿例1：关于x的一元二次方程x2－5x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为　　.
知识模块三　一元二次方程的应用
审、找、列、解、验、答
面积问题数字问题变化率问题循环问题商品利润问题可化为一元二次方程的分式方程
1. 某超市一月份的营业额为 200 万元，一、二、三月份的总营业额为 1000 万元，设平均每月营业额的增长率为 x，则由题意列方程为（ ） A. 200 + 200×2x = 1000 B. 200(1 + x)2 = 1000 C. 200 + 200×3x = 1000 D. 200[1 + (1 + x) + (1 + x)2] = 1000
2. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若以每千克 50 元销售，一个月能售出 500 kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少？
解：设销售单价应为 x 元，则月销售量为 [500 – 10(x – 50)] kg.
根据题意，得 (x – 40)[500 – 10(x – 50)] = 8000
解方程，得 x1 = 60，x2 = 80.
因为月销售成本想要不超过 10000 元，即 40×[500 – 10(x – 50)] ≤ 10000
所以 x1 = 60 不合题意，所以 x = 80.
答：销售单价应为 80 元.
范例4：甲乙两地相距36 km，小明骑自行车往返于甲、乙两地，去时的速度比返回时的速度多5 km/h，故少用40 min，求往返速度各是多少？若设去时的速度为x km/h，则所列的方程是　 　.
仿例：某电脑公司2025年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设平均增长率为x，则
200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝950，整理，得
x2＋3x－1.75＝0，
1. 在忽略空气阻力的条件下，物体自由下落，其下落的高度 h（单位：m）与下落的时间 t（单位：s）有如下关系：h = 4.9t2. 如图，今有一铁球从距地面 44.1 m 处自由落下，求此铁球落到地面所用的时间.
解：将 h = 44.1 代入 h = 4.9t2 中，得4.9t2 = 44.1
x2 = – 3 不合题意，所以 x = 3.
答：此铁球落到地面所用时间为 3 s.
解方程，得 x1 = 3，x2 = – 3.
2. 一个正的两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，新的两位数与原来的两位数的积为 736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数的十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 (5 – x).
根据题意，得 [10x + (5 – x)][10(5 – x) + x] = 736
解方程，得 x1 = 2，x2 = 3，则 5 – x1 = 3，5 – x2 = 2.
所以原来的两位数是 23 或 32.
3.有一张长方形的桌子，长 2 m、宽 1 m，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的 2 倍. 桌布的长和宽各是多少？
解：设各边垂下的长度是 x m，则桌布的长是 (2x + 2) m，宽是 (2x + 1) m.
根据题意，得 (2x + 2)(2x + 1) = 2×2×1
4. 把 195 张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少 2，学生有多少人？
解：设学生有 x 人，则每人分得的图片数为 (x – 2).
根据题意，得 x(x – 2) = 195
解方程，得 x1 = 15，x2 = – 13.
x2 = – 13 不合题意，所以 x = 15.
答：学生有 15 人.
5. 为加速推进科技自立自强，我国全年研究与试验发展经费从 2012 年的 10298 亿元提高至 2022 年的 30783 亿元，居世界第二. 2020 年我国全年研究与试验发展经费为 24393 亿元，求 2020 年至 2022 年我国全年研究与试验发展经费的年平均增长率.（精确到 1%）