初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形集体备课ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形集体备课ppt课件，共41页。PPT课件主要包含了正方形，正方形有哪些性质，正方形的概念，邻边相等，一个角是直角，一组邻边相等，解由折叠可知，又∵AB＝AD，或对角线互相垂直，∵AC⊥DB等内容，欢迎下载使用。
1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．
2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
思考 正方形和矩形有什么关系？
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形．
2．正方形的性质：既有矩形的性质，又有菱形的性质．
3．正方形是轴对称图形，它有4条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线和两组对边的垂直平分线．
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
1.把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是正方形.
2.如何从一块长方形木板中裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。
做一做 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
如何判定一个四边形是正方形呢？
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∴ AD=AB=BC=CD,
∴矩形ABCD是正方形.
做一做 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.
求证：对角线相等的菱形是正方形.
解：证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
正方形判定的几条途径：
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形．
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC ⊥ BD .
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
解：证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB＝∠CDB；
解：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，
∴PM⊥AD，PN⊥CD，
∴四边形MPND是正方形．
如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
∴HE = EF = FG = GH .
∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，
∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH ≌△BFE，
又∠1 + ∠2 = 90°，
∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
1.（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片. 为什么？（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？
解：（1）如图，由折叠知 AB = AD，∠B =∠ADC = 90°.
（2）如（1）所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽.
∵∠BAD = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD，
由正方形是有一组邻边相等的矩形可知，四边形 ABCD 是正方形.
2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D . 李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m. 这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：如图，连接 AC .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B = 90°，AB = BC .
在Rt△BEC 中，∠B = 90°，EB = 10 m，EC = 30m，
∴这块场地的面积为 800 m2，对角线长为 40 m.
3. 如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D . 要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上,且 DE = CF. 这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
解：这两条路等长，它们互相垂直. 理由：
如图，设 AF 与 BE 交于点 O.
∴AB = AD = CD，∠BAE = ∠D = 90°.
又 DE = CF，∴AD－DE = CD－CF，即AE = DF.
∴△ABE≌△DAF（SAS）.
∴BE = AF，∠AEB = ∠DFA.
∴∠DFA + ∠DAF = 90°.
∴∠AEB + ∠DAF = 90°.
∴∠AOE = 90°，即 BE ⊥ AF .
4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 (　 　)　A．14 B．15 C．16 D．17
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是____．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为边AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；
解：∵点O为AB的中点，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴四边形AEBD是矩形；
解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形．并说明理由．
理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴矩形AEBD是正方形．
(答案不唯一，言之有理即可)
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
一个角是直角且一组邻边相等
1. 正方形的边长是 3，则它的对角线的长是______．
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BD 上，且 BE = CD，则 ∠BEC 的度数为________．
3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，过点P作PE⊥PB，PE交线段DC于点E．求证：PB=PE．
证明：如图，过点P分别作PG⊥BC于点G，PH⊥DC于点H，
∴∠PGB=∠PGC=∠PHE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BCD，∠BCD=90°．
∴PG=PH，四边形PGCH是矩形，
又PE⊥PB，∴∠BPE=90°．
∴∠BPE－∠GPE=∠GPH－∠GPE，
即∠BPG=∠EPH ．
在△PGB 和△PHE中，∠PGB=∠PHE，PG=PH，∠BPG=∠EPH，
∴△PGB≌△PHE(ASA)，
4. 如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线 AC 于点E，EF⊥AB， EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形 EFBG 的形状，并证明你的结论.
解：四边形EFBG是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
又 EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE = ∠BGE = 90°，
∴四边形 EFBG 是矩形．
∵BE 为∠ABC 的平分线，
∴矩形 EFBG 是正方形．
5. 如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形 AECF 是菱形，
∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF．
∴OE + DE=OF + BF，即 DO=BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∴∠ADC=2∠ADO=90°．
∴四边形 ABCD 是正方形．
∴四边形 ABCD 是菱形．
6.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M．（1）求证：BE=CM；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°．
∴∠BEA+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM．
在△ABE与△EMF中，∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，
∴△ABE≌△EMF(AAS)，
∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．
（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN.求证：四边形AEFN是正方形.
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．
∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．
∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠EAN+∠AEF=180°，
∴四边形AEFN是平行四边形．
∴四边形AEFN是菱形．
∴四边形AEFN是正方形．