人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形精品教案设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形精品教案设计，共9页。
21.3.3 正方形
第2课时 正方形的判定
教学设计
课题
第2课时 正方形的判定
授课人
教学目标
1.理解正方形的概念，掌握正方形与矩形、菱形的关系，能从边、角、对角线等方面归纳正方形的性质和判定方法；
2.能运用正方形的性质和判定进行简单的计算和证明，提高逻辑推理能力；
3.感受正方形在生活中的广泛应用，体会数学的实用价值，提升学生学习数学的兴趣
教学重点
正方形的定义、性质和判定；正方形与矩形、菱形的关系
教学难点
理解正方形性质与判定的综合应用，以及正方形与矩形、菱形之间的区别与联系
授课类型
新授课
课时
1
教学步骤
师生活动
设计意图
复习导入
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知
思考：满足什么条件的矩形是正方形？
有一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形．
证一证：
如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．AB＝CD，AD＝BC，
又AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又AC⊥BD．
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△AOD中，OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD．
∴矩形ABCD是正方形．
思考
满足什么条件的菱形是正方形？
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形．
请证明你的结论，并与同伴交流．
证一证：
如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
又∠A＝90°，∴∠C＝90°．
∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，
∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．
∵∠DAB＋∠CBA＝180°，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
小结
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形．
定理 有一个角是直角的菱形是正方形．
定理 对角线相等的菱形是正方形．
正方形判定的几条途径：
（链接例1、例2）
通过问题探究和讨论，帮助学生理解正方形的判定.通过观察和讨论，帮助学生发现正方形的判定，并掌握其应用.
典例精析
【例1】直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．求证：四边形CEDF是正方形．
【证明】∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．
又∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF为矩形．
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DE，
∴四边形CEDF是正方形．
【例2】如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.
【解析】要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
【解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH,
∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE,
∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测
1.下列命题正确的是（ D ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ D ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件_AB=BC(答案不唯一)_，可得出该四边形是正方形．
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___②③或①④____（只填写序号）．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为M ，N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB．
（2）若∠ADC＝90〫，求证：四边形PMDN是正方形．
证明：（1）∵AB＝BC，对角线BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵在△ABD和△CBD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD,
∴△ABD≌△CBD（SAS）,
∴∠ADB＝∠CDB．
（2）∵∠ADC＝90〫，PM⊥AD，PN⊥CD,
∴∠ADC＝∠PMD＝∠PND＝90〫．
∴四边形PMDN是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB＝12×90°＝45〫，
∴∠MPD＝∠NPD＝45〫，
∴DM＝PM，DN＝PN，
∴四边形PMDN是正方形．
通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结
巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计
第2课时 正方形的判定
有一组邻边相等的矩形是正方形．
对角线互相垂直的矩形是正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
对角线相等的菱形是正方形．
教学反思